機(jī)器人原理及控制技術(shù)：第02章 齊次變換

1、第二章第二章 齊次坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變換 ChapterChapter Homogeneous Transformation Homogeneous Transformation 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 點(diǎn)向量和平面的描述點(diǎn)向量和平面的描述 2.3 2.3 變換變換 2.4 2.4 平移變換平移變換 2.5 2.5 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 2.6 2.6 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 2.7 2.7 相對(duì)變換相對(duì)變換 2.8 2.8 物體的描述物體的描述 2.9 2.9 逆變換逆變換 2.10 2.10 一般性旋轉(zhuǎn)變換一般性旋轉(zhuǎn)變換 2.11 2.11 等價(jià)旋轉(zhuǎn)角與旋轉(zhuǎn)軸等價(jià)旋轉(zhuǎn)角與旋轉(zhuǎn)軸 2.12

2、 2.12 擴(kuò)展與縮小擴(kuò)展與縮小 2.13 2.13 透視變換透視變換 2.14 2.14 變換方程變換方程 2.15 2.15 小結(jié)小結(jié) 2.1 2.1 引言引言 (Introduction) 機(jī)器人操作涉及到各物體之間的關(guān)系和各物體與機(jī)械手之間的 關(guān)系。這一章將給出描述這些關(guān)系必須的表達(dá)方法。類似這種表示 方法在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中已經(jīng)解決。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺中， 物體之間的關(guān)系是用齊次坐標(biāo)變換來描述的。在本課程我們將采用 齊次坐標(biāo)變換來描述機(jī)械手各關(guān)節(jié)坐標(biāo)之間、各物體之間以及各物 體與機(jī)械手之間的關(guān)系。 本章首先介紹向量和平面的表示方法，然后引出向量和平面的 坐標(biāo)變換，這些變換基本上是

3、由平移和旋轉(zhuǎn)組成，因此可以用坐標(biāo) 系來描述各種物體和機(jī)械手的空間位置和姿態(tài)。稍后還要介紹逆變 換，逆變換是運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的基礎(chǔ)。 a 0 v z y x z y x p c b 0 u E H 圖2.1 點(diǎn)向量的描述 2.2 2.2 點(diǎn)向量點(diǎn)向量和平面的描述和平面的描述（Notation of point vectors and planes） 2.2.1 2.2.1 點(diǎn)向量（點(diǎn)向量（Point vectorsPoint vectors） 點(diǎn)向量描述空間的一個(gè)點(diǎn)在某個(gè)坐標(biāo)系的空間位 置。同一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系的描述及位置向量的值也 不同。如圖2.1中，點(diǎn)p在E坐標(biāo)系上表示為 Ev，在H坐 標(biāo)系上表示

4、為 Hu，且v u。一個(gè)點(diǎn)向量可表示為 v = ai + bj + ck 通常用一個(gè)（n + 1）維列矩陣表示，即除 x、y、 z 三個(gè)方向上的分量外，再加一個(gè)比例因子 w ，即 v = x y z w T 其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。 改變比例因子 w，則分量 a、b、c 的數(shù)值相應(yīng)改變，但描述的還是同一個(gè)點(diǎn)向量。如 v = 3i + 4j + 5k 可表示為 v = 3 4 5 1 T = 6 8 10 2 T = -3 -4 -5 -1T 在向量中增加一個(gè)比例因子 w 是為了方便坐標(biāo)變換中的矩陣運(yùn)算。 已知兩個(gè)向量 a = ax i + ay j + az

5、k b = bx i + by j + bz k （2.1） 向量的點(diǎn)積是標(biāo)量。用“ ”來定義向量點(diǎn)積，即 a b = ax bx + ay by + az bz （2.2 ） 向量的叉積是一個(gè)垂直于由叉積的兩個(gè)向量構(gòu)成的平面的向量。用 “”表示叉積，即 a b = ( ay bz az by ) i + ( az bx ax bz ) j + ( ax by ay by ) k （ 2.3） 可用行列式表示為 i j k a b = ax ay az （2.4） bx by bz 2.2.2 2.2.2 平面（平面（PlanesPlanes） 平面可用一個(gè)行矩陣表示，即 p = a b c

