高考文科數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法（文科）

1、 高考文科數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法（文科）一、考點(diǎn)回顧1平面（1）平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說(shuō)明共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題。（2）證明點(diǎn)共線的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi) ，推出點(diǎn)在面內(nèi)）， 這樣，可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的公共直線上。（3）證明共點(diǎn)問(wèn)題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線。（4）證共面問(wèn)題一般用落入法或重合法。（5）經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.2. 空間直線.（1）空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線共面有反且有一

2、個(gè)公共點(diǎn)；平行直線共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線不同在任一平面內(nèi)。（2）異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）（3）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.（4）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.（5）兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.是異面直線，則過(guò)外一點(diǎn)p，過(guò)點(diǎn)p且與都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). （l1或l

3、2在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫l(wèi)1與l2平行的平面）3. 直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).（2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）（3）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）（4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直. 4 若，得（三垂線定理），得不出. 因?yàn)?，但不垂直oa.5

4、三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.（5）a.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；垂線段比任何一條斜線段短.注：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn). 一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（）b.射影定理推論：如果一個(gè)角

5、所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上。4. 平面平行與平面垂直.（1）空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.注：一平面間的任一直線平行于另一平面.（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）（4）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面

6、與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.（5）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找o作oa、ob分別垂直于，因?yàn)閯t. （6）兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：（為銳角取加，為鈍角取減，綜上，都取加則必有）（7）最小角定理：（為最小角，如圖）5. 錐、棱柱.（1）棱柱性質(zhì)棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各

7、個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱. （）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.（2）棱錐性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.（3）球：a.球的截面是一個(gè)圓面.球的表面積公式：.球的體積公式：.b.緯度、經(jīng)度：緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過(guò)

8、點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.附：圓柱體積：（為半徑，為高）圓錐體積：（為半徑，為高）錐形體積：（為底面積，為高） （1）內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，得.注：球內(nèi)切于四面體：。外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.6. 空間向量.（1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.（2）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使

9、.推論：設(shè)o、a、b、c是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)p, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z1).注：設(shè)四面體abcd的三條棱，其中q是bcd的重心，則向量用即證.對(duì)空間任一點(diǎn)o和不共線的三點(diǎn)a、b、c，滿足，則四點(diǎn)p、a、b、c是共面（3）a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令=(a1,a2,a3),，則， ， 。 (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩個(gè)向量的夾角公式（a，b）。空間兩點(diǎn)的距離公式：.b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量

10、叫做平面的法向量. c.用向量的常用方法：利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，ab是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)b到平面的距離為.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）.直線與平面所成角(為平面的法向量).利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小（方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一 空間向量及其運(yùn)算例題1. 已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿

11、足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？分析：要判斷點(diǎn)與是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有。解：由題意：，即，所以，點(diǎn)與共面點(diǎn)評(píng)：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算例題2. 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且，求證：平面分析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量和線性表示證明：如圖，因?yàn)樵谏?，且，所以同理，又，所以又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知，共面由于不在平面內(nèi)，所以平面點(diǎn)評(píng)：空間任意的兩向量都是共面的考點(diǎn)二 證明空間線面平行與垂直

12、例題3. 如圖, 在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，aa14，點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)， （i）求證：acbc1； （ii）求證：ac 1/平面cdb1；分析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過(guò)三垂線定理或逆定理證明，二是通過(guò)線面垂直來(lái)證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過(guò)線線平行得到線面平行，二是通過(guò)面面平行得到線面平行.解法一：（i）直三棱柱abca1b1c1，底面三邊長(zhǎng)ac=3，bc=4ab=5， acbc，且bc1在平面abc內(nèi)的射影為bc， acbc1；（ii）設(shè)cb1與c1b的交點(diǎn)為e，連結(jié)de， d是ab的中點(diǎn)，e是bc1的中點(diǎn)， de/ac1， de平面c

