圓錐曲線的題型歸類的總結(jié)

1、高考圓錐曲線的常見題型題型一：定義的應(yīng)用1、圓錐曲線的定義：（1）橢圓（2）橢圓（3）橢圓2、定義的應(yīng)用（1）尋找符合條件的等量關(guān)系（2）等價(jià)轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合3、定義的適用條件：典型例題例1、動(dòng)圓M與圓C:（x+1） 2例2、k為何值時(shí),方程丄y 1的曲線:9k 5k+y2=36內(nèi)切,與圓Q:（x-1） 2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。例2、方程畝：小:表示的曲線是題型二：圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：1、橢圓：由丄！，.丿分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。2、雙曲線：由,L - J j項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上;3、拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐

2、標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。典型例題2 2例1、已知方程二一+ =1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，貝U m的取值范圍是m T 2 m是橢圓；是雙曲線題型三：圓錐曲線焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)問題1、 橢圓焦點(diǎn)三角形面積S二b2tan;雙曲線焦點(diǎn)三角形面積S二b2cot 2 22、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解3、m，n,m-n,mn,m2 n2四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用；典型例題2 2例1、橢圓x2= 1(a b 0)上一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)R, F2的張角/a bFi PF2工二，求證： FiPF的面積為b2 tan。例2、已知雙曲線的離心率為 2, Fi、一

3、一， w 一 廠.求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法1、a,b,c三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的值；2、a,b,c三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的最值 或范圍；3、注重?cái)?shù)形結(jié)合思想不等式解法典型例題2 2例1、已知R、F2是雙曲線篤爲(wèi)=1 ( a 0,b 0 )的兩焦點(diǎn)，以線段FF2為 a b邊作正三角形MF1F2，若邊MFi的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是()A. 4+2碼B. 、3-1C.斗1D12例2、雙曲線2占=1 (a0,b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、一 b為其上一點(diǎn)，且|PFi|=2|PF2|,則雙曲線離心率

4、的取值范圍為A. (1,3)B. 1,31C.(3,+ ：) D. 3,：2 2例3、橢圓G :篤與二論 b 0)的兩焦點(diǎn)為F1(-c,0), F2CO)，橢圓上存在 a b點(diǎn) M 使 F1M F2M 0.求橢圓離心率e的取值范圍;2 2例4、已知雙曲線 篤-篤=1(a 0,b 0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直a b線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(A) (1,2(B) (1,2)(C) 2, ：)(D) (2,：)題型五：點(diǎn)、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷1、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系22點(diǎn)在橢圓內(nèi)：=XIy2: 1a b22點(diǎn)在橢圓上二冷爲(wèi)=1 a b2 2點(diǎn)在

5、橢圓外二冷篤1a2b22、直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題:.：0：二相交厶=0=相切（需要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況）匚0=相離3、弦長(zhǎng)公式：AB = J + k2 Xr _ x2 = J + k2（ % 一 x2）=+ k2 lalAB1+和1 -小屮+右4、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題:1、偉達(dá)定理： 2、點(diǎn)差法:（1）帶點(diǎn)進(jìn)圓錐曲線方程，做差化簡(jiǎn)（2）得到中點(diǎn)坐標(biāo)比值與直線斜率的等式關(guān)系典型例題例1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點(diǎn)M（3,-1）平分,求直線AB的方程.例2、已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓與直線 L:x+y=1交于A,B兩點(diǎn),C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=2

6、2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為 22，求橢圓的 方程。題型六：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程:1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；2、求軌跡方程的常用方法：(1) 直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系|f ：-；例1、如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線】一的距離之和等于4,求P的軌跡方 程.(2) 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程一一先根據(jù)條件設(shè)出所求 曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。例2、如線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M( m 0)(鴉，端點(diǎn)A B到x軸距離 之積為2m,以x軸為對(duì)稱軸，過 A、O B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程 為(3) 定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是