6、d （2.5） 它表示了平面p的法線方向，且距坐標(biāo)原點(diǎn)的 距離為d / m，其中 m = （2.6） 如圖2.2所示，如果將 xy 平面沿z 軸正 方向平移一個(gè)單位距離，構(gòu)成平面 p，則 p = 0 0 1 -1 即 a = 0, b = 0, c = 1, d = -1, m = = 1 平面p上任一點(diǎn)v為 v = x y 1 1 T，它與平面p的點(diǎn)乘為零，即 p v = 0 平面p上方任一點(diǎn)v，如 v = 0 0 2 1 T，它與平面p的點(diǎn)乘為一個(gè)正數(shù)，即 p v = 1 平面p下方任一點(diǎn)v，如 v = 0 0 0 1 T，它與平面p的點(diǎn)乘為一個(gè)負(fù)數(shù)，即 p v = -1 注意：平面注意：

7、平面 0 0 0 0 無定義。無定義。 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 圖2.2 平面的描述 0 v p z y x 1 y x H空間的變換是由44矩陣來完成的，它可以表示平移、旋轉(zhuǎn)、擴(kuò)展和透視 等各種變換。如已知點(diǎn)u（在平面p上）,它的變換v（在平面q上）用矩陣積表示為 v = H u （2.7） 其中H為44 變換矩陣，u和v為41的點(diǎn)列向量，相應(yīng)的平面p到q的變換是 q = p H-1 （2.8） 其中H-1為H的逆陣，p和q為14 的平面行向量。 經(jīng)變換后的平面向量q與點(diǎn)向量v的點(diǎn)乘為 q v = p H-1 H u p u （ 2.9） 與變換前平面p與點(diǎn)u的點(diǎn)

8、乘相等，證明了變換的等效性。 2.3 2.3 變換變換(Transformation) 2.4 2.4 平移變換平移變換（Translation transformation） 用向量 h a i + b j + c k 進(jìn)行平移，其相應(yīng)的H變換矩陣是 1 0 0 a 0 1 0 b H = Trans ( a b c ) = 0 0 1 c (2.10) 0 0 0 1 因此對(duì)向量 u = x y z w T，經(jīng)H變換為向量v可表示為 x + aw x / w + a y + bw y / w + b v = z + cw = z / w + c (2.11) w 1 可見，平移實(shí)際上是對(duì)已

9、知向量 u = x y z w T 與平移向量 h = a b c 1 T 相加。 【例2.1】對(duì)點(diǎn)向量 u = 2 3 2 1 T 進(jìn)行平移，平移向量為 h = 4 -3 7 1 T，則平 移后的向量為 v = 6 0 9 1 T，或 1 0 0 4 2 6 0 1 0 3 3 0 v = H u = 0 0 1 7 2 = 9 0 0 0 1 1 1 點(diǎn)向量的平移過程如圖2.3所示。 對(duì)平面的平移則用 H1 進(jìn)行變換，如對(duì)平面 p = 1 0 0 -2 進(jìn)行 H 變換為平面q，則根據(jù)變 換原理有 1 0 0 -4 0 1 0 3 q p H1 1 0 0 -2 0 0 1 -7 0 0 0

10、 1 1 0 0 -6 平面 p 1 0 0 -2 是 yz 平面沿 x 正方向移動(dòng)2個(gè)單位形成的平面（圖2.3），點(diǎn)u = 2 3 2 1 T 是平面 p上的一個(gè)點(diǎn)，它們的點(diǎn)乘 p u = 0。經(jīng) H 變換后的平面 q 1 0 0 -6 是 y z 平面沿 x 正方向移動(dòng)6個(gè)單位形成的平面，點(diǎn)v = 6 0 9 1T 是平面 q上一個(gè)點(diǎn)，平面 q 與 點(diǎn) v 的點(diǎn)乘也應(yīng)是零，即 q v 0，說明變換前后的結(jié)果不變，證明 H 變換是正確的。 u 0 z y x 3 P 2 2 圖2.3 點(diǎn)向量的平移 v 6 9 q p 2.5 2.5 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換（Rotation transformat

11、ion） 如圖2.4所示，繞 x, y, z 軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 的相應(yīng)變換是 1 0 0 0 0 cos - sin 0 Rot ( x, ) = 0 sin cos 0 （2.12） 0 0 0 1 cos 0 sin 0 0 1 0 0 Rot ( y, ) = - sin 0 cos 0 (2.13) 0 0 0 1 cos - sin 0 0 sin cos 0 0 Rot ( z, ) = 0 0 1 0 (2.14) 0 0 0 1 注意：角旋轉(zhuǎn)的正方向遵 循右手螺旋法則（如圖2.4 所示） 圖2.4 旋轉(zhuǎn)變換 0 z y x 【例2.2】點(diǎn) u = 7i + 3j + 2k，它繞z軸

