2620.整體思想的解題策略

1、整體思想的解題策略人們在考慮問題時，通常把一個問題分成若干個簡單的小問題，盡可能地分散難點，然后再各個擊破，分而治之。本文所要介紹的解題方法與上述習慣方法恰恰相反。在解題時，細察命題的外形，把握問題的特征，展開聯(lián)想，將各個局部因素合而為一，創(chuàng)設整體或整體處理，從而達到問題的解決，此方法稱為整體思想方法。這種方法運用得當，常能化難為易，使解題思路出現(xiàn)豁然開朗的情景，達到快捷、簡便的解題目的。一、構造整體在解題中，注意到問題的特征、創(chuàng)設整體，從而使問題得到解決。例1：證明證：設m=，n=，顯然mn則mn=()()=m2mn m2 故m評注：本解法抓住m，n這兩個整體，使問題得到解決。本題還可以用數(shù)

2、學歸納法證明，但顯然較為繁瑣。例2：設三個方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共實數(shù)解，求實數(shù)a、b、c之間的關系。解：設三個方程的公共實數(shù)根為x0，則ax02+bx0+c=0 bx02+cx0+a=0 cx02+ax0+b=0 + (a+b+c)( x02+x0+1)=0x02+x0+1=(x0+)+0，a+b+c=0評注：本題欲求a、b、c關系，似乎難以下手，若能構造a+b+c這一整體，使問題的解決豁然開朗。二、整體求解解題過程中，視所求問題為一整體，根據條件的結構特征，合理變形，直接得到問題的答案。例3：設有四個數(shù),其中每三個數(shù)之和分別為22、20、1

3、7、25，求此四個數(shù)。解：設此四個數(shù)之和為x，則得方程(x22)+(x20)+(x17)+(x25)=x，解得x=28四數(shù)依次為8、3、6、11評注：本題解法考慮到四數(shù)之和問題的整體，可使問題中四個數(shù)變?yōu)橹皇且粋€未知數(shù)，從而使問題得到有效的解決。本題若按通常解題習慣，須分別設四個數(shù)，然后列出四個方程所組成方程組，解題較繁。例4：已知2sincos=1，求的值解：設=k，則(1k)sin+(1+k)cos=k1又2sincos=1 解得sin= cos=(k3)由()2+()2=1 解得k=0或k=2故原式的值為0或2評注：本解法利用=k這一整體進行求解，能簡捷解決問題。本題若由已知條件2sin

4、cos=1及sin2+cos2=1聯(lián)立解得sin、cos的值，再代入求值，計算較為繁瑣。例 5、三棱錐s-abc的個側面互相垂直，它們的面積分別是6m2,4m2,和3m2，求它的體積。s解 如圖，設s-abc的三側棱長分別為xm,ym,zm,體積為z，則由題意得ca xy=6, yz=4, zx=3b得(xyz)2=(24)2, 則v=xyz=24=4m3注 本題沒用解方程組的方法，先求x,y,z，而將xyz視為一整體求值，故簡捷而巧妙。例 6、球面內接圓臺的高為h，球心到母線的距離為p,則球內接圓臺的側面積dccds=2ph分析與證明：如圖，需求的baba是s=(r+r)l ,但r,r,l均

5、未知，下面尋找它們與已知量h,p的關系。為此作輔助線，將r,r,l,h,p都集中到有聯(lián)系的圖形之中。（1） 作ddab dd=h（2） 作eoad e為ad的中點（垂直于弦的半徑平分弦）（3） 作eeoo ee=在rt dda和rt eeo中daoeddee add=oeeadd，oee為銳角ddaeeo 即 （r+r）l=2ph 代入得 s=2ph注 按常規(guī)解法，必須把r,r,l分別用p,h表示出來，但這樣做相當困難，且?guī)缀跏遣豢赡艿?。此時我們便該調整思路，用整體思想，將（r+r）l視為一整體來求值，這樣問題便巧妙的得到解答。三、整體換元在解題中，往往巧設某一整體為輔助元或未知元，或將某未知

6、元整體用另一些未知元整體代換，尋求解題思路。例7：等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為sn和tn，若=求的值。解：，=，評注：本解法是根據等差數(shù)列的性質，m、n、p、qn，且m+n=p+q時，則am+an=ap+qq，再將其作為一個整體代入，靈活又簡便。例8、：已知f（x）=x5+ax3+bx- 8，且f（- 2）=10，求f（2）解： 設g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx注意到g（x）= -g（- x），即g（x）是奇函數(shù)，因此， g（2）=- g（- 2）f（2）=g（2）- 8=- g（- 2）- 8=- f（- 2）+8- 8=- 26 評注：本題將f(- 2)看作一個整體，注意

