知識講解_平面向量的基本定理及坐標表示_基礎

1、平面向量的基本定理及坐標表示【學習目標】1 . 了解平面向量的基本定理及其意義；2 .掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；3 .會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算;4 .理解用坐標表示的平面向量共線的條件.【要點梳理】要點一：平面向量基本定理a ,有且只有一對實數(shù)1 .平面向量基本定理如果0,號是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量4 t t - t t九，%，使a = %e + 2ee2,稱兀e為e,e2的線性組合.其中0,62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量0,62的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.、* t t

2、j t , t 一這說明如果a =十%62且a =十%e2 ,那么兀=-2 =九2 . t當基底0,號是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際 上是平面向量坐標表示的基礎 要點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標的基礎，它保證了向量與坐標是一一對應的，在應用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量2 .如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不供線的向量的線性組合.(1)由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解 答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的

3、形式，然后通過向量的運算，達到解題的目的.(2)在解具體問題時，要適當?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示.選擇了不共線的兩個向量tt4 tt 4t te、 e,平面上的任何一個向量 a都可以用e、 e唯一表示為a = a e +九2 e ,這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化t t為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有 e、 e2的代數(shù)運算.要點二：向量的夾角已知兩個非零向量 a與b ,在平面上任取一點 o,作oa = a , ob = b，則/aob=8(00 w8 .當向量a與b不共線時，a與b的夾角日0,180)；當向量a與b共線時，若同向，則 日=0；若反向，則日=180,綜上可知向量a與b的夾角ew 0,180

4、.當向量a與b的夾角是90。就說a與b垂直，記作a 1 b .要點詮釋：(1)向量夾角是指非零向量的夾角，零向量與任何向量不能談夾角問題.(2)向量a _l b是兩向量夾角的特殊情況，可以理解為兩向量所在直線互相垂直.要點三：平面向量的坐標表示1 .正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.要點詮釋：t t如果基底的兩個基向量 3、3互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.2 .平面向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、44j作為基底，對于平面上的一個

5、向量a ,由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x, y ,使得a=x i +y j.這樣，平面內(nèi)白任一向量 a都可由x, y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量3的(直角)坐標，記作a=(x, y), x叫做3在x軸上的坐標，y叫做3在y軸上的坐標.把a = (x, y)叫做向量的坐標表示.給出了平面向量的直角坐標表示，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，為向 量運算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系.要點詮釋：一 、 、一 4 (1)由向量的坐標定義知， 兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等，即a = bu x1 =

6、x2且y1 = y2,其中 a=(x1,y)b = (x2，y2).(2)要把點的坐標與向量坐標區(qū)別開來.如，若 a(2,3) , b(5,8),則 ab =(35);日c、d四點坐標各不相同.(3) (x,y)在直角坐標系中有雙重意義，相等的向量的坐標是相同的,但始點、終點的坐標可以不同.比若 c(t,3) , d(-1,8),則 cd = (35) , ab=cd,顯然 a、它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量.運算坐標語后加法與減法記 oa=(x1, y1), ob =(x2, y2)t t toa+ob=(x 1+x2, y1+y2) , ob-oa=(x2-x 1, y2-y

7、 1)實數(shù)與向量的乘積t、t 、記 a =(x , y),則九 a =(九 x, ay)要點四：平面向量的坐標運算1.平面向量坐標的加法、減法和數(shù)乘運算2.如何進行平面向量的坐標運算在進行平面向量的坐標運算時，應先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標運算 法則進行計算.在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起 點坐標得到該向量的坐標.求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標.但同時注意以下幾個問題：(1)點的坐標和向量的坐標是有區(qū)別的，平面向量的坐標與該向量的起點、終點坐標有關，只有起點 在原點時，平面向量的坐標與終點

8、的坐標才相等.(2)進行平面向量坐標運算時，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關系.(3)要注意用坐標求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的.(4)要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關，只與其相對位置無關.要點五：平面向量平行(共線)的坐標表示1 .平面向量平行(共線)的坐標表不設非零向量 a =(%,% 2 =(x2,y2 ),則 a / b u (xj yi)二九(x2, y2),即、，或 xiy2-x2yi=0.yi - y2要點詮釋：_ xx, ,一/一一，、xiyi右a=(x1,y )b=(x2，y2),則a h b不能表不成 =，因為分母有