12、旋轉(zhuǎn)90為v， 經(jīng)式（2.14）變換得到（ sin=1，cos=0） 0 -1 0 0 7 -3 1 0 0 0 3 7 v = Rot ( z, 90) = 0 0 1 0 2 2 0 0 0 1 1 1 起始點(diǎn)u和終點(diǎn)v如圖2.5所示。如將v點(diǎn)再繞y軸 旋轉(zhuǎn)90得到w。用式（2.13）變換得到 0 0 1 0 -3 2 0 1 0 0 7 7 w = Rot ( y, 90) = -1 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1 1 結(jié)果如圖2.6所示。如果將上述兩次旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來， 寫成一個(gè)表達(dá)式得到 w = Rot ( y, 90) v Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) u

13、 用兩個(gè)變換矩陣 Rot ( y, 90) 、 Rot ( z, 90) 和起始 點(diǎn)u代入上式計(jì)算的結(jié)果與前面分兩次計(jì)算的結(jié)果相同。 2 u z y x v 0 圖2.5 Rot ( z, 90) y u v 0 z x w 圖2.6 Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) 2 7 為此，先將點(diǎn)u繞z軸旋轉(zhuǎn)90，然后再繞y軸旋轉(zhuǎn)90，我們得到 0 0 1 0 0 -1 0 0 7 2 0 1 0 0 1 0 0 0 3 7 w Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) u = -1 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 如果按著逆序旋

14、轉(zhuǎn)，首先繞y軸旋轉(zhuǎn)90，然后再繞z軸旋轉(zhuǎn)90，其結(jié)果為 0 -1 0 0 0 0 1 0 7 -3 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 w = Rot ( z, 90) Rot ( y, 90) u = 0 1 0 0 -1 0 0 0 2 = -7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 逆序旋轉(zhuǎn)的結(jié)果如圖2.7所示。顯然，變換的順序不同，其結(jié)果也不同變換的順序不同，其結(jié)果也不同 。這從 矩陣相乘是不可交換的（ABBA）也可以得到證明。 如對(duì)經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)變換得到的點(diǎn)向量w再進(jìn)行一次平移（平移向量為 h 4 -3 7 1T ）， 則可得到如圖2.8所示的點(diǎn)向量n。變換過程如下 1 0 0

15、4 2 6 0 1 0 -3 7 4 n = Trans (4, 3, 7) w = 0 0 1 7 3 = 10 0 0 0 1 1 1 z u v 0y x w 圖2.8 Trans(4, -3, 7)Rot(y, 90) Rot(z, 90) n 7 2 w 0 z y x u 圖2.7 Rot ( z, 90) Rot ( y, 90) 2 -7 v 2.6 2.6 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 (Coordinate frames) 齊次變換矩陣H由四個(gè)列向量組成，它的前三個(gè)列向量稱為方向向量，由式 （2.12）到式（2.14）的旋轉(zhuǎn)變換（分別繞 x、y、z 軸旋轉(zhuǎn)角）確定，第四個(gè)列向 量稱為平移向

16、量，它的平移分量（沿 x、y、z 軸的平移量）由式（2.10）第四列的前 三個(gè)元素確定。如 0 0 1 4 1 0 0 -3 HTrans ( 4, -3, 7 ) Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) = 0 1 0 7 （2.15） 0 0 0 1 坐標(biāo)系的原點(diǎn)，即零向量 0 0 0 1 T 的 H 變換是 4 -3 7 1 T，相當(dāng)于將原點(diǎn)按平移 向量的各個(gè)分量進(jìn)行平移的結(jié)果（ 如圖 2.9 所 示）。如果對(duì) x、y、z 軸的單位向量進(jìn)行 H變 換，分別得到 4 -2 7 1 T 、 4 -3 8 1 T 和 5 -3 7 1 T。這四個(gè)向量在圖2.9中標(biāo)出，并 形成了一個(gè)