7、到g（x）=f（x）+8= x5+ax3+bx是一個奇函數(shù)。使計算過程大大簡化。將x5+ax3+bx看作整體而用g（x）代換，過程簡捷明了。如用一般思路則會一籌莫展,這是因為，其一，a,b未知,其二，要解5次方程,而5次方程無法解.四、整體變形解題中，將條件等式看成一個整體，根據題目特點進行適當變形，以助解題進行。例9：求函數(shù)f(x)=3sin(x+20)+sin(x+80)的最大值解：f(x)=3sin(x+20)+sin(x+20) +60=3sin(x+20)+sin(x+20)+ cos(x+20)= sin(x+20)+ cos(x+20)= sin(x+20+)(其中=arc ta

8、n)因此f(x)的最大值為評注：此題若按角形式展開,就沒有思路了。本解法抓住x+80=（x+20）+60這一整體，巧妙變形，使得問題得到解決。例10：已知z是虛數(shù)，z2+2是實數(shù)，且arg(3z)= ，求復數(shù)z。解：將z2+2視為一個復數(shù)，利用z2+2rz2+2=2+2z，故(z)(z+)=2(z)z是虛數(shù) z0 z+=2故可設z=1+yi(yr，且y0)arg(3z)=arg(2yi)= ，故y=2，于是z=12i評注：本解法將z2+2將為一個整體，然后利用復數(shù)為實數(shù)的充要條件是z=，從而得到問題的解決。可以發(fā)現(xiàn)，運用整體思維方法，分析復數(shù)問題常能得到事半功倍之效。五、整體代入在問題解決過程

9、中，往往涉及到較多的幾個變量，但我們不必分別求出各個量的具體值，而是將它們的某些關系作為一個整體，達到順利而又簡捷地解決問題的目的。例11：三棱錐的三個側面兩兩互相垂直，它們的側面積分別是6cm2，4cm2，3cm2，求此三棱錐的體積。解：設三條棱長分別為x、y、z，則xy=6，xz=4，yz=3v=xyz=cm2評注：本解法著重抓住xy=6，xz=4，yz=3，而不是具體求出x、y、z的值，從而達到簡捷解決問題的目的。例12：已知p是橢圓上一點，f，f是焦點，fpf=30，求fpf的面積。解：易知a=5,b=4,c=3在fpf中，由余弦定理可知=+2|p f|p f|cos30=(|p f|

10、+| p f|)2|p f|p f|2|p f|p f|cos30由橢圓定義可知|p f|+| p f|=10，從而有|p f|p f|=16（1）因此，s=|p f|p f|=8（1）例13、解不等式：4x2-10x-0分析 本題按一般的解法，移項，使不等式一邊為有理項，一邊為無理項，然后兩邊同時平方，去無理項，問題將變得復雜，但將視為一整體求解，問題便得到簡潔、有效的解答。解：令t=，則原不等式化為 2t2-2t-210 解之得 t（舍） 或 t3 即 3 即 2x2-5x-70 解之得 x 或 x-1例14、解方程組 x+y=2 xy-z2=1分析 兩個方程，求三個未知數(shù)，似不可求，但由

11、于x+y=2，所以可令x=1+t,y=1-t ,并將其視為整體，用均值整體代換便可。解：令x=1+t, y=1-t （t為實數(shù)） (1-t)(1+t)-z2=1 t2+z2=0 t=0 且 z=0 原方程組的解為 x=1 y=1 z=0六、整體思維解決問題過程中，需要將要解決問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式，整體結構，整體功能，以便達到解題目的。例15：雙曲線過原點，實軸長為2，它的一個焦點f1(4,0)，求雙曲線中心的軌跡方程：解：設雙曲線另一個焦點為f2，則|of2|of1|=2a=2設雙曲線中心為p(x,y)，則另一個焦點f2(2x4,2y)，化簡得(x2)2+y2=9或(x2)

12、2=1評注：題設給定雙曲線的一個焦點和一支上的一個特殊點，如果僅用這些條件，按常規(guī)方法很難求得中心的軌跡方程。但若整體研究所給雙曲線及兩焦點與中心的位置關系，再利用原點在雙曲線上，則解題思路豁然開朗。例16：橢圓上有兩點p、q，o是坐標原點，若op、oq斜率之積為。求證：|op|2+|oq|2為定值求pq的中點m的軌跡方程解：設p、q兩點坐標分別為p(x1、y1)，q(x2、y2)p、q分別在橢圓上，且kopkoq=，故得16y12y22=16216(x12+x22)x12x22 代入得x12+x22=16+得y12+y22=8 ( x12+x22)=4|op|2+|oq|2= x12+y12+ x22 +y22=20設p、q中點為m(x，y)，則有x1+x2=2x y1+y2=2y+x2得 4(y12 +y22+ 2y1y2)=32(x12+ x22+2 x1x2)4(y1+y2)2=32(x1+x2)24x2+16y2=32，即故pq的中點m的軌跡方程為：評注：在處理曲線與直線的關系時，往往運用問題中整體與部分關系，通過整體代入，整體運算，整體消元，整體合并等方法，常常可以簡化運算過程，提高解題速度，并從中感受到整體思維的和諧美。七、整體配湊運用數(shù)學的對稱性，整體配湊，構造對稱形式，使解題方便。例17、計算 sin210+cos240+sin10