《高等數(shù)學》第01章 函數(shù)與極限習題詳解

1、第一章 函數(shù)與極限習題詳解第一章 函數(shù)與極限習 題 1-11求下列函數(shù)的自然定義域：（1）； 解：依題意有，則函數(shù)定義域（2）；解：依題意有，則函數(shù)定義域（3）；解：依題意有，則函數(shù)定義域（4）；解：依題意有，則函數(shù)定義域（5） 解：依題意有定義域（6）.解：依題意有，則函數(shù)定義域2已知定義域為，求()的定義域解：因為定義域為，所以當時，得函數(shù)的定義域為；當時，得函數(shù)定義域為；當時，得函數(shù)定義域為；當時，得函數(shù)定義域為：（1）若，；（2）若，；（3）若，3設(shè)其中求函數(shù)值解：因為，則，4設(shè)，求與，并做出函數(shù)圖形解：，即，即，函數(shù)圖形略5設(shè)試證：證明：，即，得證6下列各組函數(shù)中，與是否是同一函數(shù)？

2、為什么？（1） ；不是，因為定義域和對應(yīng)法則都不相同（2）；是（3）；不是，因為對應(yīng)法則不同（4）；不是，因為定義域不同7確定下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：（1），； 解：當時，函數(shù)單調(diào)遞增，也是單調(diào)遞增，則在內(nèi)也是遞增的 （2），解：，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，則是單調(diào)遞減的，故原函數(shù)是單調(diào)遞減的8. 判定下列函數(shù)的奇偶性（1）； 解：因為，所以是奇函數(shù) （2）；解：因為，所以是偶函數(shù)（3）； 解：因為，所以既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù)（4）.解：因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)9設(shè)是定義在上的任意函數(shù)，證明：（1）是偶函數(shù)，是奇函數(shù)；（2）可表示成偶函數(shù)與奇函數(shù)之和的形式.證明：（1）令，則，所以是偶函數(shù)，是奇

3、函數(shù)（2）任意函數(shù)，由（1）可知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以命題得證10證明：函數(shù)在區(qū)間上有界的充分與必要條件是：函數(shù)在上既有上界又有下界.證明：（必要性）若函數(shù)在區(qū)間上有界，則存在正數(shù)，使得，都有成立，顯然，即證得函數(shù)在區(qū)間上既有上界又有下界（充分性）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上既有上界，又有下界，即有，取，則有，即函數(shù)在區(qū)間上有界11下列函數(shù)是否是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)指出其周期：（1）； 周期函數(shù)，周期為（2）；周期函數(shù)，周期為2（3）； 不是周期函數(shù)（4）.周期函數(shù)，周期為12求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）； 解：依題意，則，所以反函數(shù)為（2）；解：依題意，則反函數(shù)（3）； 解：依題意，所以反函數(shù)（4） 解

4、：依題意，所以反函數(shù)13在下列各題中，求由所給函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)，并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值和的函數(shù)值：（1）；（2）解：（1）（2），14在一圓柱形容器內(nèi)倒進某種溶液，該容器的底半徑為，高為當?shù)惯M溶液后液面的高度為時，溶液的體積為試把表示為的函數(shù)，并指出其定義區(qū)間解：依題意有，則15某城市的行政管理部門，在保證居民正常用水需要的前提下，為了節(jié)約用水，制定了如下收費方法：每戶居民每月用水量不超過4.5噸時，水費按0.64元噸計算超過部分每噸以5倍價格收費試建立每月用水費用與用水數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系并計算用水量分別為3.5噸、4.5噸、5.5噸的用水費用解：依題意有，所以習 題 1-21設(shè)，

