高中數(shù)學(xué)人教A版必修5解讀與教學(xué)建議

1、高中數(shù)學(xué)人教a版必修5解讀與教學(xué)建議奉港高級中學(xué) 楊亢爾（315500 ）本模塊包括“解三角形”、“數(shù)列”、“不等式”等三章內(nèi)容，全書約需36課時，具體課時分配如下:第一章解三角形 約8課時第二章數(shù)列第三章不等式約12課時約16課時“解三角形”的主要內(nèi)容是介紹三角形的正、余弦定理，及其簡單應(yīng)用，旨在通過對任意三角形邊長 和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題以及能夠運用正弦定 理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題?！皵?shù)列”的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念與表示，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和。數(shù)列作為種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本

2、數(shù)學(xué)模型。教科書通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等 差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，力求使學(xué)生在探索中掌握與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的一些基本數(shù)量 關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實際問題。“不等式” 一章通過大量現(xiàn)實世界和日常生活中的具體實例引入不等關(guān)系，幫助學(xué)生理解不等式（組） 對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合一些實際問題探索求解一元二次不等式的基本方法， 用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題的方法，最后引導(dǎo)學(xué)生討論了 基本不等式及其簡單應(yīng)用。第一章解三角形在本章中，要求學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系

3、的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中 的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，并認(rèn)識到運用它們可以解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。1、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章的中心內(nèi)容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角 形度量問題。(2)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。2、教學(xué)要求(浙江省數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見2007年6月版，下同)1.1 基本要求(1)會證明正弦定理、余弦定理。(2)能理解正、余弦定理在討論三

4、角形邊角關(guān)系時的作用。(3)能用正、余弦定理解斜三角形。(4)理解用正、余弦定討論三角形解的情形。(5)掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法。(6)通過解三角形在實際中的一些應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。1 , 一(7)理解二角形的面積公式 s absinc并能應(yīng)用。2(8)根據(jù)實際條件，利用本章知識完成一個有關(guān)測量的實習(xí)作業(yè)。1.2 發(fā)展要求(1) 了解正、余弦定理與三角形外接圓半徑的關(guān)系。(2)利用正、余弦定理討論三角形中的邊角關(guān)系。(3)條件允許的情況下，可多做幾個實習(xí)作業(yè)，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的能力。1.3 說明(1) 可以利用計算機進(jìn)行近似計算，但不要求太復(fù)雜繁瑣

5、的運算。(2)不必增加在立幾情況下求解三角形的問題，可在立體幾何學(xué)習(xí)時適當(dāng)拓展。(3)應(yīng)用問題應(yīng)限制在正、余弦定理的簡單應(yīng)用上。(4)實習(xí)作業(yè)不要求太復(fù)雜的問題。3 .綱標(biāo)比較3.1 章節(jié)、課時比較大綱教材課標(biāo)教材數(shù)學(xué)第一冊(下)第五章平面向量數(shù)學(xué)5第1章 解三角形(8課時)二、解斜三角形(約 7+5課時)1.1.1正弦定理(約1課時)5.9正弦定理、余弦定理(約4課時)1.1.2余弦定理(約2課時)5.10解斜三角形應(yīng)用舉例(約 2課時)(探究與發(fā)現(xiàn)解三角形的進(jìn)一步發(fā)現(xiàn))實習(xí)作業(yè) 解三角形在測量中的應(yīng)用(約2課時)1.2應(yīng)用舉例(約3課時)(閱讀材料 人們早期怎樣測量地球的半徑？)(閱讀與思

6、考海倫與秦九韶)研究性學(xué)習(xí)課題：向量在物理中的應(yīng)用（約3課時）1.3實習(xí)作業(yè)（約1課時）單元小結(jié)與復(fù)習(xí)（約1課時）小結(jié)（約1課時）3.2 內(nèi)容安排上的變化大綱教材將解三角形安排在“平面向量”之中，成為平面向量的一個單元，而課標(biāo)教材在模塊5中獨立成章，突出其獨立性。3.3 幾個特點教學(xué)要求上的特點大綱教材對解斜三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算 器解決斜三角形的計算問題。通過解三角形教學(xué)，提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。通過以測量為 內(nèi)容的實習(xí)作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。而按照省教學(xué)指導(dǎo)意 見，課標(biāo)教材在計算方面降低了

