二倍角的正弦、余弦和正切公式

1、二倍角的正弦、余弦和正切公式(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1能從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2能熟練運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式但不要求記憶） ，能靈活地將公式變形并運(yùn)用3通過運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的恒等變換，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會(huì)換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos(S2)cos2cos2sin2(C2 )2cos 2112sin 2tan 22 tan(

2、T2)1tan2要點(diǎn)詮釋：(1)公式成立的條件是：在公式S2 , C2 中，角可以為任意角，但公式T2中，只有當(dāng)k 及kZ ) 時(shí)才成立；24(k2(2)倍角公式不僅限于 2是的二倍形式，其它如4是 2 的二倍、是的二倍、3243是的二倍等等都是適用的. 要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好2二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵.如 ： sin2 sincos；22sin2n2sinn 1 cos2n 1 (nZ )22和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式S,C, T中，當(dāng)時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：要點(diǎn)二：二倍角公式的逆用及變形1公式的

3、逆用2sin cossin 2； sincos1 sin 2 2cos2sin22cos 211 2sin 2cos2 2 tantan 2 1 tan22公式的變形1 sin 2(sincos )2 ；降冪公式： cos21cos2,sin 21cos222升冪公式： 1cos 22cos 2,1cos22sin 2要點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡題、證明題1對公式會(huì)“正著用” ，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等；2掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如(),2()() 等等，把握式子的

4、變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式，也要抓住角之間的規(guī)律( 如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等) ；3將公式和其它知識(shí)銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接.【典型例題】類型一：二倍角公式的簡單應(yīng)用例 1化簡下列各式：（ 1） 4sincos；（ 2） sin2cos2；（ 3）tan37.522881tan2 37.5【思路點(diǎn)撥】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式【答案】（ 1） 2sin（ 2）2232（ 3）2【解析】（ 1） 4sincos2 2sincos2sin2222（ 2） sin2cos28cos2sin28cos42 882（ 3）tan 37.512sin 37.51 tan 7523

5、 1tan 2 37.521 tan2 37.522【總結(jié)升華】本題的解答沒有去就單個(gè)角求其函數(shù)值，而是將所給式子作為一個(gè)整體變形， 逐步向二倍角公式的展開形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔細(xì)體會(huì)本題中的解題思路舉一反三：【變式 1】求值：（ 1）2 tan 751tan2 75cossincossin；（ 2） 2cos21；（3）121212128【答案】（1）3 ；（2）2；（ 3）322【解析】（1）原式 = cos2sin 2cos3；121262（ 2）原式 = cos(2) cos2；842（ 3）原式 = tan150tan(18030 )tan 3033類型二：利用二倍角公式求

6、非特殊角的三角函數(shù)值例 2 求 sin10 sin30 sin50 sin70 的值【思路點(diǎn)撥】解這類題型有兩種方法：方法一：適用 sinsin 2，不斷地使用二倍角的正弦公式2cossin 2方法二：將正弦題目中的正弦形式全部轉(zhuǎn)化為余弦形式，利用cos進(jìn)行化2sin簡【答案】116sin 20 sin 50 sin 70【解析】方法一：sin10sin 50sin 702cos10sin 20 cos20sin 50sin 40sin 50sin 40 cos40sin 801 2cos104cos104cos108cos1081 sin10 sin 30 sin 50 sin 7016方法

7、二：原式1 cos 20 cos 40cos802sin 20 cos 20cos40 cos8024sin 20sin 40 cos40 cos80sin80cos801sin1601 4sin 202sin 2016sin 2016【總結(jié)升華】本題是二倍角公式應(yīng)用的經(jīng)典試題方法一和方法二通過觀察角度間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得問題出現(xiàn)連用二倍角的正弦公式的形式 在此過程中還應(yīng)該看到化簡以后的分子分母中的角是互余（補(bǔ)）的關(guān)系，從而使最終的結(jié)果為實(shí)數(shù)利用上述思想，我們還可以把問題推廣到一般的情形：一般地，若sin0 ，則 cos cos2 cos4cos2ns

8、in 2n 12n 1 sin舉一反三：【變式 1】求值： sin10 cos40 sin70 【解析】原式cos20 cos40 cos802sin 20 cos 20 cos40 cos802sin 202sin 40cos 40 cos802sin80cos804sin 208sin 20sin160sin 201 8sin 208sin 208類型三：利用二倍角公式化簡三角函數(shù)式例 3化簡下列各式：sinsin 2(2) 1sin 4(1)cos21 cos【思路點(diǎn)撥】（ 1）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角，再進(jìn)行化簡（ 2）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角，

9、利用平方差公式進(jìn)行化簡【答案】（1） tan（ 2） sin 2cos2sinsin 2sin2 sincossin(12 cos)tan .【解析】 (1)cos 2cos2cos2cos(12 cos)1 cos(2) 1 sin 4sin 2 22 sin 2 cos2cos2 2(sin 2cos2)2| sin 2cos2 | sin 2cos2.【總結(jié)升華】余弦的二倍角公式的變形形式：1 cos22 cos2,1 cos 22sin 2經(jīng)常起到消除式子中1 的作用由于sin 22 sincos，從而 1sin2(sincos ) 2 ，可進(jìn)行無理式的化簡和運(yùn)算例 4化簡：2cos2

