第五章(4) 線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、1.相對(duì)穩(wěn)定性 2.穩(wěn)定裕度（幅值裕度、相角裕度） 3.時(shí)域指標(biāo)與開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)的關(guān)系 4.三段頻理論（初步認(rèn)識(shí)） 5-4 穩(wěn)定裕度( (考試、考研考試、考研) ) 時(shí)域（時(shí)域（t t） 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能 穩(wěn)定邊界穩(wěn)定邊界 穩(wěn)定程度穩(wěn)定程度 頻域（頻域（w w） 穩(wěn)定程度穩(wěn)定程度 虛軸虛軸 阻尼比阻尼比 x x 到到(-1,j0)(-1,j0)的距離的距離(-1,j0)(-1,j0) 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 ( (開(kāi)環(huán)頻率指標(biāo)開(kāi)環(huán)頻率指標(biāo)) ) 、相對(duì)穩(wěn)定性、相對(duì)穩(wěn)定性 相對(duì)穩(wěn)定性就是在穩(wěn)定系統(tǒng)中，研究那個(gè)系 統(tǒng)更穩(wěn)定。 b a -110 j r 1/h 若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖： 考慮a點(diǎn)：

2、 o jG jG 180)( 1| )(| w w 但 再考慮b點(diǎn)： 1| )(| 180)( w w jG jG o 但 若a點(diǎn)沿著單位圓順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)r角，則 同時(shí)成立。 若b點(diǎn)沿著負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)到(-1,j0)點(diǎn)，則 同時(shí)成立。 o jGjG180)(, 1| )(|ww 頻率域內(nèi)，穩(wěn)定系統(tǒng) 有2條途徑滑向臨界 穩(wěn)定，因此，有2個(gè) 穩(wěn)定裕度指標(biāo)。幅值 裕度和相角裕度衡量 系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性。 o jGjG180)(, 1| )(|ww 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 c 截止頻率截止頻率 相角裕度相角裕度)(180 c jGw w 1)( c jG g 相角交界頻率相角交界頻率 h 幅值裕度幅值裕度 )( 1

3、 g jG h w w 180)( g jG 系統(tǒng)在系統(tǒng)在 方面的穩(wěn)定儲(chǔ)備量方面的穩(wěn)定儲(chǔ)備量 h 幅值幅值 相角相角 一般要求一般要求 40 2 h （穿越頻率，教材用（穿越頻率，教材用 表示）表示） x w n 系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)穩(wěn)定，則 h1、 0 。 閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量和相位裕量 閉環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量和相位裕量 0P 0P 和和 h(dB)h(dB)在對(duì)數(shù)在對(duì)數(shù)頻率特性上的正負(fù)示意頻率特性上的正負(fù)示意 )(180 c jGw w 解法解法I：由幅相曲線求：由幅相曲線求。h, 例例 )10)(2( 100 )1 10 )(1 2 ( 5 )( sss ss s sG ，求，求。h,

4、(1)(1)令令1)( c jG 2222 102 100 ccc w ww ww w 1000400104 242 ccc w ww ww w 9 . 2 c w w試根得試根得 )9 . 2(180 10 9 . 2 arctan 2 9 . 2 arctan90180 5 .181 .164 .5590 )( 1 g jG h w w 180)( g w w 10 arctan 2 arctan90 gg w ww w 90tan 20 1 102 2 g gg w w w ww w 可得可得 90 10 arctan 2 arctan gg w ww w 20 2 g w w 47.

5、4 g w w )dB6 . 7(4 . 2 100 102 47. 4 2222 g ggg w w w ww ww w )( 1 g jG h w w 將將G(jw w)分解為實(shí)部、虛部形式分解為實(shí)部、虛部形式 )10)(2( 100 )( w ww ww w w w jjj jG 令令0)(Im Y GjGw w )100)(4( )20(1001200 22 2 w ww ww w w ww w j YX jGG 47. 420 g w w得得 4167. 0)( gX Gw w代入實(shí)部代入實(shí)部 4 . 2 4167. 0 1 4167. 0)( g Gw w )47. 4( 1 jG

6、 h )1 10 )(1 2 ( 5 )( ss s sG 由由L(w w):1)( c jGw w 16. 310 c w w得得 4 . 2 4167. 0 1 解法解法II：由：由BodeBode圖求圖求。h, 2 10 1 2 5 c c c w w w w w w )(180 c jGw w )16. 3(180 10 16. 3 arctan 2 16. 3 arctan90180 8 .14541.1767.5790 9 . 2 5 .18 47. 4102 g w w 例例5-12 5-12 已知單位反饋系統(tǒng) 設(shè) 分別為4和10時(shí)，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。 3 ( ) (1) K