13、db1，ac1平面cdb1， ac1/平面cdb1；解法二：直三棱柱abca1b1c1底面三邊長(zhǎng)ac3，bc4，ab5，ac、bc、c1c兩兩垂直，如圖，以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ca、cb、c1c分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則c（0,0，0），a（3,0，0），c1（0,0，4），b（0,4，0），b1（0,4，4），d（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，acbc1.（2）設(shè)cb1與c1b的交戰(zhàn)為e，則e（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），deac1.點(diǎn)評(píng)：平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：面面平行線面平行線線平行；主要依據(jù)是有關(guān)定義及判定定理和性質(zhì)定理例題4. （北京市

14、東城區(qū)2007年綜合練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體的中點(diǎn)，p為bb1的中點(diǎn). （i）求證：； （ii）求證； （iii）求異面直線所成角的大小. 分析：本小題考查直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.解法一：（i）連結(jié)bc1 由正方體的性質(zhì)得bc1是bd1在平面bcc1b1內(nèi)的射影，所以(ii)又， （iii）延長(zhǎng)由于正方體的棱長(zhǎng)為2，即異面直線所成角的大小為arccos.解法二：（i）如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則b（2，2，0），c（0，2，0）b1（2，2，2），d1（0，0，2）. 3分 （ii），. （iii），即異面直線所成角的大小為arccso點(diǎn)評(píng)：證明線

15、面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可.這些從本題證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來(lái)考點(diǎn)三 求空間圖形中的角與距離根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過(guò)解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時(shí)注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是090，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是090，其解法是作垂線、找射影；二面角0180，其方法是：定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法另也可借助空間向量求這三種角的大小.例題5. （河南省開(kāi)封市2007屆高三年級(jí)第三次質(zhì)量檢測(cè)）在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，aa1=1，ad=dc=. （1）求直線a1c與d1c1所成角的正

16、切值； （2）在線段a1c上有一點(diǎn)q，且c1q=c1a1，求平面qdc與平面a1dc所成銳二面角的大小.分析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法 求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，向量法辦 解法一：（i）為異面直線ac與d1c所成的角連ad，在rtadc中，cd=，ad=2， （ii）過(guò)q作ef（在平面ac內(nèi)）使ef/ab，連b1c、cf、df，（面efcd即平面qdc；面a1b1cd即平面a1dc）即為二面角a1dcq的平面角.，即所求二面角大小為30解法二：（i）同解法一（i） （ii）建立空間直角坐標(biāo)系，即平面qdc與平面a1dc所成銳二面角為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異

17、面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng) 用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.例題6. （福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，交于點(diǎn) （1）求證：； （2）求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）； （3）求點(diǎn)到平面的距離。分析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí), 本題實(shí)質(zhì)上求解角度和距離,在求此類問(wèn)題中，要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問(wèn)題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.解答：（1）證明：建立如圖所示， 即aea1d， aebd ae面a1bd（2）設(shè)面da1

18、b的法向量為由 取設(shè)面aa1b的法向量為 由圖可知二面角dba1a為銳角，它的大小為arcos （3），平面a1bd的法向量取則b1到平面a1bd的距離d=點(diǎn)評(píng)：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計(jì)算，這是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,本題實(shí)質(zhì)上求解角度和距離,在求此類問(wèn)題中,盡量要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣計(jì)算起來(lái),比較簡(jiǎn)單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過(guò)建系一定要恰當(dāng),這樣坐標(biāo)才比較好寫出來(lái).考點(diǎn)四 探索性問(wèn)題例題7. （四川省成都市2007屆高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測(cè)）如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱abca1b1c1中，點(diǎn)a1在底面abc內(nèi)的射