10、12 tansin244【解析】原式cos22sin4cos2cos44cos2cos22sincossin2442cos21cos2【總結(jié)升華】三角函數(shù)的化簡要從減少角的種類、函數(shù)的種類入手通過切化弦、弦化切、異化同、高次降冪等手段，使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡形式舉一反三：【變式 1】（ 1）1sin 6 的化簡結(jié)果是（ 2） 已知 sin3，且 (， ) ，則 sin 2的值為52cos2【答案】（ 1） sin3cos3 （ 2）32【解析】（ 1）原式 = 1 sin 3cos3= (sin3 cos3)2=| sin3cos3|= sin3 cos3（ 2 ） 因 為 sin3，且 (，

11、 )， 所 以 cos4，原式2sin cos355325(=2)2cos254類型四：二倍角公式在三角函數(shù)式給值求值題目中的應(yīng)用例 5求值：（1）已知 sin()3，求 cos() 51226（2）已知 sin()m ，求 sin24【思路點(diǎn)撥】 觀察所求的角與已知角的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們是二倍的關(guān)系，所以用二倍角公式去求解【答案】（ 1） 7 （2） 2m2125【解析】（1） cos() coscos226612=12sin 2212=192=25725（2） sin 2cos(2) =12sin 224=1 2sin 24= 2m2 1【總結(jié)升華】給值求值是求值問題中常見的題型，求解的要點(diǎn)是

12、利用公式溝通已知條件和所求式子之間的聯(lián)系，考查公式運(yùn)用和變換的技巧舉一反三：【變式 1】 已知 sincos10，求 sin 2， cos2， tan2的值，且3【答案】8178179917【解析】由 sincos1，得 (sincos)21，1398即 12sincossin 22sincos，9191由 sincos，得 cossin，3312 cos2sin3即 1 sin212sinsin 293整理得 9sin 23sin40 117或 sin117解得 sin6（舍去）62 cos 212sin 21211717 69sin 2817 tan 217cos 2【總結(jié)升華】解題過程中

13、注意角的范圍的判定【變式 2】已知 tan1 ，（ 1）求 tan的值；（ 2）求 sin 2cos2的值421cos 2tantan1tan11【解析】（ 1） tan4，解得 tan41tan21 tantan34（ 2） sin 2cos22sincoscos22sincos1cos212cos 212costan11152326【總結(jié)升華】第（ 1）問中利用了方程的思想求tan的值；對于第（2）問的題型，一般需要將分式轉(zhuǎn)化為含tan的式子求解，或者通過消元轉(zhuǎn)化的方法求解類型五：二倍角公式的綜合應(yīng)用例 6已知f ( x)sin2 x2sin x cos x3cos2 x ，求：（ 1）

14、f ( x) 的最大值以及取得最大值的自變量的集合；（ 2） f ( x) 的單調(diào)區(qū)間【思路點(diǎn)撥】用降冪公式把原式降冪，然后用輔助角公式化成A sin(x)k 的形式【答案】（ 1） 2 2x | x k, k z （ 2）單增區(qū)間k3, k z, k888單減區(qū)間k, k5,kz88【解析】（1）原式 =1sin 2x cos2x1=sin 2xcos2x2=2 sin(2 x)24則當(dāng) 2x42k2, 即 x | xk, k z 時(shí)，8f max ( x)2 2（2） f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為：2k22x2k，則42xk3,k8,kz8f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為：2k2x2k3，

15、則224xk, k5, kz88【總結(jié)升華】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦公式及 yAsin( x) 的性質(zhì)等知識(shí)要記住倍角公式兩類重要變形并能熟練應(yīng)用：2（1）縮角升冪公式1sinsincos，2221sinsincos 1cos2cos 2， 1cos2sin 2（ 2）擴(kuò)角降冪2222公式 cos21cos 2， sin 21cos222例 7 已 知 向 量 a(1sin 2x,sin xcos x) ， b(1,sin xcos x) ， 求 函 數(shù)f ( x) ab（ 1）求 f ( x) 的最大值及相應(yīng)的x 值；（ 2）若 f ( )82 的值，

16、求 cos254【思路點(diǎn)撥】 利用向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)形式，將題設(shè)條件中所涉及的向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，從而建立函數(shù)f(x) 關(guān)系式【答案】（ 1） 2 1 x316k(k Z ) （2）825【解析】 （ 1）因?yàn)?a(1 sin 2x,sin xcos x) ， b(1,sin x cos x) ，所以 f ( x) 1 sin 2x sin 2 x cos2 x 1 sin 2x cos 2x2 sin 2x1 4因此，當(dāng) 2x2，即xk3(kZ )時(shí)，f ( x)取得最大值2 1k28483（ 2 ）由 f ( )1 sin 2cos2及 f ()cos2得 sin

17、2，兩邊平方得551 sin 49，即 sin 416因此， cos22cos24sin 416 2525425舉一反三：【變式 1】已知函數(shù)f ( x) sin x cos xcos2x1.222（）求函數(shù)f ( x) 的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（）求函數(shù)f ( x) 在 , 上的最小值 .【答案】（） 2， 2k,2k5， kz （）21442【解析】（） f ( x) sin x cos x1cos x12221 sin x1 cos x12222 sin( x)1 .242所以函數(shù)f ( x) 的最小正周期為 2 .由 2kx2k3， kZ ，則 2kx 2k5224.454函數(shù) f (x) 單調(diào)遞減區(qū)間是2 k4, 2k ， kZ .374( )由，得x.x24424則當(dāng) x3，即 x521.2時(shí)， f ( x) 取得最小值244【變式 2】已知向量m=（ sinA ， cosA）， n(3, 1) ， m n=1，且 A 為銳角（ 1）求角 A 的大?。唬?2）求函數(shù)f