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1、中學(xué)數(shù)學(xué)競賽講義極限數(shù)列極限的定義 一般地,如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí),無窮數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于某個(gè)常數(shù)(即無限地接近于0),那么就說數(shù)列以為極限. 注:不一定是中的項(xiàng).幾個(gè)常用的極限 (1)(為常數(shù));(2);(3)().兩個(gè)重要極限(1) (2)數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則 設(shè)數(shù)列an、bn,當(dāng),時(shí),;().求極限的各種方法1約去零因子求極限例1:求極限【說明】表明無限接近,但,所以這一零因子可以約去?!窘狻?分子分母同除求極限例2:求極限【說明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求?!窘狻俊咀ⅰ?1) 一般分子分母同除的最高次方;(2) 3分子(母)有理化求極限例3:求極限【說明
2、】分子或分母有理化求極限,是通過有理化化去無理式?!窘狻坷?:求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外,及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵4應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限是和,第一個(gè)重要極限過于簡單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。例5:求極限【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟:先湊出,再湊,最后湊指數(shù)部分?!窘狻坷?:(1);(2)已知,求。5用等價(jià)無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價(jià)無窮小有:當(dāng) 時(shí),;(2) 等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式;(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7:求極限【解】 .例8:求極限【解】6用羅必塔法則求極
3、限例9:求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求?!窘狻俊咀ⅰ吭S多變動(dòng)上顯的積分表示的極限,常用羅必塔法則求解例10:設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),且,求極限【解】 由于,于是 =7用對數(shù)恒等式求極限 例11:極限 【解】 =【注】對于型未定式的極限,也可用公式=因?yàn)槔?2:求極限.【解1】 原式 【解2】 原式 8利用taylor公式求極限 例13 求極限 .【解】 , ; .例14 求極限.【解】 .9數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15:極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限,由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則,若直接求有一定難度,若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限,可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解?!窘狻靠紤]輔助極限
4、所以,10n項(xiàng)和數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.例16:極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把看成0,1定積分。【解】原式例17:極限【說明】(1)該題遇上一題類似,但是不能湊成的形式,因而用兩邊夾法則求解; (2) 兩邊夾法則需要放大不等式,常用的方法是都換成最大的或最小的?!窘狻恳?yàn)橛炙?2單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18:設(shè)數(shù)列滿足()證明存在,并求該極限;()計(jì)算. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 ()因?yàn)?,則.可推得,則數(shù)列有界.于是,(因當(dāng)), 則有,可見數(shù)列單調(diào)減
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