7、要求，削弱了用計算器解決斜三角形的有關(guān)計算問題，而在探索推理方面 作了相應(yīng)提高，重視正、余弦定理發(fā)現(xiàn)過程的探究。有關(guān)教學(xué)價值上的特點大綱教材中，解斜三角形作為平面向量知識的應(yīng)用，重在其工具性和應(yīng)用性，也比較關(guān)注三角形恒等 變換和邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換，把教學(xué)的重點放在運算上，而意見將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出 幾何作用，培養(yǎng)學(xué)生的量化思想，并引導(dǎo)教師關(guān)注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量 有關(guān)的實際問題，其側(cè)重點放在推理與探究上。4 .教學(xué)內(nèi)容分析章引言本章一開始的引言就從一個測量問題引入：“在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想，不禁會問，遙不可

8、及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”接著指出：“在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實踐活動的推動，解三角形的理論得到不斷發(fā)展，并被 用于解決許多測量問題.”這就點出了本章數(shù)學(xué)知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識 學(xué)習(xí)解三角形知識的必要性。然后以一系列的實際問題引入本章要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，這些問題的解決需要 進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識，于是順理成章地指出，在本章中我們要學(xué)習(xí)正弦定理和 余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個定理解三角形以及解決實際測量中的一些問題。 1.1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理揭示了關(guān)于一般三角形中的重要邊角關(guān)系，它們是解三角形

9、的兩個重要定理。對于正弦定理，教科書首先引導(dǎo)學(xué)生回憶任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系，引導(dǎo) 學(xué)生思考是否能得到這個邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化表示的問題。由于涉及邊角之間的數(shù)量關(guān)系，就比較自然地 引導(dǎo)到三角函數(shù)。在直角三角形中，邊之間的比就是銳角的三角函數(shù)。研究特殊的直角三角形中的正弦， 就很快證明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察結(jié)論是否適用于銳角三角形， 而鈍角三角形中定理的證明要求學(xué)生自己通過探究來加以證明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一個直接應(yīng)用，正弦定理可以用于兩類解三角形的問題：(1)已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。(2)已知三角形的

10、兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進(jìn)而計算出其他的邊和角。對于(2),在某些條件下會出現(xiàn)無解或兩解的情形，教科書在探究與發(fā)現(xiàn)：“關(guān)于解三角形的進(jìn)一步討論”中對此作了說明。正弦定理略去等于 2r,目的是控制難度，防止設(shè)計出太多難題，加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)。對于余弦定理，首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已 知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。由于涉及邊長問題，教科書考慮用向量的 數(shù)量積，比較容易地證明了余弦定理。余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，每一個等式中都包含四個不同的量，它 們分別是三角形的三邊和一個角，知道其中的

11、三個量，就可以求得第四個量。從已知三角形的三邊確定三 角形的角，這就是余弦定理的推論，也可以說是余弦定理的第二種形式。應(yīng)用余弦定理及其推論，并結(jié)合正弦定理，可以解決的解三角形問題有：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形；(2)已知三角形的三邊解三角形。 1.2應(yīng)用舉例正弦定理和余弦定理在實際測量中有許多應(yīng)用，教科書介紹了它們在測量距離、高度、角度等問題中的一些應(yīng)用。對于未知的距離、高度等，存在著許多可以供選擇的測量方案，可以應(yīng)用全等三角形的方法，也可以 應(yīng)用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本節(jié)介紹的應(yīng)用兩個定理的方法，等等。但 是，由于在測量問題的實際背景下，某些方法也許不能實

12、施，如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形 的方法來測量，所以，一種方法會有局限性。這里介紹的許多問題是用以前的方法所不能解決的。關(guān)于三角形的有關(guān)幾何計算，教科書還涉及了三角形的高和面積的問題，給出了計算三角形的高和面積的公式，這些公式實際上在正弦定理的證明過程中就已經(jīng)得到。值得一提的是，已知三角形的三邊求三角形面積的問題在歷史上是一個重要的問題，在西方有海倫公式，在我國數(shù)學(xué)史上有秦九韶的“三斜求積公式”，教科書在閱讀與思考中對此作了介紹，在習(xí)題中要求學(xué)生加以證明。另外，關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，課程標(biāo)準(zhǔn)要求不在這類問題上作過于繁瑣的訓(xùn)練，教 科書選擇白例題(p21例9)僅限于直接用