9、可能為 0.x2y22 .三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知* 1a(xi,yi),b(x2, y2),c(x3,y3), ab=(x2-x i, y2-y i) , ac =(x 3-x i, y3-y i),右(x2 xi )(y3 y1)(& x )(y2 y1)= 0,則 a, b, c二點共線.【典型例題】類型一：平面向量基本定理t t例1 .如果e、&是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()t t4+口62 (%nwr)可以表示平面口內(nèi)的所有向量；對于平面口內(nèi)任一向量a,使t t t t ta = ?e+n2的

10、實數(shù)對(兒下)有無窮多個；若向量 ae十p代2與be十巴共線，則有且只有一個實t t t tt t數(shù)九，使得入0 +% = m%e + n2e2)；若實數(shù) 九，n使得人e + ne2 = 0 ,則人=n = 0 .a. b. c. d.【思路點撥】考查平面向量基本定理.【答案】 b【解析】由平面向量基本定理可知，是正確的.對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù) 對是唯一的. t t t對于，當向量%e +匕2與%e十匕&均為零向量，即九i = % = 5 =0=0時，滿足條件的實數(shù)九有無數(shù)個.故選b .【總結(jié)升華】考查兩個向量能否構(gòu)成基底，主要看

11、兩向量是否為非零向量且不共線.此外，一個平面 的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個向量都可以由這組基底唯一表示.例2.如圖所示，四邊形 oadb是以向量oa = a, ob=b為鄰邊的平幺孔fo a a行四邊形，c為對角線的交點.又bm=1bc, cn=1cd,試用a, 33【解析】 由題意，得ob + ba = oa,所以ba = a-b,b表示om , onri-iri* 一則 bc (a-b) , bm bc (a -b), 236已一.1-135.om =ob+bm =b+(a b) = a+ b . 666門口一一 if 4- 41*、 2h 2.on = oc +cn =oc +cd

12、 = _oc = _ 父_(a+b)= _a+ _b . 333 233【總結(jié)升華】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平面四邊形法則結(jié)合 實數(shù)與向量的積的定義，解題時要注意解題途徑的優(yōu)化與組合.舉一反三：【高清課堂：平面向量基本定理及坐標運算394885例1【變式1】如圖，在aabc中，oa = ： ,ob = b, be:ea = 1:2, f是oa中點，線段oe與bf交于點g，試用基底a,b表示:(1)oe；bf ; (3) og.【解析】t t t(1) oe =ob be, 1b ba3, 1 fb -(oa -ob). 1b (a -b)31 21a 2b(2

13、)11bf =of -ob = -oa-b =ab(3)在aoae中，取22-11-1mn = ba 3.fm /oe1 , |fm | = 2|oe|同理：ge/fm1 |ge|-|fm |二g是bf的中點-f 1 - .og =5(ob of) 111 1 4 1 -1，=b a = - a b22 242類型二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題例3.設兩個非零向量 e和e2不共線.ttttttt tt (1)如果 ab =s e2 , bc=3e+2e2, cd = 8e 2e2 ,求證：a、c、d 三點共線;-i . t(2)如果 ab =e1 +e2,bc = 2? . 3lcd

14、 = 2。高且 a、b、c三點共線，求k的值.【思路點撥】向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的 其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想.t t t t t t t t t【解析】(1)證明：ab=e2, bc =30+262, cd=8e2e2,-i t -t t 1t t1-iac =ab+bc =4e1+牝=-3(-8e-2e2) = -3cd , ac與cd共線.又tc與cd有公共點，a、c、d三點共線.ttttt tt tt(2) ac =ab +bc =(e +62)+(2e 362)=3e -262 ,a、c、d三點共線，ac與cd共線，

15、從而存在實數(shù) 九使得ac = ?.cd ,* t t t即3e1 2 62 二九(2 61 ke2),由平面向量的基本定理，3=2,34得4,解之得3=-, k=f .-2 = 4 k23【總結(jié)升華】證明三點共線問題，可用向量共線來解決， 但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系， 當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.舉一反三：ttt t tt4ti t t【變式1】設61,62是平面內(nèi)的一組基底，如果ab= 61462, bc=61+62,cd =661962,求證：a, c, d三點共線.- -4 -*, - 1 - , r . 3 1-* 一一 .一.【解析】 因為ac =ab +