17、新坐標(biāo)系。 0 z y x z y x 0 Trans ( 4, -3, 7 ) Rot ( z, 90) Rot ( y, 90) 圖2.9 坐標(biāo)原點(diǎn)與單位向量的H 變換 這個(gè)新坐標(biāo)系的 x、y、z 軸的方向分別是 0，1，0，0 T、 0，0，1，0 T 和 1，0，0，0 T，它是由單位向量的H變換減去這個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)的向量得到的。 這些方向向量相應(yīng)于變換矩陣的前三列（見式（2.15）。可見，H變換矩陣描述 了一個(gè)坐標(biāo)系繞原參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)和對(duì)參考坐標(biāo)系平移的三個(gè)軸的方向和原點(diǎn)的 位置（見圖2.9）。如圖2.10所示，當(dāng)對(duì)一個(gè)向量 n 進(jìn)行式（2.15）給出的 H 變換 時(shí)，原向量 n 可以被

18、認(rèn)為是在新坐標(biāo)系描述的那個(gè)向量 u ，即被變換了的向量 u 就是相對(duì)于參考坐標(biāo)系描述的同一個(gè)向量 n 。 0 0 z z y y x x u ( 7, 3, 2, 1 ) n ( 6, 4, 10, 1 ) 圖2.10 向量的 H 變換 2.7 2.7 相對(duì)變換相對(duì)變換（Relative transformation） 我們剛剛描述的旋轉(zhuǎn)和平移都是相對(duì)于一個(gè)固定的坐標(biāo)系而進(jìn)行的。這樣，在 已給的例子里 0 0 1 4 1 0 0 -3 Trans ( 4, -3, 7 ) Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) = 0 1 0 7 （2.16） 0 0 0 1 坐標(biāo)系首先繞參考坐標(biāo)

19、系 z 軸旋轉(zhuǎn)90，然后繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 90，最后平移 4i3j+7k， 如圖2.9所示。如果以相反次序從左到右來進(jìn)行這些操作：首先對(duì)坐標(biāo)平移4i3j+7k，然 后將它繞當(dāng)前坐標(biāo)系的 y 軸旋轉(zhuǎn) 90，此時(shí)當(dāng)前坐標(biāo)系的 y 軸與參考坐標(biāo)系的 y 軸是相同 的。然后再繞著新坐標(biāo)系（當(dāng)前的）坐標(biāo)系的 z 軸旋轉(zhuǎn)90，所得結(jié)果與前面的方法相同 （見圖2.11）。 0 0 zz z z y yy y x x x x Rot ( y, 90)Rot ( z, 90) Trans ( 4, -3, 7 ) 坐標(biāo)原點(diǎn) 圖2.11 相對(duì)變換 一般的情況下，如果我們用一個(gè)旋轉(zhuǎn)和/或平移變換矩陣右乘一個(gè)坐標(biāo)系的變

20、 換，那么產(chǎn)生的平移和/或旋轉(zhuǎn)是相對(duì)于前一個(gè)變換的坐標(biāo)系（當(dāng)前坐標(biāo)系）的軸 來說的。如果我們用一個(gè)描述平移和/或旋轉(zhuǎn)的變換矩陣左乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換， 那么產(chǎn)生的平移和/或旋轉(zhuǎn)是相對(duì)于基坐標(biāo)系來說的。 【例2.3】給一個(gè)坐標(biāo)系C和一個(gè)變換T，T為繞 z 軸旋轉(zhuǎn)90，并在 x 軸方向上平移10 個(gè)單位，當(dāng)變換是相對(duì)于基坐標(biāo)系產(chǎn)生時(shí)，我們用 T 左乘 C 得到新的位置 x 為 0 -1 0 10 1 0 0 20 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 -1 10 1 0 0 20 x = T C = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 （2.17） 0 0 0 1 0 0 0 1 0

21、0 0 1 當(dāng)變換是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系 C 軸產(chǎn)生時(shí)，我們用 T 右乘 C 得到新的位置 y 為 1 0 0 20 0 -1 0 10 0 -1 0 30 0 0 -1 10 1 0 0 0 0 0 -1 10 y = C T = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 （2.18） 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 結(jié)果如圖2.12所示。 Y X Trans (10, 0, 0 ) Rot ( z, 90) 0 z y x x x x x y y y y z z z z Rot ( z, 90) Trans (10, 0, 0 ) 圖2.12 相對(duì)于基坐標(biāo)系和當(dāng)前坐標(biāo)系的