19、影o恰為線段ac的中點(diǎn). （i）求側(cè)棱aa1與平面ab1c所成角的正弦值； （ii）已知點(diǎn)d為點(diǎn)b關(guān)于點(diǎn)o的對(duì)稱點(diǎn)，在直線aa1上是否存在點(diǎn)p，使dp平面ab1c？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)p的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論： 2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。解：由已知可得ao=1，oa1=ob=，boac.故以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz，則a（0，1，0），b（，0，0），a1（0，0，），c（0，1，0），=（0，1，）.由=，可得b1（，1，）.=（，2，），=（0，2，0）.設(shè)平面a

20、b1c的法向量為n=（x，y，1）.則解得n=（1，0，1）.由而側(cè)棱aa1與平面ab1c所成角，即是向量與平面ab1c的法向量所成銳角的余角，側(cè)棱aa1與平面ab1c所成角的正弦值 （ii）由已知得d（，0，0）假設(shè)存在點(diǎn)p符合題意，則點(diǎn)p的坐標(biāo)可設(shè)為p（0，y，z）.dp平面ab1c，n=（1，0，1）為平面ab1c的法向量，故存在點(diǎn)p，使dp平面ab1c，其坐標(biāo)為（0，0，），即恰好為a1點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開(kāi)放式設(shè)問(wèn)方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。例題8. (2007安徽文) 如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，且，（i）求證：平面平

21、面；（ii）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為解法1：（），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，又底面于是平面又平面，平面平面（） 過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（）知平面連接，于是就是直線與平面所成的角依題意，所以在中，；在中，故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角為解法2：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得可取，又，于是，即，故交時(shí)，直線與平面所成的角為解法3：（）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

22、則由，得可取，又，于是，即故交時(shí)，即直線與平面所成角為考點(diǎn)五 折疊、展開(kāi)問(wèn)題例題9（2006年遼寧高考）已知正方形 、分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為 (i) 證明平面;(ii)若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值 分析:充分發(fā)揮空間想像能力，抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明.解析: (i)證明:ef分別為正方形abcd得邊ab、cd的中點(diǎn),eb/fd,且eb=fd,四邊形ebfd為平行四邊形 bf/ed.,平面 (ii)如右圖,點(diǎn)a在平面bcde內(nèi)的射影g在直線ef上,過(guò)點(diǎn)a作ag垂直于平面bcde,垂足

23、為g,連結(jié)gc,gd acd為正三角形,ac=ad.cg=gd.g在cd的垂直平分線上, 點(diǎn)a在平面bcde內(nèi)的射影g在直線ef上,過(guò)g作gh垂直于ed于h,連結(jié)ah,則,所以為二面角a-de-c的平面角 即.設(shè)原正方體的邊長(zhǎng)為2a,連結(jié)af,在折后圖的aef中,af=,ef=2ae=2a,即aef為直角三角形, . 在rtade中, ., 點(diǎn)評(píng)：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問(wèn)題中，一般來(lái)說(shuō)，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問(wèn)題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。考點(diǎn)六 球體與多面體的組合問(wèn)題例題10設(shè)棱錐mabcd的

24、底面是正方形，且mamd，maab，如果amd的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.分析：關(guān)鍵是找出球心所在的三角形，求出內(nèi)切圓半徑.解： abad，abma，ab平面mad，由此，面mad面ac.記e是ad的中點(diǎn)，從而mead.me平面ac，meef.設(shè)球o是與平面mad、平面ac、平面mbc都相切的球.不妨設(shè)o平面mef，于是o是mef的內(nèi)心.設(shè)球o的半徑為r，則r設(shè)adefa,samd1.me.mf,r-1。當(dāng)且僅當(dāng)a，即a時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)adme時(shí)，滿足條件的球最大半徑為-1.點(diǎn)評(píng)：涉及球與棱柱、棱錐的切接問(wèn)題時(shí)一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題

25、，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長(zhǎng)間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。三、方法總結(jié)與2008年高考預(yù)測(cè)（一）方法總結(jié)1位置關(guān)系：（1）兩條異面直線相互垂直 證明方法：證明兩條異面直線所成角為90；證明兩條異面直線的方向量相互垂直。（2）直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。（3）直線和平面垂直證明方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直；證明直線的方向量與這

