人教A版高中數(shù)學(xué)必修2《一章空間幾何體復(fù)習(xí)參考題》教案_5

1、多面體與球的切、接問(wèn)題目標(biāo)：理解空間幾何體與球接、切問(wèn)題，掌握這類問(wèn)題的解題方法重點(diǎn)：空間幾何體與球外接問(wèn)題難點(diǎn)：求多面體外接球的半徑一、真題再現(xiàn)1. 2016全國(guó)卷n 4體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()32a. 12兀 b. kc. 8兀 d. 4兀解析因?yàn)檎襟w的體積為 8,所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2= j3 3 2213a【規(guī)律方法】解決多面體的外接球問(wèn)題，關(guān)鍵是確定球心位置，方法是先選擇多面體中的一 面，確定此面外接圓的圓心，再過(guò)圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根 據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置.【變式訓(xùn)練】正三角形abc的邊長(zhǎng)為2 日 將它沿高

2、ad翻折，使點(diǎn)b與點(diǎn)c間的距離為 g 此 時(shí)四面體abcd的外接球的體積為.解析外接球球心 o 一定在與底面垂直且過(guò)底面正三角形中心的直線與也在平面3 2.ado中ad的垂直平分線上，如圖(oelad).易得oe = o d = 3xx = 1,23de=1ad = lx2 j3xa= 3,所以外接球的半徑 2222所以外接球的體積【例題3】在三棱錐p-abc中，側(cè)棱pa=pb = 2, pc = 46,則當(dāng)三棱錐 p-abc的三個(gè)側(cè)面 的面積之和最大時(shí)，三棱錐 p-abc的內(nèi)切球的表面積是()a. (328 班)兀 b. (32 16g)兀 c. (40 8a)兀 d. (40 16 加)兀

3、 1【解析】二棱錐的側(cè)面pab的面積$ pab= -xpaxpbxsinz apb= 2sinz apb,要使此面積最大，則/ apb =90,同理可知，當(dāng) pa, pb, pc兩兩垂直時(shí)，三棱錐 p-abc的三個(gè)側(cè)面的 面積之和最大.如圖，設(shè)內(nèi)切球的球心為 。，則。到三棱錐的四個(gè)面的距離相等，均為球o的半徑 r.因?yàn)?pa=pb = 2, pc= j6,所以 bc= ac= 丫而，ab = 2,可得 abc, apc ,11 apb, abpc 的面積分別為 4, 6, 2, 6,所以 vp-abc=-x(4+ .6+2 +、6)r=x2x,6, 33解得r=6 2,所以內(nèi)切球的表面積 s=

4、 471r2=(40 16 6)兀.【規(guī)律方法】 求解多面體的內(nèi)切球問(wèn)題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.【變式】.已知三棱錐 p-abc中，若fa, pb, pc兩兩垂直，且 pa=2, pb=pc=1,則三 棱車b p-abc的內(nèi)切球半徑為 .解析易知 abc是兩腰 長(zhǎng)為45、底為、萬(wàn)的等腰三角 形，其 面積為-2x2x ln2： =3,三棱錐p-abc其余三個(gè)面的面積分別為 ：，1, 1,故三錐p-abc的表面積為4.設(shè)三棱錐p-abc的內(nèi)切球半徑為r,則三棱錐p-abc的體積為1x4 r,又三3棱車p p-

5、abc的體積為1x1x 1 x 2x 1 = 1,所以1x 4 - r = 1,所以r = 1.3 23334三、小結(jié)1 .有關(guān)幾何體的外接球、內(nèi)切球的計(jì)算問(wèn)題的常見思路與球有關(guān)的組合體問(wèn)題：一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)“元素”間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.(1)正方體與球有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體；二是球與正方體的十二條棱相切；三是球外接于正方體. 它們的相應(yīng)軸截面如圖所示 (正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為r).(2)當(dāng)球外接于長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)均在球面上，長(zhǎng)方體的體又角線長(zhǎng)l等于球的直徑長(zhǎng)(2r),此時(shí)要用到公式l2=a2+

