微分幾何曲面上的測(cè)地線

1、微分幾何曲面上的測(cè)地線 第六節(jié) 曲面上的測(cè)地線 平面上的直線（1）任一點(diǎn)的切向量平行；（2）曲率為0； （3）直線段是連接點(diǎn)與點(diǎn)之間的最短線段。 曲面上的測(cè)地線相當(dāng)于平面上的直線。 6.1 曲面上曲線的測(cè)地曲率 一、測(cè)地曲率的定義 給定曲面S： （c）是曲面上的一曲線： 在曲線上一點(diǎn) P 令 ，則 是兩兩正交的單位向量且成右手系， P 點(diǎn)的法面上。 ),( 21 uurr )(suu n nnrcos n , n , n 微分幾何曲面上的測(cè)地線 定義：曲線（c）在 P 點(diǎn)的曲率向量 上的投影（即在 S上P點(diǎn)的切平面上的投影） 稱為曲線在 P 點(diǎn)的測(cè)地曲率。 在kr krkg 微分幾何曲面上的測(cè)

2、地線 二、性質(zhì) 命題1： 222 ng kkk 證明： sin)90cos( )( ),(),()( 0 kkk nknk nknknkkk g g 2222222 sincoskkkkk gn 于是 , n 注意： 都在 P 點(diǎn)的法面上。 微分幾何曲面上的測(cè)地線 測(cè)地曲率的幾何意義：曲面 S上的曲線（C），它在 P 點(diǎn)的測(cè)地 曲率絕對(duì)值等于（C）在P點(diǎn)的切平面上的正投影曲線 的曲率。)( * c 證明：過（C）的每一點(diǎn)作曲面S在P點(diǎn)的切平面的垂線，于是得 到一柱面，這個(gè)柱面和S在P點(diǎn)的交線是 ，（C）和 都是 柱面上的曲線。在這個(gè)柱面上用梅尼埃定理。 )( * c)( * c 取 為柱面上P

3、點(diǎn)的法向量，由于柱面垂 直于切平面，所以柱面上任一點(diǎn)的法向量平 行于切平面，又P在切平面上，所以柱面在P 的法向量 應(yīng)在切平面上，而（C）點(diǎn)的切 向量 也在切平面上，所以柱面在P的法截 面就是切向量 與法向量 所確定的平面， .cos gn kkk 法截面與柱面的交線就是法截線 ，因此柱面在 方向的法 曲率 由于 ，其中k為（C）在P點(diǎn)的曲率， 為（C）的主 法向量和柱面在P點(diǎn)的法向量 之間的角，即 )( * c ),)(, * 點(diǎn)的曲率在為Pckkkkk nn cosk n )( * c )(c 微分幾何曲面上的測(cè)地線 推論：曲面上的直線的測(cè)地曲率為0。 這是因?yàn)榍嫔系闹本€在任一點(diǎn)的切平面

4、上的投影還 是直線，所以曲率為0。 習(xí)題3。 微分幾何曲面上的測(cè)地線 三、測(cè)地曲率的計(jì)算公式 ),(),(),(nrrnknkkg i i ii i ivu r ds du ds du r ds du r ds du r ds dv r ds du rr 2 2 1 1 n ds du ds du Lr ds du ds du ds ud r ds ud r ds du ds du r ds ud r ds du ds du r ji ji ijk k k ij j ji ik k k k ij j ji i i i i i ij j ji , 2 2 2 2 , 2 2 )( k ijk k

5、 ijij nLrr)( ),)( ,( ),)( ,( ),)(,( 1 , 1 2 12 2 2 2 , 2 2 22 1 1 , 2 2 nr ds du ds du ds ud r ds du nr ds du ds du ds ud r ds du nn ds du ds du Lr ds du ds du ds ud r ds du k ji ji ij ji ji ij ji ji ijk k k ij j ji ik i i i g 微分幾何曲面上的測(cè)地線 特別地，當(dāng)曲面上的坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)時(shí)，F(xiàn)=0，代入上式并 整理得 )( 2 )()( 2 )( 2 )()( 2 3222

6、3 2 2 2 2 2 ds dv E G ds dv ds du E E ds dv ds du E E ds dv ds du G G ds dv ds du G G ds du G E ds ud ds dv ds vd ds du gk uvuv uv g )()( , 1 2 122 , 2 2 221 ds du ds du ds ud ds du ds du ds du ds ud ds du gk ji ji ij ji ji ijg 這就是測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式。 微分幾何曲面上的測(cè)地線 下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單一點(diǎn)的形式。設(shè)曲線的切方向與u-線所成的 角為 ，則 ds dv r d

