利用導數(shù)處理與不等式有關的問題人教版

1、利用導數(shù)解決與不等式有關的問題一、 利用導數(shù)證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構造函數(shù)，用導數(shù)證明該函數(shù)的單調性,然后再用函數(shù)單調性達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉化為證明函數(shù)的單調性。具體有如下幾種形式：1、 直接構造函數(shù)，然后用導數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。瑏碜C明不等式成立。例1：x0時,求證；xln(1+x)0證明：設f(x)= xln(1+x) (x0), 則f(x)=x0,f(x)0時,f(x)f(0)=

2、0，即xln(1+x)ae, 求證:abb a, (e為自然對數(shù)的底)證：要證abb a只需證lnablnba 即證：blnaalnb0設f(x)=xlnaalnx (xae)；則f (x)=lna,ae,xa lna1,0,因而f(x)在（e, +）上遞增ba,f(b)f(a)；故blnaalnbalnaalna=0；即blnaalnb所以abb a成立。（注意，此題若以a為自變量構造函數(shù)f(x)=blnxxlnb (ex0時時，故f(x)在區(qū)間（e, b）上的增減性要由的大小而定，當然由題可以推測故f(x)在區(qū)間（e, b）上的遞減,但要證明則需另費周折，因此，本題還是選擇以a為自變量來構

3、造函數(shù)好，由本例可知用函數(shù)單調性證明不等式時，如何選擇自變量來構造函數(shù)是比較重要的。）二、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉化為mf(x) (或m0時，解得0x, h(x)0時x所以h(x)在（0，）上遞增，在（，+）上遞減, 故h(x)的最大值為，所以三、利用導數(shù)解不等式例8：函數(shù)f(x)=,解不等式f(x)1解：由題知 a1時,f(x)1a0恒成立，故f(x)在r上單調遞減，又f(0)=1，所以x0時f(x)f(0)=1，即a1時f(x)1的解為 x|x00a0時解得x,0時解得故f(x)在上單調遞減，f(x)在或上單調遞增，又f(x)=1時解得x=0或x=，且0a1時所以0a1時f(x)1的解為x|由上得，a1時f(x)1的解為 x|x00a1時f(x)1的解為x|總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數(shù)