22、變換 2.8 2.8 物體的描述物體的描述（Object representation） 變換可用來描述物體的位置與方向（方位）。如圖2.13所示的楔形物體用六個(gè)角點(diǎn) 來描述，這六個(gè)角點(diǎn)是相對(duì)于物體所在的參考坐標(biāo)系的。如果把物體繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 90， 然后繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 90，接著沿 x 方向平移4個(gè)單位，我們可以描述這個(gè)變換為 0 0 1 4 1 0 0 0 Trans ( 4, 0, 0 ) Rot ( y, 90) Rot ( z, 90) = 0 1 0 0 0 0 0 1 這個(gè)變換表示了對(duì)參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)和平移操作，變換后物體的六個(gè)角點(diǎn)為 4 4 6 6 4 4 0 0 1 4 1

23、-1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 4 4 = 0 1 0 0 0 0 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 變換后該物體在坐標(biāo)上的方位如圖2.13所示。 從圖2.13可以看出，由于楔形物體的角點(diǎn)與它所在的坐標(biāo)系有固定的關(guān)系， 因此沒有必要對(duì)所有的角點(diǎn)進(jìn)行變換，只要對(duì)物體所在的坐標(biāo)系進(jìn)行變換，就可 得到變換后的各個(gè)角點(diǎn)在基坐標(biāo)中的位置，將這些角點(diǎn)用直線連接起來就可得到 楔形物體的邊緣，它與逐點(diǎn)變換的結(jié)果完全相同（見圖2.14）。 ( -1, 0, 0 ) ( -1, 0, 2

24、) ( 1, 0, 2 ) ( 1, 4, 0 ) ( -1, 4, 0 ) ( 1, 0, 0 ) z y x 0 圖2.13 楔形物體圖2.14 被變換的楔形物體 ( 4, 1, 0 ) ( 4, -1, 4 ) ( 4, 1, 4 ) ( 6, 1, 0 ) ( 6, -1, 0 ) ( 4, -1, 0 ) y x 0 y x z z 2.9 2.9 逆變換逆變換（Inverse transformation) 所謂逆變換就是將被變換的坐標(biāo)系返回到原來的坐標(biāo)系，在數(shù)學(xué)上就是求變 換矩陣的逆。 下面我們寫出變換矩陣的一般表達(dá)形式 nx ox ax px ny oy ay py T = n

25、z oz az pz （2.19） 0 0 0 1 式中 n, o, a 是旋轉(zhuǎn)變換列向量，p 是平移向量，其逆是 nx ny nz - p.n ox oy oz - p.o T-1 = ax ay az - p.a （2.20） 0 0 0 1 式中的 “ . ” 表示向量的點(diǎn)積。這個(gè)結(jié)果很容易用式2.19右乘式2.20是單位矩陣 來證明。 2.10 2.10 一般性旋轉(zhuǎn)變換（一般性旋轉(zhuǎn)變換（General rotation transformation） 前面我們介紹的旋轉(zhuǎn)變換都是繞 x，y，z 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，這些變換都有 一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何解釋。例如：在繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的情況下，表示 z

26、軸保持恒定，x 軸和 y 軸將如圖2.15所示那樣變化。 圖2.15 繞 z 軸的旋轉(zhuǎn) z 0 z y y x x Cos Sin Sin Cos 如圖2.16所示，給出一個(gè)變換矩陣 C，它繞 任意向量 k 旋轉(zhuǎn)，我們把 k當(dāng)作 C坐標(biāo)系的 z 軸單 位向量。 nx ox ax 0 ny oy ay 0 C = nz oz az 0 （2.21） 0 0 0 1 k = ax i + ay j + az k （2.22） 繞 k 旋轉(zhuǎn)就相等于繞 C 坐標(biāo)系的 z 軸旋轉(zhuǎn)。 Rot（ k，）= Rot（Cz，） （2.23） 如果我們給一個(gè)坐標(biāo)系T，它在參考坐標(biāo) 系里被描述，它在C坐標(biāo)系里用X描