26、個(gè)平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直證明方法：證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為90；證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面；證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。2求距離：求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。（1）兩條異面直線的距離求法：利用公式（其中a、b分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)，為這兩條異面直線的法向量）（2）點(diǎn)到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。等體積法。向量法，利用公式（其中a為已知點(diǎn)，b為這個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，這個(gè)平面的法向量）3求角（1

27、）兩條異面直線所成的角求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角為或。（3）平面與平面所成的角求法：“一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。通過(guò)射影面積來(lái)求（在其中一個(gè)平面內(nèi)找出一個(gè)三角形，

28、然后找這個(gè)三角形在另外一個(gè)平面的射影，那么這個(gè)三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cos，注意到我們要求的角為或）；向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為或。 我們現(xiàn)在來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題的時(shí)候，注意到向量知識(shí)的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點(diǎn)的坐標(biāo)，那么剩下的問(wèn)題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時(shí)求距離、角的時(shí)候也可以用向量，運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，就用傳統(tǒng)的方法了！4解題注意點(diǎn)（1）我們現(xiàn)在提倡用向量來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運(yùn)用自如。（2）我們?nèi)绻峭ㄟ^(guò)解三角形去

29、求角、距離的時(shí)候，做到“一找二證三求”，解題的過(guò)程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“是我們所要求的角”、“線段ab的長(zhǎng)度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來(lái)一目了然。（3）用向量來(lái)求兩條異面直線所成角時(shí)，若求出cosx，則這兩條異面直線所成的角為arccos|x|（4）在求直線與平面所成的角的時(shí)候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，就用，若求出的鈍角，就用。（5）求平面與平面所成角的時(shí)，若用第、種方法，先要去判斷這個(gè)二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍。（二）2008年高考預(yù)測(cè)從近幾年各地高考試題

30、分析，立體幾何題型一般是一個(gè)解答題，1至3個(gè)填空或選擇題解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來(lái)求解高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力.近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問(wèn)題。高考對(duì)立體幾何的考查側(cè)重以下幾個(gè)方面： 1從命題形式來(lái)看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開(kāi)發(fā)了

31、“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計(jì)成幾個(gè)小問(wèn)題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問(wèn)考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問(wèn)考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作證求”，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合。2從內(nèi)容上來(lái)看，主要是：考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題；計(jì)算角的問(wèn)題，試題中常見(jiàn)的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；求距離，試題中常見(jiàn)的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離

32、，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法；簡(jiǎn)單的幾何體的側(cè)面積和表面積問(wèn)題，解此類問(wèn)題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問(wèn)題；體積問(wèn)題，要注意解題技巧，如等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用。3從方法上來(lái)看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導(dǎo)和計(jì)算相集合；考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如經(jīng)常要把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)解決；考查模型化方法和整體考慮問(wèn)題、處理問(wèn)題的方法，如有時(shí)把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙地把問(wèn)題解決；考查割補(bǔ)法、等積變換法，以及變化運(yùn)動(dòng)的思想方法，極限方法等。4從能力

33、上來(lái)看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：會(huì)畫圖根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；會(huì)識(shí)圖根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；會(huì)析圖對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合；會(huì)用圖對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開(kāi)或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力。四、強(qiáng)化訓(xùn)練1 選擇題1空間有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，那么經(jīng)過(guò)其中三個(gè)點(diǎn)的平面a可能有3個(gè)，也可能有2個(gè) b可能有4個(gè)，也可能有3個(gè)c可能有3個(gè)，也可能有1個(gè) d可能有4個(gè)，也可能有1個(gè)2下列命題中正確的個(gè)

