有關圓錐曲線的經典結論

1、一、橢 圓1. 點p處的切線pt平分f1pf2在點p處的外角.2. pt平分pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過po作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).9. 設過橢圓焦點f作直線與橢圓相交

2、p、q兩點，a為橢圓長軸上一個頂點，連結ap 和aq分別交相應于焦點f的橢圓準線于m、n兩點，則mfnf.10. 過橢圓一個焦點f的直線與橢圓交于兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，則mfnf.11. ab是橢圓的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。12. 若在橢圓內，則被po所平分的中點弦的方程是.13. 若在橢圓內，則過po的弦中點的軌跡方程是.二、雙曲線1. 點p處的切線pt平分pf1f2在點p處的內角.2. pt平分pf1f2在點p處的內角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以

3、焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交.4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：p在右支；外切：p在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當在右支上時，,.當在左支上時，,9. 設過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙曲線長軸上一個頂點，連結ap 和aq分別交相應于焦

4、點f的雙曲線準線于m、n兩點，則mfnf.10. 過雙曲線一個焦點f的直線與雙曲線交于兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交于點m，a2p和a1q交于點n，則mfnf.11. ab是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內，則被po所平分的中點弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0）內，則過po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對偶性質-（會推導的經典結論）橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.2. 過橢圓 (a0, b0)上任一

5、點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.3. 若p為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, , ，則.4. 設橢圓（ab0）的兩個焦點為f1、f2,p（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當0e時，可在橢圓上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.6. p為橢圓（ab0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8. 已知橢圓（ab0），o為坐標原

6、點，p、q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過橢圓（ab0）的右焦點f作直線交該橢圓右支于m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.10. 已知橢圓（ ab0）,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點, 則.11. 設p點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).(2) .12. 設a、b是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，p是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知橢圓（ ab0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢

7、圓相交于a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）17. 橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的

8、兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.3. 若p為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,f1, f 2是焦點, , ，則（或）.4. 設雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為f1、f2,p（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當1e時，可在雙曲線上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.6. p為雙曲線（a

9、0,b0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.7. 雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.8. 已知雙曲線（ba 0），o為坐標原點，p、q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最小值為;（3）的最小值是.9. 過雙曲線（a0,b0）的右焦點f作直線交該雙曲線的右支于m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.10. 已知雙曲線（a0,b0）,a、b是雙曲線上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點, 則或.11. 設p點是雙曲線（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1)

10、.(2) .12. 設a、b是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，p是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知雙曲線（a0,b0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(

11、離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.其他常用公式：1、連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數關系來計算弦長，常用的弦長公式：2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(a,b不同時為0)的形式。3、知直線橫截距，常設其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、若直線與直線平行則 （斜率）且（在軸上截距） （充要條件）6、圓的一般方程：

12、，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。7、圓的參數方程：（為參數），其中圓心為，半徑為。圓的參數方程的主要應用是三角換元：；8、為直徑端點的圓方程切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）9、弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構成的直角三角形來解：；過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.一、橢圓答案1 橢圓上一點p處的切線平分焦點三角形外角的證明 題目：已知為橢圓的焦點，p為橢圓上一點。求證：點p處的切線pt必平分在p處的外角.在解答此題之后，我們還得到一個重要的定理.證法1 設.對橢圓方程兩邊求導得，yxf1odf2tp12n1324m 又，由到角公式知 ，同理. ， ，又， 證法2 設，如圖1，過、作切線pt的垂線，垂足分別為m、n. 切線pt的方程為，則點、到pt的距離為， , 又 .兩種證法都是由導出，如圖，設pd為法線（即pd切線pt），則pd平分，故得如下重要定