第五專題 矩陣的數(shù)值特征(行列式、范數(shù)、條件數(shù)、跡、秩、相對特征根)

1、第五專題 矩陣的數(shù)值特征(行列式、范數(shù)、條件數(shù)、跡、秩、相對特征根) 第五專題 矩陣的數(shù)值特征 （行列式、跡、秩、相對特征根、范數(shù)、條件數(shù)） 一、行列式 已知Apq, Bqp, 則|Ip+AB|=|Iq+BA| 證明一：參照課本194頁，例4.3. 證明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性質(zhì)； 從而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的數(shù)目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘積，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘積，所以二者相等。 二、矩陣的跡 矩陣的跡相對其它數(shù)值特征簡單些，然而，它在許多領(lǐng)域，如數(shù)值計(jì)算，逼近論，以及統(tǒng)計(jì)估計(jì)等都有相當(dāng)

2、多的應(yīng)用，許多量的計(jì)算都會(huì)歸結(jié)為矩陣的跡的運(yùn)算。下面討論有關(guān)跡的一些性質(zhì)和不等式。 定義：tr(A)?aii?i，etrA=exp(trA) i?1i?1nn 性質(zhì)： 1. tr(?A?B)?tr(A)?tr(B)，線性性質(zhì)； T2. tr(A)?tr(A)； 3. tr(AB)?tr(BA)； ?14. tr(PAP)?tr(A)； HH5. tr(xAx)?tr(Axx),x為向量； kktr(A)?,tr(A)?6. ?i?i; i?1i?1nn 從Schur定理（或Jordan標(biāo)準(zhǔn)形）和（4）證明； 7. A?0,則tr(A)?0,且等號成立的充要條件是A=0； 8. A?B(即A?B

3、?0),則tr(A)?tr(B)，且等號成立的充要條件是A=B（A?B?i(A)?i(B)）； 9. 對于n階方陣A，若存在正整數(shù)k,使得Ak=0,則tr(A)=0（從Schur定理或Jordan標(biāo)準(zhǔn)形證明）。 若干基本不等式 對于兩個(gè)mn復(fù)矩陣A和B，tr(AHB)是mn維酉空間上的內(nèi)積，也就是將它們按列依次排成的兩個(gè)mn維列向量的內(nèi)積，利用Cauchy-schwarz不等式 x,y2x,xy,y 得 定理：對任意兩個(gè)mn復(fù)矩陣A和B |tr(AHB)|2tr(AHA)tr(BHB) 這里等號成立的充要條件是A=cB,c為一常數(shù)。特別當(dāng)A和B為實(shí)對稱陣或Hermit矩陣時(shí) 0| tr(AB)

4、| 定理：設(shè)A和B為兩個(gè)n階Hermite陣,且A0，B0，則 0tr(AB)1(B)tr(A) tr(A)tr(B) 1(B)表示B的最大特征值。 證明： tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) 0，又因?yàn)?A1/21(B)I-BA1/20，所以1(B)tr(A)A1/2BA1/2，得 tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)tr(1(B) A) =1(B) tr(A)tr(A)tr(B) 推論：設(shè)A為Hermite矩陣，且A>0，則 tr(A)tr(A-1)n 另外，關(guān)于矩陣的跡的不等式還有很多，請參考矩陣論中不等式。 三、矩陣的秩 矩陣的秩的概念是由Sylvester于186

5、1年引進(jìn)的。它是矩陣的最重要的數(shù)字特征之一。下面討論有關(guān)矩陣秩的一些性質(zhì)和不等式。 定義：矩陣A的秩定義為它的行（或列）向量的最大無關(guān)組所包含的向量的個(gè)數(shù)。記為rank(A) 性質(zhì)： 1. rank(AB)?min(rank(A),rank(B)； 2. rank(A?B)?rank(A,B)?rank(A)?rank(B)； HHrank(AA)?rank(A)?rank(A)； 3. 4. rank(A)?rank(XA)?rank(AY)?rank(XAY)，其中X列滿秩，Y行滿秩（消去法則）。 定理（Sylvester）：設(shè)A和B分別為mn和nl矩陣，則 rank(A)?rank(B)

