對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃

1、對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 對(duì)偶理論 一、原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題一、原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題 例例1、某廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)、某廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品分別兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品分別 需要在甲、乙丙三種不同的設(shè)備上加工，有關(guān)數(shù)據(jù)如表需要在甲、乙丙三種不同的設(shè)備上加工，有關(guān)數(shù)據(jù)如表3-14所示。所示。 問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃才能使利潤(rùn)最大？問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃才能使利潤(rùn)最大？ 45利潤(rùn)（元利潤(rùn)（元/件）件） 4511丙丙 8012乙乙 9031甲甲 有效臺(tái)時(shí)有效臺(tái)時(shí)BA 設(shè)備設(shè)備 產(chǎn)品產(chǎn)品 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 如果設(shè)如果設(shè)A、B兩種產(chǎn)品生產(chǎn)的件數(shù)分別為兩種產(chǎn)品生產(chǎn)的件數(shù)

2、分別為 ,則這個(gè)問(wèn)題則這個(gè)問(wèn)題 可以歸結(jié)為求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題：可以歸結(jié)為求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題： 0, 45 802 903 . 21 21 21 21 xx xx xx xx ts 21 45maxxxf xx 12 , 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 其對(duì)偶問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 設(shè)設(shè) 分別表示設(shè)備甲、乙、丙每臺(tái)時(shí)的價(jià)格（或分別表示設(shè)備甲、乙、丙每臺(tái)時(shí)的價(jià)格（或 租金）租金）,則則 yyy 123 , 0, 43 52 . 321 321 321 yyy yyy yyy ts mingyyy908045 123 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 例例2、每頭牲畜每日對(duì)各種維生素的需求量及飼料商提供的營(yíng)養(yǎng)每頭牲畜每日

3、對(duì)各種維生素的需求量及飼料商提供的營(yíng)養(yǎng) 飼料飼料M和和N中各種維生素含量及定價(jià)如下表所示，牧場(chǎng)主在保中各種維生素含量及定價(jià)如下表所示，牧場(chǎng)主在保 證牲畜維生素需求條件下，每日為每頭牲畜購(gòu)證牲畜維生素需求條件下，每日為每頭牲畜購(gòu)M、N各多少可各多少可 使總費(fèi)用最少？使總費(fèi)用最少？ MN 日需要量日需要量 A B C D 0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.1 0.4 0.6 2.0 1.7 定價(jià)定價(jià) 104 維生素維生素 營(yíng)養(yǎng)飼料營(yíng)養(yǎng)飼料 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 設(shè)每日每頭牲畜需營(yíng)養(yǎng)飼料設(shè)每日每頭牲畜需營(yíng)養(yǎng)飼料M、N分別為分別為 ，則該，則該 問(wèn)題的線性規(guī)劃模型為：?jiǎn)栴}的線性規(guī)劃

4、模型為： xx 12 , 0, 7 . 11 . 02 . 0 22 . 01 . 0 6 . 00.1 0.4 1 . 0 . . 410min 21 21 21 2 1 21 xx xx xx x x ts xxf 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 已知條件同上例，某藥品商想提供畜用維生素已知條件同上例，某藥品商想提供畜用維生素A、B、C、D 四種營(yíng)養(yǎng)藥品，在滿足牲畜營(yíng)養(yǎng)要求且可與飼料商競(jìng)爭(zhēng)條件四種營(yíng)養(yǎng)藥品，在滿足牲畜營(yíng)養(yǎng)要求且可與飼料商競(jìng)爭(zhēng)條件 下，四種藥品如何定價(jià)可使總收入最大下，四種藥品如何定價(jià)可使總收入最大？ 0, 41 . 02 . 01 . 0 102 . 01 . 0 1 . 0 .