7、某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；例3、由動(dòng)點(diǎn)P向圓I作兩條切線PA PB,切點(diǎn)分別為A、B, / APB=60, 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為例4、點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線：的距離小于1,則點(diǎn)M的軌跡 方程是2 2 2 2例5、一動(dòng)圓與兩圓。M X +y =1和。N:兀+y 一弘+ 12 = 都外切，則動(dòng) 圓圓心的軌跡為 代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn):依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且0(亦)又在某已知曲線上，則可先用人y的代數(shù)式表示心兒，再將血必代入 已知曲線得要求的軌跡方程：例6如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線- + 1上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為，點(diǎn)M分上 所成的比為2，則M的軌跡方程為（5）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)

8、點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將I；均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普 通方程）。例7、過拋物線”T的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是題型七：（直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法） 一、設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為 y=kx+b與x=my+n的區(qū)別）二、設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒：之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊础霸O(shè)而不求”）三、聯(lián)立方程組；四、消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡(jiǎn) 單） 五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型: “以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)0”（提醒：需討論K是否存在）二

9、 OA _ OB = K1 *K2 - -1 二 OA = 0 二 x1x2 y, y2 = 0 “點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問題”二“向量的數(shù)量積大于、等于、小于 0問=斜率關(guān)系（K, K 0或Ki二K2）；二“直角、銳角、鈍角問題”題”-x,X2 y,y20； “等角、角平分、角互補(bǔ)問題” “共線問題”（如：AQ屜 =數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如：A、0、B三點(diǎn)共線二 直線0A與0B斜率相等）； “點(diǎn)、線對(duì)稱問題” =坐標(biāo)與斜率關(guān)系； “弦長(zhǎng)、面積問題”=轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長(zhǎng)公式問題（提醒：注意兩個(gè)面積公式的合理選擇）；六、化簡(jiǎn)與計(jì)算；七、細(xì)節(jié)問題不忽略；判別式是否已經(jīng)考慮；拋

10、物線問題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會(huì)出現(xiàn)0.基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無解；3、證明定值問題的方法：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點(diǎn)問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系 數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明5、求最值問題時(shí)：將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函 數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值 不等式的方法等再解決；

11、6轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)；7、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來， 即可自然而然產(chǎn)生思路。典型例題：例1、已知點(diǎn)F 0,1 ,直線I : y = -1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線I的垂(1) 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2) 已知圓M過定點(diǎn)D 0,2，圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓 M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)DA =1,，DBJ，求比的最大值.例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，0為半圓圓心，且ODLAB, Q為線段0D的中點(diǎn)，已知|AB=4，曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng) 點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持| PA

12、+| PB的值不變(1) 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線 C的方程； 過D點(diǎn)的直線I與曲線C相交于不同的兩點(diǎn) M N,且M在D N之間, 設(shè)匹=入，求入的取值范圍.DN例3、設(shè)FiF2分別是橢圓C :x y122 - 1a b(a b 0)的左右焦點(diǎn)(1)設(shè)橢圓C上點(diǎn)C.3,)到兩點(diǎn)Fi、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和2焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 設(shè)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段 KF1的中點(diǎn)B的軌跡方程;(3) 設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)， 當(dāng)直線PM ，PN的斜率都存在，并記為kpM，kPN，試探究kPM -Kpn的 值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證

13、明你的結(jié)論。例4、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離 的最大值為3，最小值為1 .(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(U)若直線l : kx m與橢圓C相交于A， B兩點(diǎn)(A B不是左右頂點(diǎn))， 且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線I過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的 坐標(biāo).離心率例5、已知橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2在y軸上，短軸長(zhǎng)為2、2 ,為弓，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且PF Pf2=1，過P作關(guān)于直線FiP對(duì)稱的兩條直線PA PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值；典型例題：例1、(1)解設(shè)尸0丿)，則0(益-1T QPF*0 ,y

14、+l)q-耐 2)=(工一1口* 廠 2).SP2(j+l) = x2 - 2(y-1)?即 a2 = 4y f所以動(dòng)點(diǎn).P的軌跡C的方程/二4丿-解；設(shè)圓圓心坐標(biāo)為則/ = 4占.圓M的半徑為|辺| =問+ 0 -窈.圓M的方程為(界十卜疔二護(hù)+ 02)1令$ = 0,則(盂/+護(hù)二屮+少2幾整理得，xa-2+4i-4 = 0.由、解得，x=a_2 .不妨設(shè) A a -2,0 , B a 2,0 , lia-2 2 4，I2a 2 $ 4 .h I2 li2 J 2a2 16I2 liI1I2, a4 64惰+82 一 L 16a2一 a4 64 一 . a4 64，當(dāng) a 式0時(shí)，由得，