6、?n?rank(AB) ?min(rank(A),r a Sylveste定理是關(guān)于兩個(gè)矩陣乘積的秩的不等式。其等號成立的充要條件請參考王松桂編寫的矩陣論中不等式，三個(gè)矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻(xiàn)。 四、相對特征根 定義：設(shè)A和B均為P階實(shí)對稱陣，B>0，方程 |A-B|=0的根稱為A相對于B的特征根。 性質(zhì)：|A-B|=0等價(jià)于|B-1/2AB-1/2-I|=0 (因?yàn)锽>0，所以B1/2>0) 注：求A相對于B的特征根問題轉(zhuǎn)化為求B-1/2AB-1/2的特征根問題或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是實(shí)對稱陣，所以特征根為實(shí)數(shù)。 定義：使(A-iB)li

7、=0的非零向量li稱為對應(yīng)于i的A相對于B的特征向量。 性質(zhì)： 設(shè)l是相對于的A B-1的特征向量，則 A B-1l=l 或 A (B-1l)=B( B-1l) B-1l 為對應(yīng)的A相對于B的特征向量 （轉(zhuǎn)化為求A B-1的特征向量問題）。 設(shè)l是相對于的B-1/2AB-1/2的特征向量，則 B-1/2AB-1/2l=l 可得 A (B-1/2l)=B(B-1/2l) 則B-1/2l 為對應(yīng)的A相對于B的特征向量 （轉(zhuǎn)化為求B-1/2AB-1/2對稱陣的特征向量問題）。 五、向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 向量與矩陣的范數(shù)是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量范數(shù)。 1. 向量范數(shù)定義：設(shè)V為數(shù)域

8、F上的線性空間，若對于V的任一向量x，對應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù)x，并滿 足以下三個(gè)條件： （1）非負(fù)性 x?0，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立； （2）齊次性 ?x?x,?k,x?V; （3）三角不等式x?y?x?y,x,y?V。 則稱x為V中向量x的范數(shù)，簡稱為向量范數(shù)。定義了范數(shù)的線性空間定義稱為賦范線性空間。 例1. ? n x?C n ，它可表示成x?1?2?n? T ，?i?C， 2? x2?i? ?i?1? 就是一種范數(shù)，稱為歐氏范數(shù)或2-范數(shù)。 證明： 2? （i）非負(fù)性 x2?i? ?i?1? n ?0， x 2 當(dāng)且僅當(dāng)?i?0?i?1,2,?,n?時(shí)，即x0時(shí)， （ii）齊次性 ?2?

9、?x2?i? ?i?1? n 0 ?2? ?i? ?i?1? T n?x2 （iii）三角不等式 y?1 ?2?n? ，?i?C T x?y?1?1?2?2?n?n? x?y2?i?i i?12 n 2 ?i?i?i?i?2Re?i?i?i?i?2?i?i 222 ? 22 x?y2?x2?y2?2?i?i i?1 222 n ?x2?y2?x2?y2?2x2y2 2 2 2 根據(jù)H?lder不等式： ?p?aibi?ai?i?1?i?1? n n n ?q?11b?i?，p,q?1,?1,ai,bi?0 pq?i?1?n x ? 2 2?2? y2?i?i? ?i?1?i?1? n ?i?i

10、 i?1 n x?y2?x2?y2 ?2?n? T 2. 常用的向量范數(shù)（設(shè)向量為x?1 1-范數(shù)：x 1 ） ?i； i?1 1?i?n n -范數(shù)：x?max?i； p? P-范數(shù)：xp?i? （p>1, p=1, 2,?,）; ?i?1? n 2-范數(shù)：x2?xx ? H ? ; 橢圓范數(shù)(2-范數(shù)的推廣): x A ?xAx ? H ? ，A為Hermite正定陣. ?2?wi?i?i?1? n 加權(quán)范數(shù)： x w ， 當(dāng)A?W?diag?w1w2?wn?，wi?0 證明： x p 顯然滿足非負(fù)性和齊次性 ?2?n? T （iii）y?1 p? xp?i? ?i?1? n p?