7、 G s s K 解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性 22 32 3 2 2 (1 3)(3) ()3arctan (1) (1) KKj G j www ww w w 按 ,gc w w定義可得3 g w 4K 1 3 ()0.5,2 1611.233,()152.9 ,27.1 gg oo cc G jK G j w ww 時(shí) 10K 時(shí) ()1.25,0.8 1.908,()187.0 ,7.1 gg oo cc G jK G j w ww 分別作出 和 的開(kāi)環(huán)幅相曲線Nyquist圖，由奈氏判據(jù)知： 4K 10K 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定， 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定， 4K 10K 1,0h 1,0h 僅用增益裕

8、量或相位裕量，甚至在某些情形下，同時(shí)應(yīng)用增益裕 量或相位裕量都不足以說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 這個(gè)問(wèn)題在用勞斯相對(duì)穩(wěn)定判據(jù)判斷時(shí)不存在。 1 2 v K n x xw w (1) (1) 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) )2( )( 2 n n ss sG xwxw w w 22 2 )2( )( n n jG xwxww ww w w w w w n jG x xw w w w w w 2 arctan90)( 1 )2( )( 2 2 2 ncc n c jG x xw ww ww w w w w w nc w wx xx xw w 24 214 )(180 c w w 2 2 2 2 )( nn n ss

9、 s w wx xw w w w n c xwxw w w 2 arctan90 c n w w x xw w2 arctan 3 3 時(shí)域指標(biāo)與開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)的關(guān)系時(shí)域指標(biāo)與開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)的關(guān)系 nc w wx xx xw w 24 214 )(180 c w w n c xwxw w w 2 arctan90 c n w w x xw w2 arctan 24 214 2 arctan x xx x x x )2( )( 2 n n ss sG xwxw w w 2 1/ % x x x x e % x x n s t x xw w 5 . 3 24 214 5 . 3 x xx x x x

10、w w cs t tan 7 x x x xx x 2 214 7 24 越越大大越越大大 ,) 214 1 (2 2 1 24 arctg s t n w w % (2) (2) 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng) %100)1 sin 1 (4 . 016. 0% 2 1 sin 1 5 . 21 sin 1 5 . 12 w w c s t )9035( 用頻域法估算高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能用頻域法估算高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能 c w w c s a t w w 0 0 )(w wL g 例例5-145-14 52.236 穩(wěn)定裕度的穩(wěn)定裕度的概念概念 ( (開(kāi)環(huán)頻率指標(biāo)開(kāi)環(huán)頻率指標(biāo)) ) 穩(wěn)定裕度的穩(wěn)定裕度的定義定義

11、穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度計(jì)算方法計(jì)算方法 c 截止頻率截止頻率 相角裕度相角裕度)(180 c jGw w 1)( c jG g 相角交界頻率相角交界頻率 h 幅值裕度幅值裕度 )( 1 g jG h w w 180)( g jG )(180)( cc Lw w w ww w )( 1 180)( g g jG h w w w ww w 4 4三頻段理論三頻段理論 v s K sG )( 0 dB/dec20 1. 1. L(w w)低頻段低頻段 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess 2. 2. L(w w)中頻段中頻段 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能( , , ts) 3. 3. L(w w)高頻段高頻段 系統(tǒng)

12、抗高頻噪聲能力系統(tǒng)抗高頻噪聲能力 w wlg20lg20lg20 0 vKG 90 0 vG 最小相角系統(tǒng)最小相角系統(tǒng) L(w w) 曲線斜率與曲線斜率與(w)(w)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系 90 90 dB/dec40 180 0 dB/dec60 270 90 )(1 )( )( sG sG s 1)()( sGs 1)( sG 希望希望 L(w w) 以以-20dB/dec斜率穿越斜率穿越 0dB線，并保持較寬的頻段線，并保持較寬的頻段 關(guān)于三頻段理論的說(shuō)明：關(guān)于三頻段理論的說(shuō)明： 各頻段分界線沒(méi)有明確的劃分標(biāo)準(zhǔn)各頻段分界線沒(méi)有明確的劃分標(biāo)準(zhǔn) 與無(wú)線電學(xué)科中的與無(wú)線電學(xué)科中的“低低”、“中中”、“高高”頻頻 概念不同概念不同 不能用是否以不能用是否以-20dB/dec過(guò)過(guò)0dB線作為判定線作為判定 閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的標(biāo)準(zhǔn)閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的標(biāo)準(zhǔn) 只適用于單位反饋的最小相角系統(tǒng)只適用于單位反饋的最小相角系統(tǒng) )(w wL )(sG )(1 )( )( sG sG s 中頻段中頻段 三頻段理論三頻段理論 高頻段高頻段 低頻段低頻段 對(duì)應(yīng)性能對(duì)應(yīng)性能希望形狀希望形狀 L(w w) 系統(tǒng)抗高頻干擾的能力系統(tǒng)抗高頻干擾的能力 開(kāi)環(huán)增益開(kāi)環(huán)增益 K 系統(tǒng)型別系統(tǒng)型別 v 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 ess 截止頻率截止頻率 w wc 相角裕度相角裕度 動(dòng)