15、S +旦=21+ 16=22 .1( a?詈8當(dāng)且僅當(dāng)a二-2 2時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)a =0時(shí)，由得，山丄=2 .I2 |1故當(dāng)時(shí)，譏的最大值為2、2 .例2、解：(1)以AB 0D所在直線分別為x軸、y軸，0為原點(diǎn)，建立平面直角 坐標(biāo)系， | PA+I PB|=| QA+I QB=2 (22 +12 =2禹 | AB=4.曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2 5 , a= . 5, c=2, b=1.2曲線C的方程為-+y2=i.5設(shè)直線I的方程為y=kx+2,2代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.5 =(20 k)

16、2- 4X 15(1+5k2) 0,得 k2 3.由圖可知 DM5丄20kx1 x22由韋達(dá)定理得*1 +5k215X1 X221 +5k2將X1=入X2代入得22400k2(1十對(duì)X2 =幵(1 +5k2)215X221 5k2X1DN x22 2兩式相除得丸 15(5k )3(5+2)k2 315120k ,. 0 ： 2 ：, 5 ： 2:，即4 :5 k23 k2 538013(廬5k163(i)2嚴(yán)DM Q解得1 一：3九 3DN3冒,M在D N中間，：X 1又當(dāng)k不存在時(shí)，顯然入喘冷（此時(shí)直線1與y軸重合）綜合得：1/3 w入v 1.3、解：（1）由于點(diǎn)(3,在橢圓上,(3)22a

17、22) =1 得 2a=4,2 b橢圓C的方程為2x+4,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1,0）,（1,0）設(shè)KFi的中點(diǎn)為B( x,y）則點(diǎn)K(2x 1,2 y)把K的坐標(biāo)代入橢圓2xy1432 2中得創(chuàng)143線段KF1的中點(diǎn)B的軌跡方程為（x冷）2 =14分（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)設(shè) M（x,y） N（-Xo,-y。）, p（x, y）,N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱M, N,P在橢圓上,應(yīng)滿足橢圓方程,2Xo2a2 yo b2=12 x2 a10分kpM Kpn =x_x。. 22yy。_ y 一 y。丄22xxoX_ X。a213分故: kPM Kpn的值與點(diǎn)P的位置無關(guān),同時(shí)與直線L無關(guān),14分

18、2 2例4、解：（I）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 1 .43(5 分)(U)設(shè) A(x1, yj , B(x2, y2),y 二 kx m,聯(lián)立 x2 y2得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 一3) = 0,+ =143-.: = 64m k 16(3 4k )(m -3)0,即 3 4k - m8mk2，3 4k23 4kx-ix2 =、/ 2 2又 y2 二(kx1 m)(kx2 m) = k x1x2 mk(x.| x2) m因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)D(2,0),kADkBD = -1，即yiXi _ 2 x? - 2-1, 0,則2 23(m -4k ),3 4k2.y2 n

19、* x2)+0,込爐.十上.4 = 0,3 4k23 4k23 4k2.9m2 16mk 4k2 = 0 .解得：m - -2k , m2 -，且均滿足 3 - 4k2 -m2 0 ,1、當(dāng)m1 = -2k時(shí)，丨的方程為y =k(x-2)，直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾;2、當(dāng)2km2 = -石時(shí)，I的方程為yI 2 ； = kX-7，直線過定點(diǎn)1,0.所以,直線I過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(14 分)例5、2 2解(1) -142。F1(02),F2(0 .2)，設(shè) P(Xo,yo)(Xo O,yo 0)PF1 PF? = x2 - (2 - y：) = 1則 PF1 =(-x, .2-y0),PF2 =(-X0，i、2-y。),2 2 丁點(diǎn)P(x0,y)在曲線上，則x _y =1.2 4 一 2從而寧-(2氓円，得 y0“2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1“)(2)由(1)知PFi / x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為k(k . 0),工y _=k(x_1)則PB的直線方程為：y-、2二k(x1)由x2y21.24(2 k2)x2 2k(2 k)x (、邁 k)2設(shè) B(