13、正弦定理和余弦定理可以證明的問題。 1.3實習(xí)作業(yè)本章內(nèi)容有很強的實踐性，教科書安排了一個利用本章知識的有關(guān)測量的實習(xí)作業(yè)。實習(xí)作業(yè)重在過程，通過實習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析和解決簡單實際問題的能力。實習(xí)前， 教師要指導(dǎo)好學(xué)生作好前期準(zhǔn)備，選擇好素材。實習(xí)時注意現(xiàn)場指導(dǎo)。對學(xué)生的實習(xí)報告要予以講評和規(guī) 范。有條件的情況下，可讓學(xué)生自主選擇素材在課后再完成幾個實習(xí)報告。第二章數(shù)列數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，在本章中，學(xué)生 將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的 一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列

14、模型的(等比)數(shù)列的求和公式廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實際 問題。1 .內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章的主要內(nèi)容是數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的一些基本數(shù)量關(guān)系。通過本章學(xué) 習(xí)，要使學(xué)生達(dá)到如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：(1) .通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).(2) .通過實例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系， 并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 體 會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.2 .教學(xué)要求1 .1基本要

15、求(1)理解數(shù)列的定義，了解數(shù)列是一類特殊函數(shù)。2 2) 了解數(shù)列的幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)。(3)認(rèn)識數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本模型。（4）能根據(jù)給出的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。（4）理解等差（等比）數(shù)列的概念。（5）掌握等差（等比）數(shù)列的通項公式。（6） 了解等差數(shù)列（等比）與一次函數(shù)（指數(shù)函數(shù)）的關(guān)系。（7）能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差（等比）關(guān)系，進(jìn)而用等差（等比）數(shù)列有關(guān)知識解決相 應(yīng)的問題。（8）掌握等差（等比）數(shù)列前 n項和的公式，并能用公式解決簡單的問題。（9）理解等差（等比）數(shù)列前 n項和公式的推導(dǎo)方法。（10）能利用等差（等比）數(shù)列前 n項和公式極其

16、性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和。（11）理解sn與an的關(guān)系。（12）等比數(shù)列的求和公式達(dá)到靈活應(yīng)用。2.2 發(fā)展要求（1）能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出一個通項公式。（2）掌握等差（等比）數(shù)列典型性質(zhì)及應(yīng)用。（3）能靈活運用等差數(shù)列的求和公式。（4）能用類比觀點推導(dǎo)等比數(shù)列性質(zhì)。（7）理解等差數(shù)列與等比數(shù)列簡單組合的數(shù)列的前n項和。2.3 說明.（1）復(fù)雜的遞推關(guān)系不作要求。（2）已知數(shù)列的前幾項寫出一個通項公式，不必太難。3 .綱標(biāo)比較3.1 章節(jié)、課時比較大綱教材課標(biāo)教材數(shù)學(xué)第一冊（上）第三章數(shù)列（約15課時）數(shù)學(xué)5第2章數(shù)列（約12課時）3.1數(shù)列（約2課時）2.1數(shù)列的概念與簡單表示法（約2課時）3

17、.2等差數(shù)列（約2課時）（閱讀與思考斐波那契數(shù)列）3.3等差數(shù)列的前n項和（約2課時）（信息技術(shù)應(yīng)用倩計j5的值）（閱讀材料有關(guān)規(guī)定儲蓄的計算）2.2等差數(shù)列（約2課時）3.4等比數(shù)列（約2課時）2.3等差數(shù)列的前n項和（約2課時）3.5等比數(shù)列的前n項和（約2課時）2.4等比數(shù)列（約2課時）研究性課題：分期付款中的有關(guān)計算 （約3課時）2.5等比數(shù)列的前n項和（約2課時）小結(jié)與復(fù)習(xí)（約2課時）（閱讀與思考九連環(huán)）（探究與發(fā)現(xiàn)購房中的數(shù)學(xué)）小結(jié)與復(fù)習(xí)（約2課時）3.2 內(nèi)容主要變化教學(xué)要求上的變化已知數(shù)列的前幾項寫出一個通項公式，不必太難，復(fù)雜的遞推關(guān)系不作要求。了解數(shù)列是一類函數(shù)， 了解等差

18、數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。明確提出遞增數(shù)列、遞減數(shù)列概念。教學(xué)價值上的變化以往數(shù)列內(nèi)容比較注重 an, sn, d , q , ai等參數(shù)之間換算與恒等變形，而課標(biāo)教材注重了知識的形成 過程，突出了函數(shù)思想、數(shù)學(xué)模型思想，強化了用函數(shù)觀點來呈現(xiàn)數(shù)列。通過資產(chǎn)折舊、購房貸款、出租 車計費、校校通等問題注重了數(shù)列知識在解決實際問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)列的應(yīng)用性，通過諸如三角形數(shù)、 謝賓斯基三角形、正方形篩子、斐波那契數(shù)列、九連環(huán)等數(shù)學(xué)名題，來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。4 .教學(xué)內(nèi)容分析 章頭圖章頭圖向我們呈現(xiàn)了錯落有致的樹衩、漂亮的花瓣、排列有序的植物種子，可以使學(xué)生感受大自然的 神奇和奧秘