34、數(shù)是（ ）三角形是平面圖形 四邊形是平面圖形四邊相等的四邊形是平面圖形 矩形一定是平面圖形a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)3設(shè)a、b是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題（ ） 若若 其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）a0個(gè)b1個(gè)c2個(gè)d3個(gè)4如圖所示，已知正四棱錐sabcd側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，e是sa的中點(diǎn)，則異面直線be與sc所成角的大小為 （ ）a90b60c45d305設(shè)有如下三個(gè)命題：甲：相交直線、m都在平面內(nèi)，并且都不在平面內(nèi)；乙：直線、m中至少有一條與平面相交；丙：平面與平面相交當(dāng)甲成立時(shí)，a乙是丙的充分而不必要條件 b乙是丙的必要而不充分條件c乙是丙的充分且必要條件 d

35、乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件6若a，b，l是兩兩異面的直線，a與b所成的角是，l與a、l與b所成的角都是，則的取值范圍是（ ）abcd7 在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)a1到截面ab1d1的距離是( )a b c d 8 在直二面角l中，直線a,直線b,a、b與l斜交，則( )a a不和b垂直，但可能abb a可能和b垂直，也可能abc a不和b垂直，a也不和b平行d a不和b平行，但可能ab9 在正方體abcda1b1c1d1中，m為dd1的中點(diǎn)，o為底面abcd的中心，p為棱a1b1上任意一點(diǎn)，則直線op與直線am所成的角是( )a b

36、c d 10如圖，正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，o是底面a1b1c1d1的中心，則o到平面ab c1d1的距離為（b）a、b、c、d、11abc的頂點(diǎn)b在平面a內(nèi)，a、c在a的同一側(cè)，ab、bc與a所成的角分別是30和45,若ab=3,bc= ,ac=5,則ac與a所成的角為(a)60 (b)45 (c)30 (d)1512矩形abcd中，ab=4，bc=3，沿ac將矩形abcd折成一個(gè)直二面角bacd，則四面體abcd的外接球的體積為（ ）abcd（二）填空題13 設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對(duì)下面四種情形，使“xz且yzxy”為真命題的是_(填序號(hào)) x、y、z是直線；

37、x、y是直線，z是平面；z是直線，x、y是平面；x、y、z是平面.14 已知aob90,過(guò)o點(diǎn)引aob所在平面的斜線oc，與oa、ob分別成45、60，則以oc為棱的二面角aocb的余弦值等于_ 15正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面積之比為23,則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為_(kāi) 16空間四點(diǎn)a、b、c、d中，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a，動(dòng)點(diǎn)p在線段ab上，動(dòng)點(diǎn)q在線段cd上，則p與q的最短距離為_(kāi) （三）解答題17. 已知，從平面外一點(diǎn)引向量，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面18. 如圖，是正四棱錐,是正方體，其中（）求證：；（）求平面與平面所成的銳二面角的大?。唬ǎ┣蟮狡矫娴木?/p>

38、離19. 在四棱錐p-abcd中，底面abcd是矩形，側(cè)棱pa垂直于底面，e、f分別是ab、pc的中點(diǎn) （1）求證：平面pad； （2）當(dāng)平面pcd與平面abcd成多大二面角時(shí)， 直線平面pcd？20（安徽省合肥市2007年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知，在如圖所示的幾何體abced中，ec面abc，db面abc，ce=ca=cb=2db，acb=90，m為ad的中點(diǎn)。 （1）證明：emab； （2）求直線bm和平面ade所成角的大小。21. （山東省濟(jì)寧市20062007學(xué)年度高三年級(jí)第一次摸底考試）如圖，四面體cabd，cb = cd，ab = ad， bad = 90.e、f分別是bc、a