16、bc =(3 462) +(3 +62) =26-362 =-cd ,所以ac與cd共線.3類型三：平面向量的正交分解4 d 4 4 4例4.如下圖，分別用基底 i , j表示向量a、b、c,并求出它們的坐標.【解析】由圖可知a=oa+ob=2i +3j , a= (2, 3).同理可知 b=3 i +4 j = (3, 4).c=4 i 4 j = (4, 1 5).【總結(jié)升華】向量的坐標表示是向量的另一種表示方法，對此要從兩個方面加深理解：一是相等向量 的坐標相同；二是當向量的起點在原點時，終點坐標即為向量的坐標.,求om的坐標.舉一反三：【變式1】已知o是坐標原點，點 m在第二象限，|o

17、m |=6而，/ xom=120【解析】設m (x, y),貝u x=6陰cos60=3“.y =6 si n 60,9 m (-33,0),所以 om = (-373,9).類型四：平面向量的坐標運算例 5.已知 a(-2,4), b(3, -1),c(-3,),且 cm = 3ca,cn = 2c1,求 m n及mn 的坐標.【思路點撥】根據(jù)題意可設出點 c、d的坐標，然后利用已知的兩個關系式，列方程組，求出坐標【解析】7 a(-2,4),b(3, -1),c(-3, -4)=(1，叫cb =(6,3匚_.cm =3ca =(3,24), cn =2cb =(12,6).!設 m(x, y

18、),則 cm = (x+3,y +4) =(3,24),m (0,20).x 3=3,x=0,y 4 =24, y =20同理可求n(9,2),因此mn =(9, -18).m(0,20),n(9,2),mn = (9, -18).【總結(jié)升華】向量的坐標是向量的另一種表示形式，它只與起點、終點、相對位置有關，三者中給出任意兩個，可求第三個.在求解時，應將向量坐標看做一 “整體”，運用方程的思想求解.向量的坐標運算是向量中最常用也是最基本的運算，必須熟練掌握舉一反三：11【變式1】 已知點a(1,2),b(2,8)以及ac =-ab, da = ba,求點c, d的坐標和cd的坐標. 33【解析

19、】設點 c d的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),tt tt由題意得 ac =(x1 1,y1 -2),ab =(3,6),da = (-1-x2,2-y2),ba = (-3,-6).1 1 -1 -1 t 因為 ac = ab,da = ba,33所以有x11 =1,y1 -2 =2和一 x2 j 2 - y2 =2xi 0, x2 2，解得1,和42y1 = 442 =0所以點c、d的坐標分別是(0 , 4) , (-20),從而 cd = (2,).類型五：平面向量平行的坐標表示例6.如圖所示，在平行四邊形 abcd中，a (0, 0)、b (3, 1)、c (4, 3)、d(

20、1, 2), m、n分別為dc、ab的中點，求am、cn的坐標，并判斷 am、cn是否共線.【解析】已知a (0dc、ab的中點，由中點坐標公式可得am = (2.5,2.5),0)、b (3, 1)、m (2.5, 2.5),c (4, 3)、d (1, 2),又 m、n 分別為n (1.5, 0.5),icn =(-2.5,-2.5),其坐標滿足 2.5x (2.5) 2.5x (2.5)=0,am、cn共線.【總結(jié)升華】求出兩向量的坐標，驗證xy2x2y1=0即可.舉一反三：【變式1】向量pa = (k,12), pb = (4,5), 5c=(10,k),當k為何值時，a、b、c三點共

21、線?【解析】 ba = papb =(k,12)(4,5) =(k4,7),ca = papc =(k,12)(10,k) =(k10,12 k). a、b、c 三點共線，ba/ca,即(k 4)(12 k) (k 10)x7=0.整理，得 k29k22=0.解得 k1= 2 或 k2=11.當k=2或11時，a、b、c三點共線.【總結(jié)升華】以上方法是用了 a、b、c三點共線即公共點的兩個向量 ba , ca共線，本題還可以利t:-6_ pb =，upa + (1九)u 或 k=11 k = -21用a、b、c三點共線u2 ,即得 k= 2 或 11 時，a、b、c點共線.【變式2】已知向量a= (1, 2), b= (1, 0), c= (3, 4).若九為實數(shù)，(a + % b ) / c,則 =( )1a .一4【答案】