19、的同時，體會數(shù)學(xué)是豐富多彩的，數(shù)學(xué)不僅僅是形式的演繹推導(dǎo)，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活，數(shù)列 作為反映現(xiàn)實生活的一種數(shù)學(xué)模型，也是無處不在的，我們要善于對客觀事物中蘊涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考 并做出判斷。另外，在日常生活中，人們經(jīng)常遇到的像存款利息、購房貸款等實際問題，都需要用有關(guān)數(shù) 列的知識來解決，數(shù)列知識也是將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 2.1數(shù)列的概念與簡單表示法人們對數(shù)列的研究有的源于現(xiàn)實生產(chǎn)、生活的需要，有的出自對數(shù)的喜愛。教科書從三角形數(shù)、正方 形數(shù)入手，指出數(shù)列實際就是按照一定順序排列著的一列數(shù)。隨后，又從函數(shù)的角度，將數(shù)列看成是定義 在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)。通過數(shù)列的列表、圖象、通項公式

20、的簡單表示法，進(jìn)一步體會數(shù)列是 一種函數(shù)，是刻畫離散過程的一種重要數(shù)學(xué)模型。教科書的這種編排方式，一方面可以讓學(xué)生體會數(shù)列是一種特殊函數(shù)，加深對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解， 對數(shù)列的本質(zhì)有清晰的認(rèn)識和把握；另一方面，通過數(shù)列概念引入以及數(shù)列應(yīng)用的過程，體會數(shù)列問題的 實際應(yīng)用，提高對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣，為下面將要開始的有關(guān)等差數(shù)列與等比數(shù)列的學(xué)習(xí)做好鋪墊。給出數(shù)列的前若干項求數(shù)列的通項公式，一般比較困難，要求不宜太高，如果有通項公式也不唯一， 解決這個問題的關(guān)鍵是找出已知的每一項與其序號之間的對應(yīng)關(guān)系，然后抽象成一般形式。教學(xué)時還可通 過一些實際問題如：三角形數(shù)、正方形數(shù)、存款利息、謝賓斯基三角形、

21、斐波那契數(shù)列、放射性物質(zhì)的衰 變、九連環(huán)的智力游戲、購房中的數(shù)學(xué)等，使學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué) 實用價值。值得指出的是，在大綱教材中，遞推數(shù)列的地位和作用似乎有所提升，近幾年的高考也有所體現(xiàn)。該 內(nèi)容在教學(xué)中極易膨脹，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項公式等類似問 題會加重學(xué)生不必要的負(fù)擔(dān)。為此，指導(dǎo)意見只要求使學(xué)生初步體會一下用遞推方法給出數(shù)列的思想， 能根據(jù)遞推公式寫出一個數(shù)列的前幾項就行了，繁難復(fù)雜的遞推關(guān)系式不作要求。 2.2等差數(shù)列等差數(shù)列在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，并且大量存在于學(xué)生周圍.教科書首先從學(xué)生熟悉的四個實 例入手，引出

22、了等差數(shù)列的概念，并且結(jié)合實例（襯衫的尺碼）對等差數(shù)列作了說明。隨后由等差數(shù)列的 概念導(dǎo)出等差中項的概念，然后推導(dǎo)出了等差數(shù)列的通項公式。這種通過對日常生活中大量實際問題的分 析、建立等差數(shù)列模型的過程，加強了對等差數(shù)列基本概念、性質(zhì)的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生運用等差數(shù)列 模型解決問題的能力。用函數(shù)觀點去看等差數(shù)列，可以幫助學(xué)生理解等差數(shù)列的本質(zhì)：是在特殊定義域上的一次函數(shù)，通項公式就是這個特殊函數(shù)的解析式，但我們不能說等差數(shù)列（或它的通項公式）是一次函數(shù)。另外，有關(guān)等差數(shù)列的概念、通項公式的推導(dǎo)都是由歸納得到，這對培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、探索歸納能力提供了很好的素材。 2.3等差數(shù)列的前n項和對等差數(shù)

