二元二次多項(xiàng)式的因式分解

1、二元二次多項(xiàng)式的因式分解形如的二元二次多項(xiàng)式的因式分解 分解形如的多項(xiàng)式，常用的方法有：求根法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法和雙零分解法。當(dāng)然結(jié)合多項(xiàng)式的特點(diǎn)可以采用靈活的方法，如若已知它的一個(gè)因式，可用分析二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方法，較容易的求得?，F(xiàn)舉例說(shuō)明：方法一、求根法利用求根法因式分解，形如的二元二次多項(xiàng)式可看成關(guān)于（或）的一元二次多項(xiàng)式。用求根公式求出兩根，則原式。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，原多項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式，必須是關(guān)于的方程的判別式是的一次式的完全平方式，為此這個(gè)判別式的判別式必須是0。例1、為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次式的乘積，并進(jìn)行分解。分析：把上面的多項(xiàng)式看成的一元二次式，令這個(gè)一元二次式為

2、0，解出的兩個(gè)值，則原式6，這里只須研究何值時(shí)，是的一次式即可。解：設(shè)0，把此式看成關(guān)于的一元二次方程，則該方程的判別式：，要使方程的解為的一次式，必須為完全平方式，那么判別式的判別式必須是零。，（1）、當(dāng)時(shí)，由解得則原式（2）、當(dāng)時(shí)，由解得則原式練習(xí)： 把分解因式答案：原式方法二：待定系數(shù)法用待定系數(shù)法因式分解的一般步驟：1、 根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，確定所能分解成的形式。要盡量減少待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，以利求解。2、 利用多項(xiàng)式恒等定理，列出以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組。3、 解方程組，如方程或方程組有解，則原式可以分解為所設(shè)的形式；如果無(wú)解，則原方程組不能分解為所設(shè)的形式。如果方程組有解，把解得

3、的待定系數(shù)的數(shù)值代入所設(shè)的分解式中。例2、為何值時(shí)，多項(xiàng)式可分解為兩個(gè)一次因式的積。分析：先設(shè)可分解成兩個(gè)一次式，原式中的是的項(xiàng)未知系數(shù)。為使待定系數(shù)盡量少，可先考慮，所以可設(shè)：原式，也可以先考慮，所以可設(shè)：原式，這里只解前者。解：設(shè) 由兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得：，解此方程組得或當(dāng)時(shí)，原式可分解為；當(dāng)時(shí)，原式可分解為練習(xí)：為何值時(shí)，能分解成兩個(gè)一次式的乘積，并進(jìn)行分解。答案：解得原式可分解為說(shuō)明：上面方法是常用的兩種方法，特別是求待定系數(shù)很有效；不含待定系數(shù)的也可用雙十字相乘法。方法三、雙十字相乘法雙十字相乘法即運(yùn)用兩次十字相乘法，第一次運(yùn)用十字相乘法將多項(xiàng)式中的二次齊次式分解因式，然后再運(yùn)用一次

4、十字相乘法。其理論依據(jù)：若可分解為，則當(dāng)時(shí)，例3、把分解因式。解：可先用十字相乘法，把分解， ，然后再用十字相乘法，于是原式。練習(xí)：分解因式答案：原式方法四、雙零分解法理論依據(jù)：若可分解為，則當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有。因此在分解上述二元二次多項(xiàng)式時(shí)，可令得關(guān)于的二次三項(xiàng)式分解為；再令得關(guān)于的二次三項(xiàng)式并分解為；注意這里兩分解式中的常數(shù)項(xiàng)應(yīng)相同，如果不同就要變形使其相同。這時(shí)有。例4、分解因式解：令有；令有所以有練習(xí)：分解因式答案：原式 方法五：分析二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)法若已知它的一個(gè)因式，可用分析二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方法，較容易的求得。例5、若多項(xiàng)式有一個(gè)因式，則另一個(gè)因式為。解：由于多項(xiàng)式有一個(gè)因式，且原式二次項(xiàng)中含有和，所以另一個(gè)因式中必有一次項(xiàng)；同時(shí)原式常數(shù)項(xiàng)中有3，