5、. 7 . 126 . 04 . 0max 4321 432 431 4321 yyyy yyy yyy t s yyyyg 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 0, 45 802 903 . 21 21 21 21 xx xx xx xx ts 21 45maxxxf 0, 43 52 . 321 321 321 yyy yyy yyy ts mingyyy908045 123 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 0, 7 . 11 . 02 . 0 22 . 01 . 0 6 . 00.1 0.4 1 . 0 . . 410min 21 21 21 2 1 21 xx xx xx x x ts xxf 0, 41

6、 . 02 . 01 . 0 102 . 01 . 0 1 . 0 . . 7 . 126 . 04 . 0max 4321 432 431 4321 yyyy yyy yyy t s yyyyg 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 對(duì)稱的對(duì)偶問(wèn)題 原問(wèn)題原問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題 njx mibxa xcf j i n j jij n j jj , 2, 1, 0 , 2, 1, max 1 1 miy njcay ybg i j m i iji i m i i , 2 , 1, 0 , 2 , 1, min 1 1 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 對(duì)稱的對(duì)偶問(wèn)題 原問(wèn)題原問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題 0 max X bA

7、X CXf 0 min Y CYA Ybg 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 非對(duì)稱的對(duì)偶問(wèn)題 原問(wèn)題原問(wèn)題 對(duì)偶問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題 0 max X bAX CXf 無(wú)正負(fù)限制Y CYA Ybgmin 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 混合形式的對(duì)偶問(wèn)題混合形式的對(duì)偶問(wèn)題 無(wú)限制 321 321 321 321 321 , 0, 0 52 22 3 . 3225min xxx xxx xxx xxx ts xxxf 無(wú)限制 321 321 321 321 321 , 0, 0 3 22 252 . 523max yyy yyy yyy yyy ts yyyg 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的關(guān)系原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)

8、題的關(guān)系 原原問(wèn)問(wèn)題題（或或?qū)?duì)偶偶問(wèn)問(wèn)題題） 對(duì)對(duì)偶偶問(wèn)問(wèn)題題（或或原原問(wèn)問(wèn)題題） 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)形形式式 max f 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)形形式式 min g 約約 束束 條條 件件 m 個(gè)個(gè)約約束束 約約束束 約約束束 = 變變 量量 m 個(gè)個(gè)變變量量 變變量量 0 0 變變量量 0 0 無(wú)無(wú)正正負(fù)負(fù)限限制制 變變 量量 n 個(gè)個(gè)變變量量 變變量量 0 0 變變量量 0 0 無(wú)無(wú)正正負(fù)負(fù)限限制制 約約 束束 條條 件件 n 個(gè)個(gè)約約束束 約約束束 約約束束 = 約約束束方方程程右右端端項(xiàng)項(xiàng) 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)中中的的系系數(shù)數(shù) 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)中中的的系系數(shù)數(shù) 約約束束方方程程右右端端項(xiàng)項(xiàng) 對(duì)

9、偶理論第三章線性規(guī)劃 二、對(duì)偶問(wèn)題的基本性質(zhì)二、對(duì)偶問(wèn)題的基本性質(zhì) XY * 和 bYCX * XY * , gfYbCX，即 1.1.弱對(duì)偶性弱對(duì)偶性 若若X X和和Y Y分別是原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的任一可行解，則必有分別是原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的任一可行解，則必有 該性質(zhì)告訴我們，最大化問(wèn)題的任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值都是其對(duì)偶最小化該性質(zhì)告訴我們，最大化問(wèn)題的任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值都是其對(duì)偶最小化 問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的下界；而最小化問(wèn)題的任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值都是其對(duì)偶問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的下界；而最小化問(wèn)題的任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值都是其對(duì)偶 最大化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的上界。最大化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的上界。 2 2. .若若