23、列前n項和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，體現(xiàn)了特殊到一般、一般到特殊的思想。教科書是從求1+2+3+100的高斯算法出發(fā)，并以 1+2+3+n求和為過渡，目的是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn) 等差數(shù)列任意的第 k項與倒數(shù)第k項的和等于首項、末項的和這個規(guī)律。教科書給出的探究題就是為了讓 學(xué)生在前面基礎(chǔ)上， 把數(shù)列1+2+3+n內(nèi)在的這種規(guī)律性推廣到一般的等差數(shù)列，獲得一般的等差數(shù)列求和思路-倒序相加法，教學(xué)時應(yīng)重視這一思想方法的滲透。例題的安排突出了等差數(shù)列求和公式的實際 應(yīng)用，以及等差數(shù)列前 n項和公式與二次函數(shù)之間的關(guān)系。 2.4等比數(shù)列與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列概念的引入也是通過日常生活中的實例抽象出了等比數(shù)列的模型

24、。本節(jié)所 列的4個背景實例和所傳達(dá)的思想為：1 .細(xì)胞分裂模型：生命科學(xué)中的數(shù)列模型；類似的有人口增長的模型2 .莊子中“一尺之棒”的論述：中國古代學(xué)者的極限思想3 .計算機病毒的傳播：計算機科學(xué)中的數(shù)列模型；計算機病毒的危害；“指數(shù)爆炸”的例子4 .儲蓄中復(fù)利的計算：日常經(jīng)濟(jì)生活中的數(shù)列模型這4個實例，既讓學(xué)生感受到等比數(shù)列也是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)列模型，也讓學(xué)生經(jīng)歷了從實際問 題抽象出數(shù)學(xué)模型的過程。緊跟在實例之后的“觀察”欄目，是為了給學(xué)生一定的思考和探索的空間，讓 他們自己通過觀察、歸納、猜想等認(rèn)識到等比數(shù)列的特性。等比數(shù)列的通項公式類比差數(shù)列通項公式的得 出過程，用不完全歸納法得出

25、。教學(xué)時，要充分利用平行類比思想，將等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、研究問題， 逐一類比引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，同時注意與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系。 2.5等比數(shù)列的前 n項和教科書從古印度國王獎賞國際象棋發(fā)明者傳說引入求等比數(shù)列的前n項和這個問題，采用了 “錯位相減”的方法推導(dǎo)公式，其中體現(xiàn)了等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)、方程、程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容的前后聯(lián)系。 本節(jié)課后有關(guān)“九連環(huán)”的閱讀與思考，進(jìn)一步體現(xiàn)了從具體問題中抽象出數(shù)列模型，借助數(shù)列的相關(guān)知 識解決問題的思想。教學(xué)中要重視錯位相減法的教學(xué)價值，重視等比數(shù)列求和公式中公比是否為1的討論，在公比取值范圍上要謹(jǐn)防學(xué)生片面地理解為只能是正的錯誤認(rèn)識。另外，要正確理解一

26、般數(shù)列通項公式an和前n項和sn關(guān)系。第三章 不等式不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等觀念，處理不 等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，在本章中，學(xué)生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界 和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值；掌握求解一元 二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些 簡單的二元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識基本不等式及其簡單應(yīng)用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。1 .內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章主要學(xué)習(xí)描述不等關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，一元二次不等式的解法及其應(yīng)用，

27、線性規(guī)劃問題，基本不等 式及其應(yīng)用等，通過學(xué)習(xí)，要使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo)：(1) .通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系、了解不等式（組）的實 際背景。(2) .經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相 應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖。(3) .從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示 二元一次不等式組；從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。(4) .探索基本不等式 的證明過程；會用基本不等式解決簡單最大(小)值問

28、題。2 .教學(xué)要求2.1 基本要求(1) 了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景；(2)理解不等式(組)對于刻劃不等關(guān)系的意義和價值；(3)會用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系，能用不等式(組)研究含有不等關(guān)系的實際問題；(4)理解并掌握不等式的基本性質(zhì)。(5) 了解從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；(6)理解一元二次不等式的概念；(7)通過圖象，理解并掌握一元二次不等式、二次函數(shù)及一元二次方程之間的關(guān)系；(8)理解并掌握解一元二次不等式的過程；(9)會求一元二次不等式解集；(10)掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想，會設(shè)計求解的過程；(11

29、) 了解從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)模型的過程；(12)理解二元一次不等式(組)、二元一次不等式(組)的解集的概念；(13) 了解二元一次不等式的幾何意義，理解(區(qū)域)邊界的概念及實線、虛線邊界的含義；(14)會用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域，能畫出給定的不等式(組)表示的平面區(qū)域；(15) 了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃、可行解、可行域、最優(yōu)解的概念；(16)掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法;（17） 了解基本不等式的代數(shù)背景、幾何背景以及它的證明過程；（18）理解算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)的概念；（19）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值的問題；（20）通過