6、b2+c2=4r2(a, b, c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).(3)正四面體是棱長(zhǎng)都相等的三棱錐，其外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為(a為正四面體的棱長(zhǎng)).2 .球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題；球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)” “接點(diǎn)”)作出截面圖解題.此類問(wèn)題在計(jì)算時(shí)，經(jīng)常用到截面圓的有關(guān)性質(zhì)：如圖所示，設(shè)球 。的半徑為r,截面圓o的半彳仝為r, m為截面圓上任一點(diǎn)，球心。到截面圓o的距離為d,則在rtoom中，om2=oo 2+om2,即r2= d2+ r2.四、鞏固練習(xí)1 .直三棱柱abcaibici的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若ab=3,ac = 4,ab，

7、ac,aai=12,求球。的表面積.解 將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體 abec a1b1e1c1,則球。是長(zhǎng)方體abec a1b1e1c1的外接球.體對(duì)角線bc1的長(zhǎng)為球 o的直徑.因此2r =)32+42+ 122 = 13.故 s 球=4 kr2 = 169 兀.2 .正四棱錐的頂點(diǎn)都在球 o的球面上”，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,求該球的體積.解 如圖，設(shè)球心為 o,半徑為r,則在rtmof中，（4r）2+（2= r2,解得r=9, 則球 o 的體積 v 球=3 3= 3 ttx 4j = 246-.3 .如圖8-16，邊長(zhǎng)為2的正方形 abcd中，點(diǎn)e, f分別是ab, bc的中點(diǎn)，將

8、ade , ebf, 4fcd分別沿de, ef, fd折起，使得a, b, c三點(diǎn)重合于點(diǎn) a如圖），若四 面體aefd的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的半徑為 . 圖 8-16【解析】由題意可知 aef是等腰直角三角形，且ad,平面 aef.將三棱錐d-aef的底面三角形 aef擴(kuò)展為邊長(zhǎng)為1的正方形，然后將三棱錐 d-aef擴(kuò)展為正四棱 柱，則三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球，正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是外接球的直徑，即為,12+12+22 =工6, 球的半徑為 ：64 .已知三棱錐 p-abc中，pa=6, ab=ac=23 ,bc=6, pa- 平面abc則此三棱錐的外接球

9、的半徑為后c bc有 2r =， r =2.3設(shè)aabc外接圓半徑為r,由正弦定理sin a sin120設(shè)球心到平面abc的距離為d,22222則 r = d r = (6 - d) r解得 d=3, r2 = d2 r2 = 9 12 = 21， r = 215 .若三棱錐s-abc的底面是以ab為斜邊的等腰直角三角形，ab=sa=sb= sc= 2,則該三棱錐的外接球的表面積為（）a. 3兀b. 433 兀 c. 3 兀16d. tt3解析如圖，sa= sb= sc,可知點(diǎn)s在底面上的射影為 abc的外心，由于底面是直角三角形，故其外心為斜邊的中點(diǎn)o易知三棱錐外接球的球心在so上，設(shè)該三

10、棱錐外接球的球心為 o,半徑為r,則oo =、豆一r,在 ooa 中,r2=(3-r)2+12,即 r=急所以外接球的表面積為4兀r2 =16兀6 .已知三棱錐 a-bcd中，ab=ac=bc=2, bd = cd =血，點(diǎn)e是bc的中點(diǎn)，點(diǎn) a在平面bcd上的射影恰好為 de的中點(diǎn)，則該三棱錐外接球的表面積為s= 4兀 r2=60 兀.7 .已知三棱錐p-abc的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面三角形abc滿足ba=bc=/6, /abc = j若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為（）a. 8兀b. 16兀c. ?兀d.竽兀 33 1_【解析】因?yàn)?abc是等腰直角三角形，所以其外接圓的半徑r=1x,12 = #.設(shè)三棱錐外接球的半徑是 r,球心o到底面abc的距離為d,如圖,則 $ abc=； r 6x,6=3, bd = j3,由題設(shè)知 v =；字 abc h = 1x3h=h, 23332兀所以最大體積3對(duì)應(yīng)的高為pd = hmax= 3,故r2=d2+3,即r2=(3r)2+3,解得r= 2,所以外接球的體積是 4欣3=3內(nèi)，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于d.底面abcd是正方形且球心 o在此平面8.已知四棱錐s-abcd的所有頂點(diǎn)在同一球面上,16+16 則球。的體積等于(【解析】