10、分別為原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的可行解，且可行解對(duì)應(yīng)的原問(wèn)分別為原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的可行解，且可行解對(duì)應(yīng)的原問(wèn) 題和對(duì)偶問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值相等，即題和對(duì)偶問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值相等，即 ，則，則 分別為原問(wèn)分別為原問(wèn) 題和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。題和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。 3.3.無(wú)界性無(wú)界性 若原問(wèn)題（對(duì)偶問(wèn)題）的目標(biāo)函數(shù)無(wú)界，則其對(duì)偶問(wèn)題若原問(wèn)題（對(duì)偶問(wèn)題）的目標(biāo)函數(shù)無(wú)界，則其對(duì)偶問(wèn)題 （原問(wèn)題）必?zé)o可行解。（原問(wèn)題）必?zé)o可行解。 該性質(zhì)說(shuō)明，原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題之一無(wú)最優(yōu)解，則另一個(gè)也無(wú)最優(yōu)解。該性質(zhì)說(shuō)明，原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題之一無(wú)最優(yōu)解，則另一個(gè)也無(wú)最優(yōu)解。 4.4.對(duì)偶定理對(duì)偶定理 若原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題之一有最優(yōu)解，則另

11、一個(gè)也有最優(yōu)若原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題之一有最優(yōu)解，則另一個(gè)也有最優(yōu) 解，且兩者的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值相等。解，且兩者的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值相等。 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 11 , BCYbBX BB 則對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解為6.若原問(wèn)題的最優(yōu)解為若原問(wèn)題的最優(yōu)解為 。 5.若原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題同時(shí)有可行解，則他們必都有最優(yōu)解。若原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題同時(shí)有可行解，則他們必都有最優(yōu)解。 7. .根據(jù)原問(wèn)題最優(yōu)單純形表中的檢驗(yàn)數(shù)可以讀出對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。根據(jù)原問(wèn)題最優(yōu)單純形表中的檢驗(yàn)數(shù)可以讀出對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。 0, 45 802 903 . 21 21 21 21 xx xx xx xx ts 21 45maxxxf 0,

12、43 52 . 321 321 321 yyy yyy yyy ts min gyyy908045 123 例例1、 原問(wèn)題原問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 xj x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x3 x1 x2 0 0 1 2 -5 1 0 0 1 -1 0 1 0 -1 2 25 35 10 -f 0 0 0 -1 -3-215 xj x1 x2 x3 x4 x5 b x3 x4 x5 1 2 1 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 90 80 45 -f 5 4 0 0 00 初始單純形表初始單純形表 最優(yōu)單純形表最優(yōu)單純形表 原問(wèn)題原問(wèn)題 對(duì)偶理論第三

13、章線性規(guī)劃 y1 y2 y3 y4 y5B-1b y2 y3 -2 1 0 -1 1 5 0 1 1 -2 1 3 -g -25 0 0 -35 -10215 對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)單純形表：對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)單純形表： 綜上所述，一對(duì)對(duì)偶問(wèn)題的解必然是下列三種情況之一：綜上所述，一對(duì)對(duì)偶問(wèn)題的解必然是下列三種情況之一： 1.原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題都有最優(yōu)解，且最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值相等。原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題都有最優(yōu)解，且最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值相等。 3.原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題都無(wú)可行解。原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題都無(wú)可行解。 2.一個(gè)問(wèn)題具有無(wú)界解，則另一個(gè)問(wèn)題無(wú)可行解。一個(gè)問(wèn)題具有無(wú)界解，則另一個(gè)問(wèn)題無(wú)可行解。 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 例例3 已

14、知線性規(guī)劃問(wèn)題已知線性規(guī)劃問(wèn)題 0, 132 232 . 321 321 321 xxx xxx xxx ts 21 3maxxxf 試用對(duì)偶理論證明上述問(wèn)題無(wú)最優(yōu)解。試用對(duì)偶理論證明上述問(wèn)題無(wú)最優(yōu)解。 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 三、對(duì)偶解的經(jīng)濟(jì)涵義三、對(duì)偶解的經(jīng)濟(jì)涵義影子價(jià)格影子價(jià)格 0, 43 52 0, 45 802 903 458090min45max 321 321 321 21 21 21 21 32121 yyy yyy yyy xx xx xx xx yyygxxf 通過(guò)求解：原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解分別為通過(guò)求解：原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解分別為 215min, ) 3, 1 ,