5、（1） 求的值；（2） 求，使當時，不等式成立；（3） 求，使當時，不等式成立解：(1) （2） 要使 即 ， 則只要 取n 故當n1110時，不等式成立（3）要使成立， 取，那么當時， 成立.2根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：（1）；（2）解：（1）， 要使， 只要取， 所以，對任意，存在，當時，總有，則. (2) ,要使, 即,只要取,所以,對任意的0,存在, 當, 總有, 則.3若證明并舉例說明：如果數(shù)列有極限，但數(shù)列未必有極限證明: 因為, 所以, , 當時, 有.不妨假設(shè)a0, 由收斂數(shù)列的保號性可知:, 當時, 有, 取, 則對, , 當時, 有.故. 同理可證時, 成立.反之,如果數(shù)列有

6、極限, 但數(shù)列未必有極限.如：數(shù)列, ， 顯然, 但不存在4設(shè)數(shù)列有界，又證明：證明: 依題意,存在m0, 對一切n都有， 又, 對, 存在, 當時, , 因為對上述, 當時, ,由的任意性, 則5設(shè)數(shù)列的一般項，求解: 因為, , 所以 .6對于數(shù)列，若，證明：證明: 由于, 所以, , , 當時，有, 同理, , 當時, 有取=max, , 當時, 成立, 故習 題 1-31當時，問等于多少，使當時，？解：令 ，則，要使，只要，所以取，使當 時，成立 2當時，問等于多少，使當時，？解：要使m時,總有,故.4用或語言，寫出下列各函數(shù)極限的定義：（1）；（2）；（3）；（4）解: (1) ,

7、當x-m時, 總有;(2) , 當, 總有;(3) , 當時, 總有;(4) 當時, 總有5證明:.證明: 由于, ,所以.6證明：若及時，函數(shù)的極限都存在且都等于，則證明: 由于,則對,當時,有又,則,當,有.取那么對,當時,總有,故有.習 題 1-4 1根據(jù)定義證明：（1）為當時的無窮?。唬?）為當時的無窮?。唬?）為當時的無窮大證明: (1) ,因為,取,則當時, 總有,故(2) ,因為,取, 則當時, 總有, 故.(3) , ,當時,總有,所以 .2函數(shù)在內(nèi)是否有界？該函數(shù)是否為時的無窮大？解答: 取,則,因此當時, 故函數(shù) 當時,不是無窮大量下證該函數(shù)在內(nèi)是無界的. , 且,，取,

8、,有，所以是無界的. 3證明：函數(shù)在區(qū)間上無界，但這函數(shù)不是時的無窮大證明: 令,類似第2題可得習 題 1-51求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）解: (1) = (2) = = (3) =(4) =(5) =(6) =(7) =(8) =(9) =(10) =(11) =(12) =(13) =(14) =(15) =2設(shè)問當為何值時，極限存在解：因為，所以，當，即時，存在3求當時，函數(shù)的極限解：因為 所以不存在。4已知，其中為常數(shù)，求和的值解：因為，所以，則5計算下列極限

9、： （1）；（2）;（3）；（4）6試問函數(shù)在處的左、右極限是否存在？當時，的極限是否存在？ 解：，因為，所以習 題 1-61 計算下列極限：（1）； （2）；（3）；（4）解：（1）（2）（3）（4）2計算下列極限：（1）； (2) ；（3）； （4）；（5）；（6）為不等于零的常數(shù)）解：3利用極限存在準則證明：（1）數(shù)列，的極限存在；證明：先用數(shù)學歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增。由于。假設(shè)成立，則，所以數(shù)列單調(diào)遞增下證有界性，假設(shè)，則，故，即數(shù)列有界根據(jù)單調(diào)有界準則知存在不妨設(shè)，則有，解得，（舍去），即有（2）； 證明：因為 ，又，所以(3) ；證明：因為， 又，所以原式成立(4) 證明：對任一，

10、有，則當時，有于是（1）當時，由夾逼準則得（2）當時，同樣有習 題 1-71 當時，與相比，哪一個是高階無窮小？解：因為，所以是比高階無窮小2 證明：當時，證明：因為，又，則，故3 利用等價無窮小的性質(zhì)，求下列極限：（1）為正整數(shù)）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）,其中,均為常數(shù).解： 當時，若與是等價無窮小，試求解：依題意有， 因為，則，故習 題 1-81研究下列函數(shù)的連續(xù)性：（1） （2） 解答：（1）在和內(nèi)連續(xù)，為跳躍間斷點； （2）在上處處不連續(xù)。2討論下列函數(shù)的間斷點，并指出其類型如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使其連續(xù)（1）； 解答