39、c的中點(diǎn). （）求證：acbd； （）如何在ac上找一點(diǎn)m，使bf平面med？并說(shuō)明理由； （）若ca = cb，求證：點(diǎn)c在底面abd上的射影是線段bd的中點(diǎn).22. （廣東省惠州市2008屆高三第二次調(diào)研）正方體，e為棱的中點(diǎn)() 求證：；() 求證：平面；（）求三棱錐的體積強(qiáng)化訓(xùn)練題答案1【答案】d解析： 分類，第一類，四點(diǎn)共面，則有一個(gè)平面，第二類，四點(diǎn)不共面，因?yàn)闆](méi)有任何三點(diǎn)共線，則任何三點(diǎn)都確定一個(gè)平面，共有4個(gè)。.2【答案】b解析：命題是正確的，因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)不共線，所以這三點(diǎn)確定平面。命題是錯(cuò)誤，因平面四邊形中的一個(gè)頂點(diǎn)在平面的上、下方向稍作運(yùn)動(dòng)，就形成了空間四邊形。命題

40、也是錯(cuò)誤，它是上一個(gè)命題中比較特殊的四邊形。命題是正確的，因?yàn)榫匦伪仨毷瞧叫兴倪呅?，有一組對(duì)邊平行，則確定了一個(gè)平面。3【答案】b解析：注意中b可能在上；中a可能在上；中b/，或均有，故只有一個(gè)正確命題4【答案】b解析： 平移sc到，運(yùn)用余弦定理可算得5【答案】c解析：當(dāng)甲成立，即“相交直線、m都在平面內(nèi)，并且都不在平面內(nèi)”時(shí)，若“、m中至少有一條與平面相交”，則“平面與平面相交”成立；若“平面與平面相交”，則“、m中至少有一條與平面相交”也成立6【答案】d解析： 當(dāng)l與異面直線a，b所成角的平分線平行或重合時(shí)，a取得最小值，當(dāng)l與a、b的公垂線平行時(shí)，a取得最大值。7 【答案】 c 解析 設(shè)

41、a1c1b1d1=o1，b1d1a1o1，b1d1aa1，b1d1平面aa1o1，故平面aa1o1ab1d1，交線為ao1，在面aa1o1內(nèi)過(guò)a1作a1hao1于h，則易知a1h長(zhǎng)即是點(diǎn)a1到平面ab1d1的距離，在rta1o1a中，a1o1=，ao1=3，由a1o1a1a=hao1,可得a1h=。8 【答案】c 解析 如圖，在l上任取一點(diǎn)p，過(guò)p分別在、內(nèi)作aa,bb,在a上任取一點(diǎn)a，過(guò)a作acl，垂足為c，則ac,過(guò)c作cbb交b于b，連ab，由三垂線定理知abb，apb為直角三角形,故apb為銳角 9 【答案】 d 解析 (特殊位置法）將p點(diǎn)取為a1，作oead于e，連結(jié)a1e，則a1

42、e為oa1的射影，又ama1e，amoa1，即am與op成90角 答案 d10【答案】b 解析：取b1c1的中點(diǎn)m，連b1c交bc1于，取c1的中點(diǎn)n，連mn，則mn又在正方體abcd-a1b1c1d1中om平行于平面abc1d1.則o到平面abc1d1距離轉(zhuǎn)化為m到平面abc1d1的距離，即mn=，故選b11【答案】c 解析：如圖，ae平面于e,cd平面于d,efac,ef交cd于f,則abe=300,cbd=450,由此得cd=4,ae=1.5,ef=2.5,而ef=ac=5 fed=300,即ac與平面所成的角為300,選(c)12【答案】c 解析：連接矩形abcd的對(duì)角線ac、bd交于

43、o，則aobocodo，則o為四面體abcd的外接球的圓心，因此四面體abcd的外接球的半徑為，體積為.選c.13 【答案】 解析 是假命題，直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)為反例，是真命題，是假命題，平面x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí)為反例 14 【答案】 解析 在oc上取一點(diǎn)c，使oc=1，過(guò)c分別作caoc交oa于a，cboc交ob于b，則ac=1，oa=，bc=，ob=2，rtaob中，ab2=6，abc中，由余弦定理，得cosacb= 答案 15 【答案】 60 解析 設(shè)一個(gè)側(cè)面面積為s1，底面面積為s，則這個(gè)側(cè)面在底面上射影的面積為，由題設(shè)得，設(shè)側(cè)面與底面所成二面角為,