15、0(),( 215max,)25,10,35(),( 321 321 gyyyy fxxxx TT 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 1.影子價(jià)格的定義影子價(jià)格的定義 對(duì)偶問(wèn)題是資源定價(jià)問(wèn)題，對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解對(duì)偶問(wèn)題是資源定價(jià)問(wèn)題，對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解y1、y2、.、 ym稱為稱為m種資源的影子價(jià)格（種資源的影子價(jià)格（Shadow Price）。）。 影子價(jià)格是指在最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，當(dāng)?shù)谟白觾r(jià)格是指在最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，當(dāng)?shù)?i 個(gè)約束條件的右個(gè)約束條件的右 端項(xiàng)端項(xiàng) bi 增加一個(gè)單位時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化量。增加一個(gè)單位時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化量。 由對(duì)偶定理可知由對(duì)偶定理可知，當(dāng)達(dá)到最優(yōu)解時(shí)，原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題的目當(dāng)達(dá)

16、到最優(yōu)解時(shí)，原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題的目 標(biāo)函數(shù)值相等，即有標(biāo)函數(shù)值相等，即有f *=CX*=Y*b=y1* b1+ y2* b2+ ym* bm 現(xiàn)考慮在最優(yōu)解處，右端項(xiàng)現(xiàn)考慮在最優(yōu)解處，右端項(xiàng)bi的微小變動(dòng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的微小變動(dòng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)值 的影響，由上式，將的影響，由上式，將f *對(duì)對(duì)bi求偏導(dǎo)數(shù)：求偏導(dǎo)數(shù)： ),.,2 , 1( * * miy b f i i 該式表明了，若原問(wèn)題的某一個(gè)約束條件的右端項(xiàng)該式表明了，若原問(wèn)題的某一個(gè)約束條件的右端項(xiàng)bi每增加每增加 一個(gè)單位，則由此引起的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的增加量，就等于一個(gè)單位，則由此引起的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的增加量，就等于 與該約束條件相對(duì)應(yīng)的對(duì)偶

17、變量的最優(yōu)解的值。與該約束條件相對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量的最優(yōu)解的值。 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 2.影子價(jià)格的求法影子價(jià)格的求法 例例4 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品對(duì)于原材料、勞動(dòng)力、某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品對(duì)于原材料、勞動(dòng)力、 電力的單位消耗系數(shù)，資源限量和單位產(chǎn)品價(jià)格如下表電力的單位消耗系數(shù)，資源限量和單位產(chǎn)品價(jià)格如下表 所示：所示： ABC 資源限量資源限量 原材料（原材料（kg） 勞動(dòng)力（人）勞動(dòng)力（人） 電力（度）電力（度） 2 6 5 2.5 1 5 4 8 10 320 640 750 單位價(jià)格（元）單位價(jià)格（元） 4610 資源資源 產(chǎn)品產(chǎn)品 1.求最佳生產(chǎn)方案使總產(chǎn)值最大。求最佳

18、生產(chǎn)方案使總產(chǎn)值最大。 2.求各資源的影子價(jià)格，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。求各資源的影子價(jià)格，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 0,0,0 7501055 64086 32045.22 . 1064max 321 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx ts xxxf xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 B-1b x2 x5 x3 0 1 0 2 0 -0.8 2 0 0 6 1 -3.2 1/2 0 1 -1 0 0.5 40 160 55 -f -1 0 0 -2 0 -0.2-790 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 3.影子價(jià)格的作用影子價(jià)格的作用 影子價(jià)格可以告