7、s du r G r E r ds rd vu vu sincos ,sin 1 ,cos 1 Gds dv Eds du ds dv EE E ds du EE E ds d E ds dv EE ds du EE ds d E ds dv dv E d ds du du E d ds d d E d ds ud vu vu 2 cos 2 cossin ) 2 1 (cos) 2 1 (cos sin ) cos () cos () cos ( 2 3 2 3 2 2 EGE E E E ds d Eds ud vu 2 cossin 2 cossin 2 2 2 2 微分幾何曲面上的測(cè)地

8、線 同理 2 2 2 2 2 sin 2 cossincos G G EGG G ds d Gds vd vu 代入前面的 kg 的計(jì)算公式可得 ,sin ln 2 1 cos ln 2 1 sin 2 cos 2 u G Ev E Gds d EG G GE E ds d k uv g 這個(gè)公式稱為劉維爾(liouville)公式。也可寫為 ,sincos vu ggg kk ds d k 其中 分別為 u 線和 v 線的測(cè)地曲率。事實(shí)上，對(duì)于u 線和 v 線來說，分別有 ，代入測(cè)地曲率的計(jì)算公式 有 vu gg kk, 0 900和 . ln 2 1 u G E k v g , ln 2

9、1 v E G k u g 微分幾何曲面上的測(cè)地線 6、2 曲面上的測(cè)地線 一、定義：曲面上的一條曲線，如果它的每一點(diǎn)處的測(cè)地曲率 為 0，則稱為測(cè)地線。 二、性質(zhì)1）如果曲面上有直線，則必為測(cè)地線。 2）命題3：曲面上非直線的曲線是測(cè)地線的充要條件是，除 了曲率為 0 的點(diǎn)外，曲線的主法線重合于曲面的法線。 證明：設(shè)曲線（c）為測(cè)地線（不是直線），則 但 即 ，所以主法線重合于法線。 反之，若主法線重合于法線，則 ，得 所以曲線是測(cè)地線。 , 0, 0 g kk 或0),(,sinnkkg n n 或0 )0(, 00sinkkkg 微分幾何曲面上的測(cè)地線 推論：如果兩曲面沿一曲線相切，并且

10、此曲線是其中一個(gè)曲 面的測(cè)地線，則它也是另一個(gè)曲面的測(cè)地線。 證明：因?yàn)檫@兩個(gè)曲面沿曲線相切，所以曲面沿曲線的法線 重合，又此曲線的主法線只有一條，所以此曲線的主法 線同時(shí)與兩個(gè)曲面沿此曲線的法線重合，由命題知推論成立。 例：球面上的大園一定是測(cè)地線，因?yàn)榇髨@的主法線 重合于 法線。 微分幾何曲面上的測(cè)地線 三、測(cè)地線的方程 設(shè)（C）為測(cè)地線，則它的主法線重合于法線，即 但 , n 00 , 0,)2 , 1(, ll lll rrrk rrirn 0)( , 2 2 l ji ji ijlk k k ij j ji ik l rn ds du ds du Lrr ds du ds du ds

11、 ud rr 0)( , 2 2 k k ij j ji ik kl ds du ds du ds ud g 又 g = det(gkl) 不為0，于是得到測(cè)地線方程為 2 , 1,0 , 2 2 k ds du ds du ds ud ji ji k ij k 微分幾何曲面上的測(cè)地線 特別地，當(dāng)坐標(biāo)曲線正交時(shí)，由劉維爾公式也得到曲面上 測(cè)地線的微分方程為 , 0sin ln 2 1 cos ln 2 1 u G Ev E Gds d ,sin 1 ,cos 1 Gds dv Eds du 若給出了初始條件： 則有唯一解 000000 )(,)(,)(svsvusu ).(),(),(ssvv

12、suu 例題1，2。 微分幾何曲面上的測(cè)地線 四、定理：過曲面上任一點(diǎn)，給定曲面上一個(gè)切方向，則存 在唯一一條測(cè)地線切于此方向。 證明：設(shè)測(cè)地線方程為 2 , 1,0 , 2 2 k ds du ds du ds ud ji ji k ij k 滿足上述方程的曲線都是測(cè)地線，給出了初始條件：s=s0 ， 即一個(gè)點(diǎn) 和一個(gè)切方向 由常微分方程理論，方程組有唯一解，即存在唯一一條測(cè)地線 （C）： 過已知點(diǎn)并切于定方向。 )(),( 0 2 0 1 susu )( ,)( 00 ds du ds du kk 2 , 1,)(ksuu kk 微分幾何曲面上的測(cè)地線 6.3 曲面上的半測(cè)地坐網(wǎng) 一、定義