11、x?yp?i?i ?i?1? p?1 p? yp?i? ?i?1?n p n nn ? x?y p ? p ?i?i?i?i i?1 i?1 ?i?i p?1 ?i?i i?1 n p?1 ?i?i?i i?1 n ?i 應(yīng)用H?lder不等式 ? ii?1n ii?1 n p?1 i ?p?1?q? ?i?i?i ? ?i?1?p?1?q?i?i?i ? i?1? n n p? ?i?i?1?p? ?i?i?1?n n ? p?1 i 11 ?1?p?1?q?p pq ? n ?i i?1 n ?p p? ?i?i?i1? n ?n ?i? 1 ?i? p ?i n 1i1 ?p ? ? p

12、?i?i ?i?1?p? ?i?i?1? p n p? ?i?i?1? n 即 x?yp?xp?y 3. 向量范數(shù)的等價(jià)性 定理 設(shè) 、? n 為的兩種向量范數(shù)，則必定存C? 在正數(shù)m、M，使得 mx?x?Mx?，（m、M與x 無關(guān)），稱此為向量范數(shù)的等價(jià)性。 同時(shí)有 注： （1）對某一向量X而言，如果它的某一種范數(shù)小（或大），那么它的其它范數(shù)也小（或大）。 （2）不同的向量范數(shù)可能大小不同，但在考慮向量序列的收斂性問題時(shí)，卻表現(xiàn)出明顯的一致性。 4、矩陣范數(shù) 向量范數(shù)的概念推廣到矩陣情況。因?yàn)橐粋€(gè)m m?nCn階矩陣可以看成一個(gè)mn維向量，所以中任何1x?xM?1xm? 一種向量范數(shù)都可以認(rèn)

13、為是mn階矩陣的矩陣范數(shù)。 m?nC1. 矩陣范數(shù)定義：設(shè)表示數(shù)域C上全體m?n 階矩陣的集合。若對于Cm?n中任一矩陣A，均對應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù)A，并滿足以下四個(gè)條件： （1）A?0 ，等號當(dāng)且僅當(dāng)A=0時(shí)成立； （2）齊次性：?A?A,?C; m?nA?B?A?B,A,B?C （3）三角不等式：,則稱 A為廣義矩陣范數(shù)； （4）相容性：AB?A?B,則稱A為矩陣范數(shù)。 5. 常用的矩陣范數(shù) （1）Frobenius范數(shù)（F-范數(shù)） F-范數(shù)： AF2?aij?i，j?1?n ? 矩陣和向量之間常以乘積的形式出現(xiàn)，因而需要考慮矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的協(xié)調(diào)性。 定義：如果矩陣范數(shù)A和向量范數(shù)x滿足 A

14、x?A?x 則稱這兩種范數(shù)是相容的。 給一種向量范數(shù)后，我們總可以找到一個(gè)矩陣范數(shù)與之相容。 （2）誘導(dǎo)范數(shù) 設(shè)ACmn，xCn , x為x的某種向量范數(shù)， 記 Ax A?x?1 則A是矩陣A 的且與x相容的矩陣范數(shù)，也稱之為 A的誘導(dǎo)范數(shù)或算子范數(shù)。 （3）p-范數(shù)： A?aij? A p ?max Axx p p ， ?2?n? T ,x為所有可能的向量，x?1m?n p ， ?xp?x ， p 1 Axp?A?x? ? p ?0? ? A p ?Ax xp?1 n A1?Ax1，x1?i?1，Ax1?aij?j x?1 i?1 nn i?1j?1 可以證明下列矩陣范數(shù)都是誘導(dǎo)范數(shù)： （1

