高等數(shù)學：二重積分的計算法（1）

1、如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()( 21 xyx X型型 )( 2 xy a b D )( 1 xy D b a )( 2 xy )( 1 xy 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)( 1 x )( 2 x ,ba 二重積分的計算法二重積分的計算法(1) 一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分 為曲頂?shù)闹w的體積為曲頂?shù)闹w的體積 為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以 ),( ),( yxf zDdyxf D 應用計算應用計算“平行截平行截 面面積為已知的立面面積為已知的立 體求體積體求體積”的方法的方法, z y x )( 2

2、 xy )( 1 xy ),( yxfz )( 0 xA 得得 .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf ab 0 x d 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為： ,dyc ).()( 21 yxy Y型型 )( 2 yx )( 1 yx D c d c d )( 2 yx )( 1 yx D .),(),( )( )( 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf X型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直軸的直 線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. Y型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)

3、域且平行于x軸的直軸的直 線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. 若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，則必須分割則必須分割. 在分割后的三個區(qū)域上分別在分割后的三個區(qū)域上分別 使用積分公式使用積分公式 . 321 DDDD 3 D 2 D 1 D 注注 ）二重積分化累次積分的步驟）二重積分化累次積分的步驟 畫域，選序，定限畫域，選序，定限 ）累次積分中積分的上限不小于下限）累次積分中積分的上限不小于下限 ）二重積分化累次積分定限是關鍵，積分限）二重積分化累次積分定限是關鍵，積分限 要根據(jù)積分區(qū)域的形狀來確定，這首先要畫好要根據(jù)積分區(qū)域的形狀來確定，這首先要畫好 區(qū)域的草圖，區(qū)域的草

4、圖，畫好圍成畫好圍成D的幾條邊界線，的幾條邊界線， 若是若是X型，型， 就先就先 y 后后 x 若是若是Y型，就先型，就先 x 后后 y ， 注意內層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層注意內層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層 積分限是常數(shù)。積分限是常數(shù)。 例例 1 1 改改變變積積分分 x dyyxfdx 1 0 1 0 ),(的的次次序序. 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖 xy 1 原原式式 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),(. 例例 2 2 改改變變積積分分 xxx dyyxfdxdyyxfdx 2 0 2 1 2 0 1 0 ),(),( 2 的的次次序序. 解解 積分區(qū)域如圖積分區(qū)

5、域如圖 xy 2 2 2xxy 原原式式 1 0 2 11 2 ),( y y dxyxfdy. 例例3 計算計算 D dxdyxy 2 D 2 ,xyxy 10 2 x xyx 解一解一 D：X型型 11 2 2 xy 2 11yx 2 1 11yx 2 2 11yx D 2 xy D 1 0 63 1 0 22 40 1 )( 3 1 2 dxxxx dyydxdxdyxy D x x 解二解二D 10y yxy Y型型 1 0 22 1 0 2 40 1 )( 2 1 dyyyydxxydyI y y 例例4 計算計算 D xyyxyDdxdy x y 1, 2,:, 2 2 x y o

6、 yx 解解 D 21 1 y yx y Y型型 I = 2 1 1 2 2 y y dx x y dy 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下邊界曲線在的下邊界曲線在 x 的不同范的不同范 圍內有不同的表達式，圍內有不同的表達式， 須分片積分，計算較麻煩。須分片積分，計算較麻煩。 2 1 32 4 9 )(dyyyy 2 1 2 1 2 1 x y o 1xy 2y yx 1x 由以上兩例可見，為了使二重積分的計算較為由以上兩例可見，為了使二重積分的計算較為 方便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的方便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的 特點來確定，在積分區(qū)域的表達式中選取比較簡單

7、特點來確定，在積分區(qū)域的表達式中選取比較簡單 的一組，從而確定相應的公式，同時還要兼顧被積的一組，從而確定相應的公式，同時還要兼顧被積 函數(shù)的特點，看被積函數(shù)對哪一個變量較容易積分，函數(shù)的特點，看被積函數(shù)對哪一個變量較容易積分， 總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點?？傊骖櫡e分區(qū)域和被積函數(shù)的特點。 例例5 計算計算 D xy xyyxxDdxdyye1, 2, 2, 1:, 解解 D是是X型區(qū)域型區(qū)域 2 1 2 1 x xydy yedxI 要分部積分，不易計算要分部積分，不易計算 D 1 2ox y 1 2 若先若先 x 后后 y 則須分片則須分片 2 1 2 1 xy 1 2 1 2

8、 y 1 xy dxyedydxyedyI 易見盡管須分片積分，但易見盡管須分片積分，但 由于被積函數(shù)的特點，積由于被積函數(shù)的特點，積 分相對而言也較方便。分相對而言也較方便。 例例6 6 改改變變積積分分)0(),( 2 0 2 2 2 adyyxfdx aax xax 的的次次序序. 解解axy2 2 2xaxy 22 yaax D 原式原式= ayaa a y dxyxfdy 0 2 22 2 ),( aa yaa dxyxfdy 0 2 22 ),( .),( 22 2 2 a a a a y dxyxfdy a2a a2 a 例例 7 7 求求 D dxdyyx)( 2 ，其中，其中

9、D是由拋物線是由拋物線 2 xy 和和 2 yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域. 解解 兩兩 曲曲 線線 的的 交交 點點 ),1 , 1( ,)0 , 0( 2 2 yx xy 2 xy 2 yx D dxdyyx)( 2 1 0 2 2 )( x x dyyxdx dxxxxxx)( 2 1 )( 42 1 0 2 . 140 33 例例8 求求 D y dxdyex 2 2 ，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為頂點的三角形為頂點的三角形. 解解 dye y2 無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 D y dxd

10、yex 2 2 y y dxexdy 0 2 1 0 2 dy y e y 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y ). 2 1( 6 1 e 2 xy 2 yx 例例10 計算計算 D xyxyDdxdy x xy 2,:, 1 ) 1sin( 2 解解 根據(jù)積分區(qū)域的特點根據(jù)積分區(qū)域的特點 1 4 -1 2應先對應先對 x 后對后對 y 積分積分 dx x xy dyI y y 2 1 2 2 1 ) 1sin( 但由于但由于 1 ) 1sin( x x 對對 x 的積分求不出，無法計算，的積分求不出，無法計算， 須改變積分次序。須改變積分次序。 x y 先先 y 后

11、后 x 有有 dy x xy dx x x 4 12 1 ) 1sin( dx x x xx 1 )1sin( )2( 2 1 0 2 4 1 dx x x xx 4 1 2 1 )1sin( )45( 2 1 4 1 )1sin()4( 2 1 dxxx )3sin3( 2 1 dy x xy dxI x x 1 0 1 ) 1sin( 奇函數(shù)奇函數(shù) 1 4 -1 2 x y xy xy 2 xy 化二重積分為累次積分時選擇積分次序的化二重積分為累次積分時選擇積分次序的 重要性，有些題目兩種積分次序在計算上難易程重要性，有些題目兩種積分次序在計算上難易程 度差別不大，有些題目在計算上差別很大，甚至度差別不大，有些題目在計算上差別很大，甚至 有些題目對一種次序能積出來，而對另一種次序有些題目對一種次序能積出來，而對另一種次序 卻積不出來卻積不出來 另外交換累次積分的次序：先由累次積分另外交換累次積分的次序：先由累次積分 找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交 換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。換積分次序，寫出另