13、：曲面上的一個(gè)坐標(biāo)網(wǎng)，其中一族是測(cè)地線，另一族是 這族測(cè)地線的正交軌線，則這個(gè)坐標(biāo)網(wǎng)稱為半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)。 極坐標(biāo)網(wǎng)是它的特例。 二、命題4：給出曲面上的一條曲線，則總存在一個(gè)半測(cè)地坐標(biāo) 網(wǎng)，它的非測(cè)地坐標(biāo)曲線族中包含給定的一條曲線。 證明：由定理1，過曲面上給定的曲線（C）上的每一點(diǎn)，沿著 （C），在切平面上對(duì)應(yīng)于垂直于（C）的方向，存在唯一條測(cè) 地線 ，然后再作這一族曲面的正交軌線，則這族測(cè)地線和 它的正交軌線組成了曲面上的一個(gè)半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)，并且 的 正交軌線族中包含了（C）。 )( * c )( * c 三、在前一節(jié)習(xí)題6（5）中提到，對(duì)于曲面上的半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)， 有 ，我們現(xiàn)在證明這個(gè)結(jié)論。

14、 222 Gdvduds 微分幾何曲面上的測(cè)地線 首先，由于半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)是正交的，所以 F=0 ， 222 GdvEduds 0 , 2 2 22 ds du ds du ds ud ji ji ij 0 , 2 ds du ds du ji ji ij 半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)中有一簇坐標(biāo)曲線是測(cè)地線，不妨設(shè)為 u 線，dv =0, 即 ， 它滿足測(cè)地線微分方程常數(shù) 2 u, 0 2 ds du 0 11 2 11 ds du ds du 但, 0 1 ds du 0 2 11 由P165，當(dāng)坐標(biāo)曲線正交時(shí)， 即 E 與 v 無關(guān)，只與 u 有關(guān)，可設(shè) , 0 2 2 11 v v E G E , 0)

15、(uE 在曲面上引進(jìn)新參數(shù) 從而第一基本形式 變?yōu)?,)(,duuudu使得 .),( 2222 dvvuGudGdvEduds 微分幾何曲面上的測(cè)地線 6.4 曲面上測(cè)地線的短程性 定理2：若給出曲面上充分小的鄰域內(nèi)的兩點(diǎn) P 、Q 則過這兩點(diǎn) 在小鄰域內(nèi)的測(cè)地線是連結(jié)這兩點(diǎn)的曲面上的曲線中弧長最短的 曲線。 證明：設(shè)（C）是曲面上連結(jié) P，Q 的一條測(cè)地線，在曲面上選 取半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)，使曲面上包含（C）在內(nèi)的一測(cè)地線族為u-線， 它的正交軌線為v-線，于是曲面的第一基本形式為 不妨設(shè)曲線（C）的方程為 v=0 ，P和Q的坐標(biāo)分別為(u1,0).(u2,0) (u1u2) ，于是沿測(cè)地線（C

16、）由P到Q的弧長為 又在這個(gè)小鄰域內(nèi)連結(jié)P和Q的任意曲線 的方程為 v = v(u) ， 于是沿 ，從 P到Q的弧長為 222 Gdvduds ,)( 12 )( uuPQs c ) (c ) (c duGGdvdudsGdvduds du dv 2 22222 1 微分幾何曲面上的測(cè)地線 2 1 2 1 .1 12 2 ) ( u u u u c uududuvGs 只有當(dāng) 時(shí)，上式等號(hào)才成立，但此時(shí) v 為常數(shù)，即為u- 線，而且是過P，Q 的u-線，即（C），表示此時(shí) 重合， 所以（C）是連結(jié) P，Q的最短線。 0 v ) (c（C） 由這個(gè)定理，我們又稱測(cè)地線為短程線。 注意：定理若不

17、是限制在一個(gè)小鄰域內(nèi)則不一定成立。 如球面上的大園是測(cè)地線，所以球面上不是直徑兩端的兩點(diǎn)， 連結(jié)它們的大園弧有兩段，顯然長的不是連結(jié)它們兩點(diǎn)的最 短線，而短的是。 微分幾何曲面上的測(cè)地線 6.5 高斯-崩涅 (Gauss-Bonnet)公式 在平面上，三角形的內(nèi)角和等于180度， 但在曲面上的情形可能不大一樣，如圖： 這一節(jié)就是把平面上的結(jié)果推廣 到曲面上去。 在曲面S上給出了一個(gè)由k條光滑曲線段 所圍成的曲線多邊形，它圍成了一個(gè)單連 通的曲面域G。多邊形的邊緣記為 。G 設(shè)曲面的高斯曲率和測(cè)地曲第分別為 K,kg ，曲面的面積元 素和弧長元素為 ，則的下面的高斯-崩涅公式成立。dsd , 2