27、述，這樣 T = C X （2.24） 其中X描述T相對(duì)C的位姿，求X，我們得到 X = C-1 T （2.25） k T z z y y x x x 0 0 圖2.16 一般性旋轉(zhuǎn)變換 C T 繞 k 旋轉(zhuǎn)就等于繞坐標(biāo)系的 z 軸旋轉(zhuǎn) Rot（ k, ） C Rot（ z, ）X （2.26） Rot（ k, ） C Ro t（ z, ）C-1 T （2.27） 這樣 Rot（ k, ） C Rot（ z, ）C-1 （2.28） 展開式（2.28），我們發(fā)現(xiàn) C Rot（ z, ）C-1 僅是 k 的函數(shù)。 用C-1右乘 Rot（ z, ） ，我們得到 cos -sin 0 0nx ny

28、nz 0 sin cos 0 0ox oy oz 0 Rot（ z, ）C-1 0 0 1 0ax ay az 0 0 0 0 1 0 0 0 1 nx cosox sin ny cosoy sin nz cosoz sin 0 nx cos + ox sin ny cos + oy sin nz cos+ oz sin 0 = ax ay az 0 （2.29） 0 0 0 1 再用C左乘 nx ox ax 0 ny oy ay 0 C = nz oz az 0 （2.30） 0 0 0 1 得到 C Rot（ z, ）C-1 = nxnx cos nxox sin+ nxox sin+ o

29、xox cos+ ax ax nynx cos nyox sin+ nxoy sin+ oyox cos+ ay ax nznx cos nzox sin+ nxoz sin+ oz ox cos+ az ax 0 nxny cos nxoy sin+ nyox sin+ oyox cos+ ax ay nyny cos nyoy sin+ nyoy sin+ oyoy cos+ ay ay nzny cos nzoy sin+ nyoz sin+ oyoz cos+ az ay 0 nxnz cos nxoz sin+ nzox sin+ ozox cos+ ax az 0 nynz cos

30、 nyoz sin+ nzoy sin+ ozoy cos+ ay az 0 nznz cos nzoz sin+ nzoz sin+ ozoz cos+ az az 0 （2.31） 0 1 應(yīng)用下列關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化： C 坐標(biāo)系任意的行或列與其他行或列的點(diǎn)積為零，因?yàn)檫@些向量是正交的； C 坐標(biāo)系任意的行或列與其自身的點(diǎn)積為I ，因?yàn)樗鼈兪菃挝涣浚?z 向量是 x 和 y 向量的叉積：a = n o，它有下列分量 ax = ny oz nz oy ay = nz ox nx o z az = nx oy ny ox 正矢 Vers=（1cos），簡(jiǎn)寫成 Vers，且 kx = ax ，ky =

31、 ay ，kz = az 。由此可得到 簡(jiǎn)化式為 Rot ( k, ) = kx kx Vers+ cos ky kx Verskz sin kz kx Vers + kysin 0 kx kyVers+ kz sin ky ky Vers+ cos kz kyVers kzxsin 0 kx kzVerskysin ky kz Vers + kxsin kz kzVers+ cos 0 （2.32） 0 0 0 1 上式是一般性的旋轉(zhuǎn)變換的重要結(jié)論。從這個(gè)結(jié)論可以得出每一個(gè)基本旋轉(zhuǎn)變換。例如： Rot ( x, )就是Rot ( k, )當(dāng) kx= 1，ky= 0, kz= 0 的情況，將這

32、些值代入式（2.32）得到 1 0 0 0 0 cos -sin 0 Rot ( x, ) = 0 sin cos 0 （2.33） 0 0 0 1 這個(gè)結(jié)果與以前一樣。 2.11 等價(jià)旋轉(zhuǎn)角與旋轉(zhuǎn)軸等價(jià)旋轉(zhuǎn)角與旋轉(zhuǎn)軸（Equivalent angle and axis of rotation） 任給一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，從（2.32）方程得到一個(gè)軸，繞這個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的等價(jià)旋轉(zhuǎn)角可由 如下方法得到。已知一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換 R nx ox ax 0 ny oy ay 0 R = nz oz az 0 （2.34） 0 0 0 1 令 R 和式 （2.32）的 Rot ( k, ) 相等，并將對(duì)角線各項(xiàng)相加得到 n

33、x + oy + az +1 = k2x Vers+ cos+ k2yVers+ cos + k2z Vers+ cos+1 （2.35） nx + oy + az = ( k2x + k2y + k2z ) Vers+ 3cos = 1 + 2cos （2.36） 由此可得到旋轉(zhuǎn)角的余弦是 cos = 1/2（nx + oy + az1） （2.37） 對(duì)非對(duì)角線項(xiàng)相減，我們得到 oz ay = 2 kx sin （2.38） ax nz = 2 ky sin （2.39） ny ox = 2 kz sin （2.40） 把式（2.38）到式（2.40）兩邊平方并相加有 （oz ay）2 +