44、則cos=,=60 答案 6016 【答案】a 解析 以a、b、c、d為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取p、q分別為ab、cd的中點(diǎn)，因?yàn)閍q=bq=a,pqab,同理可得pqcd，故線段pq的長(zhǎng)為p、q兩點(diǎn)間的最短距離，在rtapq中，pq=a.答案 a17解：（1）四邊形是平行四邊形，共面；（2），又，所以，平面平面18解：() 連結(jié)ac , 交bd于點(diǎn)o , 連結(jié)po , 則po面abcd , 又 , , , （） aobd , aopo , ao面pbd , 過(guò)點(diǎn)o作ompd于點(diǎn)m，連結(jié)am , 則ampd , amo 就是二面角a-pd-o的平面角, 又, ao=,po=

45、, ,即二面角的大小為 ()用體積法求解：即有 解得，即到平面pad的距離為19證：（1）取cd中點(diǎn)g，連結(jié)eg、fge、f分別是ab、pc的中點(diǎn)，eg/ad，fg/pd，平面efg/平面pad， ef/平面pad （2）當(dāng)平面pcd與平面abcd成45角時(shí)，直線ef平面pcd.證明：g為cd中點(diǎn)，則egcd，pa底面abcdad是pd在平面abcd內(nèi)的射影。 cd平面abcd，且cdad，故cdpd 又fgpdfgcd，故egf為平面pcd 與平面abcd所成二面角的平面角，即egf=45，從而得adp=45， ad=ap.由rtdpaertdcbe，得pe=ce.又f是pc的中點(diǎn)，efpc

46、.由cdeg，cdfg，得cd平面efg，cdef，即efcd，故ef平面pcd 20解法一： （1）如圖，以c為原點(diǎn)，ca、cb、ce所在的射線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)bd=1，則e（0，0，2），a（2，0，0），d（0，2，1），b（0，2，0）由m是ad的中點(diǎn)，得m （2）設(shè)面ade的法向量n=（x，y，z）由又直線bm和平面ade所成角為。解法二：（1）如圖，過(guò)m作mnab，由db面abc2分m是ad中點(diǎn)，n是ab中點(diǎn)，ca=cb，cnab由三垂線定理，得emab（2）設(shè)cb和ed延長(zhǎng)線交于f，不妨設(shè)bd=1易求設(shè)b到面aef的距離為h，由設(shè)直線bm和平面ade所成角

47、為。21解：（）取bd的中點(diǎn)o，連接ao，co，在bcd中， bc = dc，cobd，同理aobd 而aoco = o，bd平面aoc， 又平面aoc，acbd. （）取fc的中點(diǎn)m，連接em，dm， e是bc的中點(diǎn)，bfem，平面med，bf平面med，fc的中點(diǎn)m即為所求. （）abd是等腰直角三角形，bad = 90，ao = bo = do；ca = cb = cd，co是公共邊，coacobcod；coa=90，即coao，又cobd，aobd = o，co平面abd即點(diǎn)c在底面abd上的射影是線段bd的中點(diǎn) 。22解析：主要考察立體幾何中的位置關(guān)系、體積 ()證明：連結(jié)，則/， 是正方形，面，又，面 面， （）證明：作的中點(diǎn)f，連結(jié)是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形， 是的中點(diǎn)，又，四邊形是平行四邊形，/，平面面 又平面，面 （3） （四）創(chuàng)新試題如圖，正三棱柱abca1b1c1中，d是bc的中點(diǎn)，aa1=ab=1. （i）求證：a1c/平面ab1d； （ii）求二面角bab1d的大小； （iii）求點(diǎn)c到平面ab1d的距離. 如圖，已知正三棱柱abca1b1c1的各棱長(zhǎng)都為a，p為a1b