30、基本不等式的實際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。2.2 發(fā)展要求（1）體會不等式的基本性質(zhì)在不等式證明中所起的作用；（2）會從實際情景中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題并加以解決。2.3 說明（1）不等式的有關(guān)內(nèi)容將在選修4-5中作進(jìn)一步討論。（2）淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的實際背景及其應(yīng)用；（3）突出用基本不等式解決問題的基本方法，不必推廣到三個變量以上的情形。3 .綱標(biāo)比較3.1章節(jié)、課時比較大綱教材課標(biāo)教材數(shù)學(xué)第二冊（上）第六章不等式（16課時）數(shù)學(xué)5第3章 不等式（約16課時）6.1不等式的性質(zhì)（約3課時）3.1不等關(guān)系與不等式（含不等式性質(zhì)）（約2課時）6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平

31、均數(shù)（約2課時）3.2 一元二次不等式及其解法（約3課時）6.3不等式白證明（約5課時）3.3.1二 a次不等式（組）與平面區(qū)域（約2課時）6.4不等式解法舉例（約2課時）3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題（約3課時）6.5含有絕對值的不等式（約2課時）（閱讀與思考錯在哪兒?）（閱讀材料n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)）（信息技術(shù)應(yīng)用用excel解線性規(guī)劃問題舉例）小結(jié)與復(fù)習(xí)（約2課時）3.4 基本不等式（約3課時）數(shù)學(xué)第二冊（上）第七章 直線和圓的方程小結(jié)與復(fù)習(xí)（約3課時）7.4簡單的線性規(guī)劃（約3課時）7.5研究性課題與實習(xí)作業(yè)：線性規(guī)劃的實際應(yīng)用（約4課時）3.1 內(nèi)容主要變化原大綱教材中，一

32、元二次不等式安排在“集合與簡易邏輯”之后，是學(xué)生剛步入高一就要學(xué)習(xí)的內(nèi)容， 而課標(biāo)教材則安排在模塊 5中，意圖在高二（上）學(xué)習(xí)，簡單的線性規(guī)劃問題從解析幾何直線和圓的方 程中移到模塊5的不等式中，與二元一次不等式組成一個單元。不等式內(nèi)容進(jìn)一步整編，刪除一元高次、分式不等式，把不等式證明 后移到選修中，基本不等式則 控制難度，只用于解決求最值問題。3.2 幾個特點內(nèi)容安排上的特點把簡單的線性規(guī)劃和不等式放在一起，將線性規(guī)劃問題作為不等式來處理，突出了不等式的幾何意義 以及在解決優(yōu)化問題中的作用，有利于理解不等式的本質(zhì)，體現(xiàn)優(yōu)化思想。教學(xué)要求上的特點在不等式求解方面，課標(biāo)對學(xué)生的基本要求進(jìn)一步 弱

33、化，在大綱教材刪除了指、對數(shù)不等式和無理 不等式的基礎(chǔ)上，又刪除了分式不等式、一元高次不等式求解， 將絕對值不等式移至選修 4-5（不等式選講）; 不等式證明采取分步到位、螺旋上升的做法，在本章教學(xué)中，其基本要求是降低的。但在選修1-2 （文科必選）、選修2-2 （理科必選）的推理與證明中，均提出用綜合法與分析法證明不等式。在選修4-5中，介紹了不等式證明的常用方法一比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，進(jìn)一步介紹了柯西不等式、排序 不等式、均值不等式及其應(yīng)用，還介紹了數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式。二元一次不等式（組）與簡單的線 性規(guī)劃問題學(xué)習(xí)要求基本不變。教學(xué)價值上變化不等式是原教材中的一個重

34、點和難點，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力和推理能力的一個很好素材，所以它強調(diào) 理論敘述、推理嚴(yán)密、變化技巧，而課標(biāo)則更加關(guān)注不等式的背景和實際應(yīng)用，把不等式作為刻畫現(xiàn) 實世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，作為描述優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型，而不再把重點放在純理論的數(shù)學(xué)探究上。4 .教學(xué)內(nèi)容分析 章頭圖本章的章頭圖是一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的 大自然中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué) 研究不等關(guān)系的強烈愿望。 3.1不等關(guān)系與不等式這一節(jié)的要求和原教材有很大的不同，原教材作為研究不等式的理論基礎(chǔ)，所以對它們歸結(jié)為幾個定