15、） A1?max?aij 1?j?n i?1n 列（和）范數(shù)； A? 譜范數(shù)； （2 ）21?i?nAHA的最大特征值稱為AHA的譜半徑。 當(dāng)A是Hermite矩陣時(shí)，半徑。 A2?max?i(A)是 1?i?n A的譜 注：譜范數(shù)有許多良好的性質(zhì)，因而經(jīng)常用到。 A H ?A2; AA?A2 22 n H 2 （3）（ A ? ?max?aij 1?i?m j?1 p? ?i?i?1? n 行（和）范數(shù) ?max?i 1?i?n p? x ? ， 2? x2?i? ?i?1? n ） 定理 矩陣A的任意一種范數(shù)A是A的元素的連 續(xù)函數(shù)；矩陣A的任意兩種范數(shù)是等價(jià)的。 定理 設(shè)AC 即 Ax

16、證明：由于Ax22nn，xCn, 則AF和x2是相容的 ?AF?x2 ?A2?x2?AF?x2成立。 定理 設(shè)ACnn，則AF是酉不變的，即對于任意酉矩陣U,VCnn，有 A 證明： F?UAVF UAVF? ? ?AF 定義 設(shè)ACnn，A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜；特征值的模的最大值稱為A的譜半徑，記為(A)。 定理 (A)不大于A的任何一種誘導(dǎo)范數(shù)，即 (A)A 證明：設(shè)是A的任意特征值，x是相應(yīng)的特征向 量，即 Ax=x 則 |x|= |Ax|A|x|, |x|0 即 |A| 試證：設(shè)A是n階方陣，|A|是誘導(dǎo)范數(shù)，當(dāng)|A|<1時(shí)，I-A可逆，且有 |(I-A)-1|(

17、1-|A|)-1 證明： 若I-A不可逆，則齊次線性方程組 (I-A)x=0 有非零解x，即x=Ax，因而有 |x|=|Ax|A|x|<|x| 但這是不可能的，故I-A可逆。 于是 (I-A)-1= (I-A)+A (I-A)-1=I+A (I-A)-1 因此|(I-A)-1|I|+|A(I-A)-1|=1+|A(I-A)-1| 1+|A| (I-A)-1| 即證 |(I-A)-1|(1-|A|)-1 補(bǔ)充證明|I|=1： 由相容性可知： |A|A-1|A A-1|=|I| x?Ix?Ix?I?1 Ax) 對于誘導(dǎo)范數(shù)( A?x?1 I?Ix?1。 x?1 六、條件數(shù) 條件數(shù)對研究方程的

18、性態(tài)起著重要的作用。 定義：設(shè)矩陣A是可逆方陣，稱|A|A-1|為矩陣A的條件數(shù)，記為cond(A)，即 cond(A)= |A|A-1| 性質(zhì)： （1）cond(A) 1,并且A的條件數(shù)與所取的誘導(dǎo)范數(shù)的類型有關(guān)。 因cond(A)= |A|A-1|A A-1|=|I|=1 （2）cond(kA)= cond(A)=cond(A-1)，這里k為任意非零常數(shù)。 當(dāng)選用不用的范數(shù)時(shí)，就得到不同的條件數(shù)，如： cond1(A)= |A|1|A-1|1 cond(A)= |A|A-1| cond2(A)= |A|2|A|2 =-1?1,?n分別 為AHA的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數(shù) 特別地，如果A為可逆的Hermite矩陣，則有 ?1cond2(A)= ?n 這里?1,?n分別為A的特征值的模的最大值和最小值。 如果A為酉陣，則cond2(A)= 1 例 求矩陣A的條件數(shù)cond1(A)，cond(A) 5?2?1?A?210 ? ?3?82? 解： |A|1=max6;14;4=14; |A|=max8;3;13=14; ?262?1?1A?484? 4?132311? 故 |A-1|1=17/4; |A-1|=47/4; cond1(A)= |A|1|A-1|1=1417/4=259/2; cond(A)= |A|A-1|=611/4。 例