18、)( 1 k i i G g G dskKd 其中 是 的第 i 個(gè)內(nèi)角的角度， 是外角的角度。 i i G 微分幾何曲面上的測(cè)地線 引理：若在曲面上引進(jìn)半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)，有 則 222 Gdvduds dvG du dv Gddsk ug )arctan( 證明：由于坐標(biāo)網(wǎng)正交，F(xiàn)=0，由劉維爾公式 ,sin ln 2 1 cos ln 2 1 u G Ev E Gds d kg ,sin 1 2 1 dsG G ddsk ug du dv GdvGds Gds dv duds Eds du tan,sinsin 1 coscoscos 1 又 。， du dv G代入即得結(jié)論 arctan 微

19、分幾何曲面上的測(cè)地線 定理證明： 在曲面上引進(jìn)半測(cè)地坐網(wǎng)并由引理得 dvG du dv Gddsk ug )arctan( 兩邊沿邊緣積分 (*)arctan()( GG u G g du dv GddvGdsk 對(duì)第二個(gè)積分用格林公式 dudv v P u Q dvvuQduvuP GG ),(),( 令 GG uuuu dudvGdvGGQP)()(,)(, 0 又面積元素 并由第五節(jié)習(xí)題6（5）（P144）知 dudvGdudvFEGd 2 GKG G G K uu uu )( 因此第二個(gè)積分為 GGG uuu KddudvGdvG)()( 微分幾何曲面上的測(cè)地線 對(duì)于（*）式中的第三個(gè)

20、積分，可設(shè) 的切向量 和u-線所成 的角為 ，且由于 ，所以為單位向量， G 1 uu rrE du dv G ds dv G ds dv G ds du Gdvduds ds du ds FdvEdu ds dvrdur r ds dr rr ds du vu uuu tan1cos1sin 1 cos 2 2 22 222 其中正負(fù)號(hào)的產(chǎn)生是由沿邊界積分時(shí)有兩種不同的方向，如果我 們采用逆時(shí)針方向時(shí)，可只取正號(hào)，即 du dv G du dv Garctantan 這時(shí)第三個(gè)積分變?yōu)?（*）式變?yōu)?GG d du dv Gd)arctan( GGG g ddKdsk 微分幾何曲面上的測(cè)地線

21、 當(dāng) 繞轉(zhuǎn)一周后， 的增量是 ，即邊 界曲線的切向量轉(zhuǎn)過了 ，它等于 （即分 段曲線所轉(zhuǎn)過的角之和）加上所有外角。即 G2 2 G d 2)()()( 21 k G d k i i G d 1 )(2 于是（*）式變成了 2)( 1 k i i GG g dKdsk 2 dKdsk GG g 推論1：如果 為一條光滑的曲線，則外角為0，有G 微分幾何曲面上的測(cè)地線 ,)()(32 )()()(2 321 321 S Kd G 其中 表示三角形的內(nèi)角和。 321 )(S 故當(dāng) 0 )(0 0 0 0 0 SKdK G 特別地，當(dāng)曲面為平面，K=0 ，多邊形的邊界為直線（平面 上的測(cè)地線）所組成時(shí)

22、，得到平面上的多邊形的外角和公式為 k i i 1 2)( 推論2：如果 是一個(gè)測(cè)地三角形，即三條邊由三條測(cè)地線組成 的三角形，則有 G 對(duì)于平面上的三角形有 即三角形內(nèi)角和為 ,2)()()( 321 .)( 321 S 微分幾何曲面上的測(cè)地線 6.6 曲面上向量的平行移動(dòng) 在前面我們看到曲面上的測(cè)地線相當(dāng)于平面上的直線，這 里簡(jiǎn)單對(duì)比一下： 平面直線 1）曲率為0； 2）兩點(diǎn)間最短距離是直線段； 3）給定一個(gè)方向和一點(diǎn)決定 一條直線； 曲面上的測(cè)地線 1）測(cè)地曲率為0； 2）兩點(diǎn)間（小范圍）最短距離 是測(cè)地線； 3）給定一個(gè)方向和一點(diǎn)決定 一條測(cè)地線； 但直線還有一個(gè)性質(zhì)就是直線上任一點(diǎn)處