11、：在和內(nèi)連續(xù)，為跳躍間斷點（2）解：在上是連續(xù)的（3）；解：在（，1），（1，2）和（2，）內(nèi)連續(xù)，x=1為可去向斷點，若令,則在x=1連續(xù)；x=2為第二類向斷點（4）；解：在（，0）和內(nèi)連續(xù)，x=0為第二類向斷點；（5）；解：在，（1，0），（0，1）和內(nèi)連續(xù)；x=是第二類間斷點；x=0是跳躍間斷點；x=1是可去間斷點，若令，則在x=1處連續(xù)（6）解：在和內(nèi)連續(xù)，x3為跳躍間斷點3討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，判別其類型（1）；解： 為跳躍間斷點；（2）解： 為跳躍間斷點4設(shè)函數(shù)試確定的值，使函數(shù)在處連續(xù)解：因為所以，依題意有=2.5設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，求和的值解：因為，依題意有為任意實數(shù)

12、6試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)的例子：(1) 是的所有間斷點，且它們都是無窮間斷點，例如： ；(2) 在上處處不連續(xù)，但在上處處連續(xù)；例如：(3) 在上處處有定義，但僅在一點連續(xù)，例如：習 題 1-91研究下列函數(shù)的連續(xù)性：（1）；解答：因為在上是初等函數(shù)，所以在上連續(xù)（2）；解答：顯然當時，無意義，但，則是函數(shù)的可去間斷點（3）；解答：當時，即時，連續(xù)求下列極限：（1）；解：（2）；解： ；（3）；解：（4）；解：；（5）；解：；（6）；解：（7）；解： ；（8）；解： ；（9）解： ；3設(shè)函數(shù)與在點連續(xù)，證明函數(shù)，在點也連續(xù)證明：略4若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則和的關(guān)系是（ ）a b c d 不能確

13、定解答：因為依題意有5設(shè)且，求常數(shù)的值解：因為，則，所以習 題 1-101. 證明方程在內(nèi)至少有一實根證明：令，則在上連續(xù)，又，根據(jù)零點定理， 在開區(qū)間內(nèi)至少有一點使，即在內(nèi)至少有一實根2證明方程有正實根證明：令，則在內(nèi)連續(xù)，又，根據(jù)零點定理，在內(nèi)至少有一點，使，即有正實根3設(shè)函數(shù)對于閉區(qū)間上的任意兩點、，恒有，其中為正常數(shù)，且證明：至少有一點，使得證明：任取，取，使，依題意有，則，即，由的任意性，可知在內(nèi)連續(xù)，同理可證在點右連續(xù)，點左連續(xù)，那么，在上連續(xù)。而且，根據(jù)零點定理，至少有一點，使得4若在上連續(xù)，則在內(nèi)至少有一點，使證明：因為在上連續(xù)，所以在上有最小值，最大值，使得,，因此，由介值定

14、理得，在內(nèi)至少有一點，使.若在上連續(xù)，且試證至少存在一點使得證明：因為在上連續(xù)，所以在上有最小值，最大值，使得,，那么，即，又，故，由介值定理可知，至少存在一點使得6證明：若在內(nèi)連續(xù)，且存在，則必在內(nèi)有界證明：因為存在，則必有，使得當時，對任意的，有，因此，在區(qū)間及區(qū)間上有界，即當，存在，有，同時，在上連續(xù)，有由有界性定理知，存在，當，取，則當時，總有，即在內(nèi)有界復習題a1.設(shè), , 求及其定義域.解: , 其定義域為且,即;.,其定義域為 . 2.求函數(shù)的反函數(shù).解: 因, 所以, 3單項選擇題(1)下列各式中正確的是（）a；b；c； d(2)當時，下列四個無窮小量中，哪一個是比其它三個更高