34、（ ax nz）2 +（ ny ox ）2 = 4 sin2 （2.41） 我們得到了sin的表達(dá)式 sin = 1/2（oz ay）2 +（ ax nz）2 +（ ny ox ）2 （2.42） 規(guī)定這個(gè)旋轉(zhuǎn)是繞 k 正方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng) 0180時(shí)，在上式中取十號(hào)是合理的。 這個(gè)旋轉(zhuǎn)角被唯一定義為 tan =（oz ay）2 +（ ax nz）2 +（ ny ox ）2 /（nx + oy + az1 ） （2.43） k的各分量為 kx =（ozay）/ 2 sin （2.44） ky =（axnz）/ 2 sin （2.45） kz =（nyox）/ 2 sin （2.46） 注意注意：當(dāng)旋

35、轉(zhuǎn)角較小或接近 180時(shí)，上述三個(gè)式子的分子和分母都很小，所計(jì)算 的k值是不精確的。為此可繼續(xù)根據(jù)式（2.32）和式（2.33）對(duì)應(yīng)元素以及它們的 代數(shù)和相等的關(guān)系來求出k的各個(gè)分量。 2.12 2.12 擴(kuò)展與縮小擴(kuò)展與縮小（Stretching and scaling） 一個(gè)變換T a 0 0 0 0 b 0 0 T = 0 0 c 0 （2.47） 0 0 0 1 將沿著 x 軸以 a 因子，沿著 y 軸以 b 因子，沿著 z 軸 c 因子均勻擴(kuò)展著各種物 體。假定在一個(gè)物體上任意一個(gè)點(diǎn) x i + y j + z k ，它的變換是 a x a 0 0 0 x b y 0 b 0 0 y

36、 c z = 0 0 c 0 z （2.48） 1 0 0 0 1 1 這個(gè)正好表示出所說的擴(kuò)展。這樣，一個(gè)正方體可以由這個(gè)變換變成長(zhǎng)方體。變換s s 0 0 0 0 s 0 0 s = 0 0 s 0 （2.49） 0 0 0 1 將以s為比例因子來擴(kuò)展或縮小任一物體。 2.13 透視變換透視變換（Perspective transformation） 假設(shè)由一個(gè)簡(jiǎn)單透鏡把一個(gè)物體形成的像 如圖2.17所示。透鏡的軸沿著 y 的方向，焦距 為f ，物體上的一個(gè)點(diǎn) x, y, z 成象為 x/, y/, z/。 y/ 表示象距，它隨著物距 y 而變化。如果在通 過 y/ 而垂直于 y 的平面（

37、照相機(jī)的底片）上畫 出各個(gè)點(diǎn)，那么就形成了一個(gè)透視像。射線穿 過透鏡中心不偏轉(zhuǎn)，則 z / y = z/ / y/ （2.50） x / y = x/ / y/ （2.51） 根據(jù)平行透鏡的軸的射線通過焦點(diǎn)，我們 可以寫出 z / f = z/ / ( y/ + f ) （2.52） x / f = x/ / ( y/ + f ) （2.53） x/ y/ 和 z/ 是負(fù)數(shù)，而 f 是正數(shù)。用式（2.50） 和式（2.52）消去 y/ ，得 z / f = z/ ( z/ y / z + f ) （2.54） z y x 0 ( x, y, z ) ( x, y, z ) f 圖2.17 透視

38、變換 求出 x/ = x ( 1y/f ) （2.55） y/ = y ( 1y/f ) （2.56） z/ = z ( 1y/f ) （2.57） 齊次變換 p 能導(dǎo)出同樣結(jié)果，變換 p 是 1 0 0 0 0 1 0 0 p = 0 0 1 0 （2.58） 0 -1/f 0 1 任何一點(diǎn) x i + y j + z k 變換為 x 1 0 0 0 x y 0 1 0 0 y z = 0 0 1 0 z （2.59） 1y/f 0 -1/f 0 1 1 用比例因子 1 y / f 除得到的象點(diǎn) x/, y/, z/ 有 x /(1y/f) i + y/(1y/f) j + z/(1y/f) k （2.60） 這個(gè)