23、的切向量都是平 行的，這個(gè)性質(zhì)是否也可以推廣到測(cè)地線上去呢？另一個(gè)問題 是，歐氏空間中的平移具有兩條基本的性質(zhì)：保持線性關(guān)系和 保持內(nèi)積，我們希望曲面上的平移至少保持兩個(gè)性質(zhì)。這一節(jié) 就討論這個(gè)問題。 微分幾何曲面上的測(cè)地線 一、曲面上的向量及平行移動(dòng) 1 、曲面上的向量：曲面上給定點(diǎn)處切于該曲面的向量，也就 是給定點(diǎn)的切平面上的向量。 2 、絕對(duì)微分及勒維-基維塔平移 設(shè)曲面上一曲線（C）： 沿它上面的點(diǎn)M，給出一向量 它在點(diǎn) M 處切于曲面，且沿此曲 線給出一向量場(chǎng)。 2 , 1,)(ituu ii )(ta 微分 ，從點(diǎn) M 引 ，一般來說，這個(gè)向量不在點(diǎn) M 的 切平面上，因此它不再是

24、曲面在M點(diǎn)的切向量，現(xiàn)在分解它為 切平面和沿曲面的法向量 方向上的兩個(gè)分量。 ad ada n 當(dāng) 從M 點(diǎn)按通常意義下的移動(dòng)到鄰近 點(diǎn) 時(shí)，得一增量，其主要部分等到于 )(ta M ada ada a M M n )(c 微分幾何曲面上的測(cè)地線 沿法線方向的分量為 ，則 為 在 方向上的射影，且 為單位向量，所以它就是它們的內(nèi) 積， n n ada n nadnnadnan nadann )( )( adanadnada t )()( nadnadaada t )()( 即設(shè)切線分量為 t ada)( a M 這實(shí)際上就是 到點(diǎn) M 的切平面上的投影向量。 我們稱點(diǎn) M 處的向量 和向量 的

25、差為向量 從點(diǎn) M 沿曲線（C）移動(dòng)到 的絕對(duì)微分，記為 ，即： ada t ada)( a aD nadnadaadaaD t )()( ada ada a M M n )(c aD 當(dāng)向量從點(diǎn) M 沿曲線移動(dòng)到 時(shí)， 等到于把它的通常微 分 投影到點(diǎn)M 處的切平面上的部分，因此還是曲面上的向量。 M aD ad 微分幾何曲面上的測(cè)地線 當(dāng) 時(shí)，表示向量 從點(diǎn) M 沿（C）的方向移動(dòng)到 點(diǎn) 時(shí)，微分 沿法線 的方向，換言之，把向量 投影到點(diǎn)M 的切平面時(shí)，我們得到向量 ，這時(shí)稱向量 是向量 從 M 點(diǎn)沿（C）的方向到鄰近點(diǎn) 經(jīng)過平行移動(dòng)而 得到的向量。 0 aD a M ada adn a

26、ada a M 這樣定義的平移概念與所取的曲線 有關(guān)，因此 與 稱為沿曲線在勒維基維塔意義下的平行向量，即稱 向量 與 沿曲線 是勒維基維塔平行移動(dòng)。 )(tuu ii )(tuu ii ada ada a a 特別地，在平面上向量的勒維基維塔平行移動(dòng)和通常 意義下的平移一致，這是由于在平面上 ，所以勒 維基維塔平行移動(dòng)是平面上通常平移在曲面上的推廣。 adaD 微分幾何曲面上的測(cè)地線 3、絕對(duì)微分及平行移動(dòng)的分析表達(dá)式 沿曲線（C）上的每個(gè)點(diǎn)，由于 為切向量，在這個(gè)切平面上， 以 為基向量建立坐標(biāo)系，并設(shè) 的坐標(biāo)為 a 21,r r )(),( 21 tata )(ta i i rtarta

27、rtata )()()()( 2 2 1 1 )()( )()( 2 22 1 21 2 2 22 12 1 11 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 durdurardadurdurarda rdardardardaad nrduadarduada nduaduaduaduadar duaduaduaduadar ndurdurarda durdurardaad k k k k k k k k k k k k (*)()( (*)( )( (*)( )( 2 , 22 1 , 11 222 22 122 21 21 12 112 11 2 2 221 22 121 21 211 12 111 11 1 1 2 22 1 21 2 2 2 2 12 1 11 1 1 1 2 k ijk k ijij nLrr, 微分幾何曲面上的測(cè)地線 nadnadaadaaD t )()( 由于 從式中可看出，只要在上面的式子中去掉法線分量就得到