15、階的無窮小（）a；b；c； d(3)極限為（）a；b；c； d不存在但不為(4) 若當時，和都是無窮小，則當時，下列表達式中哪一個不一定是無窮?。ǎ゛；b和；c； d (5) 設(shè)適合，則以下結(jié)果正確的是（）a；b可取任意實數(shù)；c可取任意實數(shù)；d都可取任意實數(shù)解答： (1) a; (2) d; (3) d: (4) d; (5) c4.求下列極限:(1) ;(2) ;(3) ;=;(4) ;(5) (6) =;(7) (8) (9) (10) 5設(shè)當時，是比高階的無窮小證明：當時，與是等價無窮小證明: 由已知得則即是等價無窮小6已知，求常數(shù)與的值解：因為，所以，則，7.設(shè)并求此極限證明：用數(shù)學歸

16、納法證明此數(shù)列的單調(diào)性因為 及，可知假設(shè)則 ，所以單調(diào)遞減，又顯然，即有下界，由單調(diào)有界準則知存在極限，設(shè)，兩邊取極限，有a=，解之得a=3或a=（舍去） ，即得=3 8.確定常數(shù)a與b的值，使得函數(shù)=處處連續(xù)解：當時，=和當時，=，顯然它們都是連續(xù)的，又f（x）=3， f（x）=，當時，=a,要使f（x）在x=0點也連續(xù)，則=3=a,即a=3,b=ln39.求下列函數(shù)的間斷點，并判斷其類型（1）=；解：因為=，=，又時，連續(xù)，所以只有x=0為間斷點，x=0為跳躍間斷點（2）=；解：當tanx=0時，有x=0或x=n（n=1,2,）因為=1，所以x=0為可去間斷點又=（n=1,2,），所以（n

17、=1,2,）為無窮間斷點當（n=1,2,）時，=0，所以（n=1,2,）是可去間斷點（3）；解：=，因f（x）=0， =1，所以x=0為跳躍間斷點復習題b1單項選擇題（1）當時，下列無窮小量中與不等價的是（ ）a b c d（2）下列極限不存在的是（ ）a b c d（3）極限（ ）等于a b c d（4）設(shè)，數(shù)列，如果，則的值為（）a b c d（5）已知，其中與為常數(shù)則（ ）a， b， c， d，（6）設(shè)函數(shù)，則（ ）a有無窮多個第一類間斷點 b只有個可去間斷點 c有個跳躍間斷點 d有個可去間斷點解答：（1）d;（2）c;（3）b;（4）b;（5）c;（6）d（提示：x=0，1為可去間斷點

18、）2填空題（1）設(shè)函數(shù)的定義域是，則的定義域是_（2）計算=_（3）設(shè)，則=_，（4）設(shè)時，與是同階無窮小，則（5）設(shè)，則，（6） 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入空格內(nèi)：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的條件；函數(shù)的極限存在是在的某一去心鄰域內(nèi)有界的條件；函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)無界是的條件；函數(shù)在左連續(xù)且右連續(xù)是在連續(xù)的條件 答案：（1）；（2）1；（3）a=1；b為任意實數(shù)；（4）;（5）0，0；（6）必要，充分，必要，充要（2）題解答過程：=1（3）題解答過程：因為=，所以，a=1，b為任意實數(shù)（4）題解答過程：因為=c（常數(shù)），所以u=（5）題解答過程：因為=，所以=(其中為當x時的無窮小量)，那么=，=，故=0，=03求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）； （10）解答：（1）（2）（3）=（4）=（5）=（6），其中|2|2，即2是有界量，故（7）因為，又，所以（8）因為，所以，（9）.（10） .4已知函數(shù)，試確定的間斷點及其類型解：因為，所以，因此，均為可去間斷點。5設(shè)函數(shù)求，使在處連續(xù)解： 因為