35、理和推論，并給出了證明。而現(xiàn)在把所有的定理和推論整理為不等式的八大性質(zhì)，并作一些簡要的說明， 強調(diào)這些關(guān)于不等式的事實和性質(zhì)是解決不等式問題的依據(jù)。建議在教學(xué)中不要對這些性質(zhì)的證明作過多 的糾纏，而應(yīng)該在說明這些性質(zhì)的合理性上舉例說明，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘一些感興趣的和富有時代感的 素材，通過分析其中的基本數(shù)量關(guān)系，以加深學(xué)生對“不等關(guān)系是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系”的認(rèn)識。也 可以類比等式的基本性質(zhì)，對一些不等式的推斷作一些分析驗證，通過類比，使學(xué)生認(rèn)識不等式與等式性 質(zhì)之間的相同點與不同點。 3.2 一元二次不等式及其解法在大綱教材的函數(shù)部分，借助于二次函數(shù)安排了二次不等式的內(nèi)容。這樣安排已為廣

36、大教師所接受，其好處也是多方面的。課標(biāo)教材則把二次不等式的內(nèi)容移至“必修5”，在“必修1”的函數(shù)內(nèi)容中，強調(diào)函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”，把重點放在函數(shù)概念的本質(zhì)的理解、函數(shù)性質(zhì)討論以及函數(shù)的實際應(yīng)用上，其用意固然是為了防止教師在集合的學(xué)習(xí)與函數(shù)概念的教學(xué)中，在求解定義域、 值域等“細(xì)枝末節(jié)”的問題上對學(xué)生進(jìn)行大量人為的、繁瑣的訓(xùn)練，但這種“釜底抽薪”的做法似乎更多的是因為受到各個模塊課時的限制而造成的無奈，許多首批參與實驗的教師也對此提出質(zhì)疑，認(rèn)為這樣處 理值得商榷。一元二次不等式解集的求法對于高一學(xué)生而言并不會感到困難，但理解二次函數(shù)、一元二次方程與一 元二次不等式解集

37、之間的關(guān)系，則要經(jīng)歷觀察、思考、探究的過程。課標(biāo)教材著眼于讓學(xué)生體驗知識形成過程的精心設(shè)計值得我們在教學(xué)中細(xì)心體味，無論是一元二次不等式模型的建立、解法的歸納，還是以填空的形式讓學(xué)生嘗試設(shè)計求解一般一元二次不等式過程的程序框圖，都為學(xué)生的思維活動留足了空間。這種從特殊到一般的處理方式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生了解知識的形成過程和來龍去脈，加深對知識的理解，以及對隱藏在知識發(fā)生過程中的數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。另外，教學(xué)中要控制不等式的難度，一般不要超出教科書的要求，一元二次不等式的求解只要達(dá)到基本要求即可，要淡化解不等式技巧性要求，要注意加強與函數(shù)、方程的聯(lián)系，積極滲透算法思想，突出不等式的實際

38、背景及其應(yīng)用，有關(guān)內(nèi)容將在選 修系列45中作進(jìn)一步討論。 3. 3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題不等式作為用來刻劃不等關(guān)系的有效工具，有著豐富的現(xiàn)實背景，不等式也是刻劃區(qū)域的重要工具，刻劃區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟，在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常遇到的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題常常可歸結(jié)為二元線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支，它能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實際問題。教學(xué)中要注意從實際問題引入，著眼于不等式與實際問題的聯(lián)系，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)問題源于生活且用于生活。由于線性規(guī)劃屬于多元條件極值問題，對高一學(xué)生有一定

39、難度，因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)強調(diào)借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，引導(dǎo)學(xué)生體會線性規(guī)劃的基本思想，在其它方面的一些應(yīng)用不宜作過多展開。另外，直線方程是平面解析幾何內(nèi)容，根據(jù)指導(dǎo)意見先上模塊5、后上模塊2的順序，學(xué)生對直線的斜率、截距、平行直線系等概念尚不清晰，無疑這也將增加學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的難度，有人提出“讓線性規(guī)劃回去”，也是有一定道理的。在本節(jié)內(nèi)容的后面，教材安排了閱讀材料“錯在哪兒”和信息技術(shù)應(yīng)用“用excel解線性規(guī)劃問題舉例” 前者提出的問題既有思考性又有挑戰(zhàn)性，對于同一道習(xí)題得到不同答案的類似問題情境學(xué)生常常經(jīng)歷，也 常常給學(xué)生帶來困惑，引導(dǎo)學(xué)生辨析糾錯，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和反思

