淺談初中數(shù)學分類討論思想的滲透

1、淺談初中數(shù)學分類討論思想的滲透瓊海市煙塘中學 陳法摘要：“分類”源于生活用于生活，分類思想是自然科學乃至社會科學中的基本邏輯方法，也是研究數(shù)學問題的重要思想方法，它應(yīng)貫穿于整個數(shù)學教學中。在解題中正確、合理、嚴謹?shù)姆诸?，可將一個復(fù)雜的問題大大的簡化，達到化繁就簡，化難為易，分而治之的目的。關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；數(shù)學思想；分類討論；滲透數(shù)學知識的教學有兩條線: 一條是明線, 即數(shù)學知識; 一條是暗線, 即數(shù)學思想方法。在數(shù)學概念的確立，數(shù)學事實的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學理論的推導學知識的運用中，讓學生了解數(shù)學知識形成的過程，明確其產(chǎn)生和發(fā)展的外部與內(nèi)部的驅(qū)動力，將會對培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性，發(fā)散性與靈活性以及整體文

2、化素質(zhì)產(chǎn)生深刻而持久的影響，從某種意義上來說，數(shù)學思想方法既是數(shù)學的基礎(chǔ)知識, 是知識的精髓, 又是將知識化為能力的橋梁, 用好了就是能力。因此數(shù)學老師在教學中要注重數(shù)學思想方法的滲透、概括和總結(jié), 要重視數(shù)學思想方法在解題中的指導作用。分類討論的數(shù)學思想，也稱分情況討論，當一個數(shù)學問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類。將一個數(shù)學問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合。分類討論是根據(jù)問題的不同情況分類求解，它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法。分類討論思想是在數(shù)學知識的發(fā)生和應(yīng)用的過程中

3、形成和發(fā)展的，在知識發(fā)展的各個階段所反映出不同的層次性。在數(shù)學教學中，我們既要重視數(shù)學知識應(yīng)用階段的教學，更要重視形成階段的教學，把數(shù)學思想方法的訓練貫穿于教學始終，充分揭示數(shù)學思維過程，將“發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學”返璞歸真地教給學生，幫助他們了解問題的本來面目，回復(fù)問題的本源。我想，這才是數(shù)學教學追尋的最終目的。一、在概念教學中滲透分類討論意識分類討論是重要的數(shù)學思想方法，但初中學生常常分類討論的意識不強，不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類。這就需要教師在教學中結(jié)合教材，創(chuàng)設(shè)情景，予于強化，需要區(qū)分種種情況進行討論的問題，啟發(fā)誘導，揭示分類討論思想的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學生自覺應(yīng)用分類討論的意識。由

4、于數(shù)學中的許多概念的定義是分類給出的或是不少概念都有一定的限制，如實數(shù)的分類，一元二次方程的概念中對二次項系數(shù)的限定，平方根中對于被開方數(shù)的限定等，完全平方式的意義，絕對值中a的三種情況的分類給出等。涉及到這些概念是就必須按照給出的概念的分類形式進行討論。如對于一元二次方程一般式中涉及a0的規(guī)定，教學時，我讓學生理解當a=0與a0時，方程會有怎樣的變化，在此基礎(chǔ)上，讓學生說明關(guān)于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-2(3m-1)=0中m的限制條件，隨后進行了概念的變式，將“一元二次”四字隱去，提出這是個怎樣的方程，并如何求解。學生經(jīng)歷了對概念中關(guān)鍵字詞及補充條件的理解后，很清晰地就a=0與a

5、0兩種情況作分類討論。在日常教學中的這種有序的、有目的滲透，使學生在學習的過程中逐步領(lǐng)悟和接受解決問題中的分類討論的思想，在學習知識的過程中體會到為什么要分類及分類的基本原則（分類標準要統(tǒng)一，不重復(fù)不遺漏），明確分類討論的思想是解決某些數(shù)學問題的一種重要的、有用的思想方法，從而在體會分類的完整性和嚴謹性中訓練了學生思維的條理性和目的性。二、在法則、定理、公式體現(xiàn)分類討論思想初中課本中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學過程中要有意識地讓學生在學習中逐漸的體會分類討論的思想。初一數(shù)學課本在引入負數(shù)后即對有理數(shù)進行分類：將有理數(shù)分為正數(shù)、零、負數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分為整數(shù)、分數(shù)。讓學

6、生辨別不同分類的依據(jù)，初步體會分類要不重復(fù)，不遺漏；標準不同則分類不同的基本原則。此時可提出問題“-a一定是負數(shù)嗎？”啟發(fā)學生分a0，a=0，a0， a=0， a0時，應(yīng)如何表示，并要求學生能做一些簡單的化簡題。例如去掉，中的絕對值符號，在解題的過程使學生體會分類討論的思想方法，學會初步應(yīng)用。這個讓學生探索推導有理數(shù)加法法則的過程，實際上就是應(yīng)用分類思想解決問題的一個完整的過程。使學生在學習知識的過程中體會：為什么要分類？（是因為一個問題存在幾種不同的情況，不能一概而論）及分類的基本原則（分類要完整，不重不漏）。在隨后的去括號法則、有理數(shù)的乘法、乘方的教學中均可仿照此方法滲透分類的思想。又如初

7、中九年級課本證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。為什么要根據(jù)圓心相對于圓周角的位置分成三種情況去證，這就需要學生在自主畫圖測量、分析討論方可以回答的問題，否則就失去了從一般到特殊，從特殊到一般的思維過程，就無法體會分類證明的目的和優(yōu)點。于是學生在我的引導下，興趣盎然地進行探索活動，逐步體會到恰當?shù)姆诸惪稍鰪婎}設(shè)的條件，即把分類的依據(jù)做為附加條件，先證明特殊情況，再由特殊情況推廣到一般情況的解決問題的思路，揭示分類討論的本質(zhì)為化繁為簡，由特殊到一般，分而治之。之后，在學習弦切角定理的證明時，學生們再次重現(xiàn)了“分類討論的思想”的探究過程。在數(shù)學教學中，我們應(yīng)該不斷重視法則、

8、定理、公式的論證過程，注意歸納、揭示公式之間的聯(lián)系，幫助學生增強分類意識，體驗分類思想方法的作用。三、在解題規(guī)律過程中突出與強化分類討論的思想。要解好數(shù)學問題，不僅要有足夠的數(shù)學知識和技能，而且要有清晰的解題思路，在概括解題規(guī)律的過程中，如何突出數(shù)學思想方法就成了數(shù)學教學的一個很重要的任務(wù)。就分類討論思想方法而言，在題規(guī)律過程中以下兩種情況居多。一是由幾何圖形的可變性引起的討論。在解題過程中有些幾何問題的圖形位置或形狀不能確定，如果解題時進行統(tǒng)一處理，將會遇到較大困難，這時就必須進行討論，把問題分成幾類或幾部分來處理，采取分而治之的方法來各個擊破。在實際教學中可以碰到很多這種習題。如：1、 等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？2、 等腰三角形一個角是70，求其他兩個角的度數(shù)？3、在abc中，ab=6，ac=8，d、e分別為ab、ac邊上的點，且ad=2.若abc與ade相似，則ae= ?？傊?，數(shù)學中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學思想，通過加強數(shù)學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠的影響。教師在制訂教學目的、采用教學方法時，都應(yīng)有意識地突出分類討論思想，并在具體教學過程中努力體現(xiàn)。根據(jù)初中學生的特點，教學中要遵照循序漸近、逐步深化的原