19、訴管理人員，增加哪一種資源對(duì)增加經(jīng)濟(jì)效益最有益。影子價(jià)格可以告訴管理人員，增加哪一種資源對(duì)增加經(jīng)濟(jì)效益最有益。 影子價(jià)格可以告訴管理人員，花多大的代價(jià)增加資源才是合算的。影子價(jià)格可以告訴管理人員，花多大的代價(jià)增加資源才是合算的。 影子價(jià)格在新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)決策中的應(yīng)用。影子價(jià)格在新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)決策中的應(yīng)用。 影子價(jià)格在資源購(gòu)銷決策中的應(yīng)用。影子價(jià)格在資源購(gòu)銷決策中的應(yīng)用。 利用影子價(jià)格分析工藝改變后對(duì)資源節(jié)約的收益。利用影子價(jià)格分析工藝改變后對(duì)資源節(jié)約的收益。 如在上例中，當(dāng)工藝改進(jìn)后，使原材料節(jié)約如在上例中，當(dāng)工藝改進(jìn)后，使原材料節(jié)約10%，則帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)效益，則帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)效益 為：為：2 320 10

20、%=64（元）（元） 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 在利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)計(jì)劃中在利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)計(jì)劃中 （1）邊際利潤(rùn)大于）邊際利潤(rùn)大于0的資源沒(méi)有剩余的資源沒(méi)有剩余 （2）有剩余的資源邊際利潤(rùn)等于）有剩余的資源邊際利潤(rùn)等于0 種資源的邊際利潤(rùn)第 種資源的增量第 最大利潤(rùn)的增量 i ib f y i i * * 關(guān)于影子價(jià)格的幾點(diǎn)說(shuō)明：關(guān)于影子價(jià)格的幾點(diǎn)說(shuō)明： 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 影子價(jià)格越大，說(shuō)明這種資源越是相對(duì)緊缺影子價(jià)格越大，說(shuō)明這種資源越是相對(duì)緊缺 影子價(jià)格越小，說(shuō)明這種資源相對(duì)不緊缺影子價(jià)格越小，說(shuō)明這種資源相對(duì)不緊缺 如果最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃下某種資源有剩余，這種資源的影如果最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃下某種

21、資源有剩余，這種資源的影 子價(jià)格一定等于子價(jià)格一定等于0 影子價(jià)格為影子價(jià)格為0，資源并不一定有剩余，資源并不一定有剩余 影子價(jià)格是資源最優(yōu)配置下資源的理想價(jià)格，資源的影子價(jià)格是資源最優(yōu)配置下資源的理想價(jià)格，資源的 影子價(jià)格與資源的緊缺度有關(guān)影子價(jià)格與資源的緊缺度有關(guān) 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 思路：思路：( (max型型) ) 單純形法：找基單純形法：找基B B，滿足，滿足B-1b 0，但檢驗(yàn)數(shù)但檢驗(yàn)數(shù) C - CBB-1 A不全不全 0。 迭代迭代保持保持B-1b 0，使使C -CBB-1 A 0。 對(duì)偶單純形法：找基對(duì)偶單純形法：找基B B，滿足，滿足C - CBB-1 A 0，但但 B-

22、1b不全不全 0。 迭代迭代 保持保持C -CBB-1 A 0，使使B-1b 0。 四、對(duì)偶單純形法四、對(duì)偶單純形法 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 例例1 1： max f =2x1 +x2 x1+ x2 + x3 = = 5 2x2 + x3 5 4x2 +6x3 9 x1 , x2 , x3 0 max f =2x1 +x2 x1+ x2 + x3 = = 5 2x2 + x3 +x4 = 5 -4x2 6x3 +x5 =-9 x1 x5 0 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 xj x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x1 x4 x5 1 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 -4 -6 0 1 5 5 -9 -f 0 -1 -2 0 0-10 2 1 0 0 0 0 2 0 0 x1 x4 x2 1 0 -1/2 0 1/4 0 0 -2 1 -1/2 0 1 3/2 0 -1/4 11/4 1/2 9/4 -f 0 0 -1/2 0 -1/4-31/4 2 0 1 對(duì)偶理論第三章線性規(guī)劃 例例2. 0, 12 423 32 3min 21 21 21 21 21 xx xx xx xx xxf 0, 12 423 32 3max 54321 521 421 321 21 xxxxx xxx xxx xxx xxf 0, 12 423 3