40、意識。后者借助計算機為 研究二元一次不等式組的解集表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題提供試驗探索平臺，從動手實踐、觀察猜想中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，且有較強的操作性，可指導(dǎo)學(xué)生課外完成。 3.4基本不等式:本節(jié)主要內(nèi)容是使學(xué)生了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及基本不等式的證明，通過基本不等式的實 際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，重點是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式并從不同的角度探究其證明過 程。根據(jù)課標(biāo)立足基礎(chǔ)、螺旋上升的教學(xué)要求，教學(xué)時要突出用基本不等式解決問題的基本方法和基本的1-2應(yīng)用，如運用基本不等式可解決周長、面積、造價的最大（?。┲祮栴}等。對不等式證明的教學(xué)不必加深, 基本不等式僅限于二元均值不等式

41、，不必推廣到三個以上變量的情形，有關(guān)內(nèi)容會在后續(xù)學(xué)習(xí)的選修 和選修2-2的推理與證明、選修 4-5中的不等式選講中得至ij加強。教學(xué)中的幾點建議1 .關(guān)注數(shù)學(xué)情境的建立，重視反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值要關(guān)注數(shù)學(xué)情境的建立，充分挖掘現(xiàn)實世界和實際生活中有關(guān)數(shù)學(xué)實例，解三角形、數(shù)列和不等式三章內(nèi)容有著豐富的實際背景，除了教科書中的實例還有很多很好的相關(guān)的素材，教學(xué)過程中應(yīng)該充分給予挖掘，力求問題的引入能夠反映一定的生活背景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。在第一章“解三角形”中，引言就是從一個測量問題引入，在解三角形的過程中不斷與一些實際測量問題相聯(lián)系，如怎樣航行途中測出海上兩個島嶼之間的距

42、離？怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎 樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨龋吭鯓訙y出海上航行的輪船的航速和航向？等等。第二章“數(shù)列”應(yīng)自始至終貫徹“數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型”的思想，創(chuàng)造性地發(fā)掘日常生活中的實際問題，深入探討教科書中大量實例，如存款利息、出租車收費、校園網(wǎng)問題、希爾賓斯基三角形、斐波那契數(shù)列、放射性物質(zhì)的衰變、諾貝爾獎金發(fā)放金額問題、商場計算機銷售問題、九連環(huán)的智力游戲、購房中的數(shù)學(xué)等等。使學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的數(shù)學(xué)模型，體會 數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實生活的。第三章“不等式”可從日常生活中經(jīng)常用到的“長與短、”“大

43、與小”、“多與少”、“遠(yuǎn)與近”等實際 情境中引入不等關(guān)系，如通過學(xué)生感興趣的上網(wǎng)問題引入一元二次不等式的有關(guān)概念，從中認(rèn)識到學(xué)習(xí)不等關(guān)系及不等式的必要性。從銀行貸款中的資金分配問題中引入二元一次不等式組的數(shù)學(xué)模型，從現(xiàn)實生 產(chǎn)、生活中，經(jīng)常遇到的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題中引入二元線性規(guī)劃問題。再如，結(jié)合北 京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，聯(lián)系我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，緊緊抓住弦圖中相關(guān)面積間存 在的數(shù)量關(guān)系引入不等式 a2 b2 2abo2 .重視各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系數(shù)學(xué)各部分的內(nèi)容構(gòu)成一個有機的整體，教師應(yīng)充分注意這一點，并在教學(xué)中力求體現(xiàn)這種聯(lián)系。例 如，在第一章中，對于正弦定理和余弦定理，應(yīng)注意它們與已經(jīng)學(xué)習(xí)的關(guān)于三角形的定性研究的結(jié)論的聯(lián) 系。余弦定理的證明使用了向量的方法，不僅使定理的證明簡潔而明快，而且也能夠體現(xiàn)向量及其運算的 作用。第二章則可有意識的關(guān)注數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，強調(diào)數(shù)列作為一種特殊函數(shù)的意義，有條件的話也可 注意聯(lián)系算法和微積分思想，揭示“離散”和“連續(xù)”之間的關(guān)系。第三章則強調(diào)不等式與函數(shù)、方程的 關(guān)系，在一元二次不等式的解法和簡單的線性規(guī)劃問題中，始終注意數(shù)與形的聯(lián)系，通過對不等式、函數(shù) 與方程關(guān)系的理解來解決所面臨的不等式的問題。另外，在各章習(xí)題、探究性問題和閱讀