復變函數(shù)留數(shù)和留數(shù)定理[教師教材]

1、5-2 留數(shù)和留數(shù)定理 一一 、留數(shù)的定義和計算 、留數(shù)的定義和計算 二、二、 留數(shù)定理留數(shù)定理 三三* *、函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)、函數(shù)在無窮遠點的留數(shù) 1青苗輔導 0 1 010 )()()(czzczzczf n n C 0 z )(zf 設(shè)設(shè)為為的一個孤立奇點的一個孤立奇點; 內(nèi)的內(nèi)的 Laurent 級數(shù)級數(shù):)(zfRzz 0 0在在 n n zzczzc)()( 001 0 z . 的某去心鄰域的某去心鄰域 0 zRzz 0 0 包含包含 0 z的任一條正向簡單閉曲線的任一條正向簡單閉曲線C. 一一 、留數(shù)的定義和計算 、留數(shù)的定義和計算 2青苗輔導 1 2 ic zzzczzzc

2、zc n C n CC d)(d )(d 0010 CC n n zzzczzzcd)(d)( 1 010 C zzfd)(積分積分 0 (高階導數(shù)公式高階導數(shù)公式) i 2 的的系系數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù)中中負負冪冪項項 1 01 )( zzcLaurent 0 ( (柯西積分定理柯西積分定理) ) 3青苗輔導 zzf i c C d )( 2 1 1 即即),(Res 0 zzf 0 ( )f zz在的留數(shù) 1. 定義定義 記作記作.),(Res 0 zzf 級級數(shù)數(shù)中中負負域域內(nèi)內(nèi)的的 Laurent.)( 1 01 的的系系數(shù)數(shù)冪冪項項 zzc 為為中中心心的的圓圓環(huán)環(huán)在在即即 0 )(zzf

3、包含包含 0 z的的 任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C 的積分的積分 C zzfd)(的值的值 i 2 后所得的數(shù)后所得的數(shù)以以 )( 0 zfz 為為函函數(shù)數(shù)的一個孤立奇點的一個孤立奇點, , 如果如果 (Residue) 則沿則沿 Rzzz 00 0的的某某個個去去心心鄰鄰域域內(nèi)，內(nèi)， 除除 .)( 0的 的留留數(shù)數(shù)在在zzf稱為稱為 4青苗輔導 2. 計算留數(shù)的一般公式計算留數(shù)的一般公式 由由Laurent級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理, 定義留數(shù)的積分值是定義留數(shù)的積分值是f(z)在環(huán)在環(huán) 域域 內(nèi)內(nèi)Laurent級數(shù)的負一次冪系數(shù)級數(shù)的負一次冪系數(shù)c-1 0 0zz 10 ),(R

4、e czzfs (1)(1)若若z0為函數(shù)為函數(shù)f(z) 的可去奇點的可去奇點, (負冪項的項數(shù)為零負冪項的項數(shù)為零 個個), 則它在點則它在點z0的留數(shù)為零的留數(shù)為零. 注：注：當當z0為為f(z)=g(z-z0) 的孤立奇點時的孤立奇點時,若若 為偶為偶 函數(shù)函數(shù), 則則f(z)在點在點z0的去心鄰域內(nèi)的去心鄰域內(nèi)Laurent級數(shù)只含級數(shù)只含 z-z0的偶次冪的偶次冪, 其奇次冪系數(shù)都為其奇次冪系數(shù)都為0, 得得 g 0),(Re 0 zzfs dzzf i C 2 1 5青苗輔導 0 00 ( ),lim()( ).Res zz f zzzzf z 如果如果 為為 的一級極點的一級極點

5、, 那么那么 0 z)(zf規(guī)則規(guī)則1 1 成成Laurent級數(shù)求級數(shù)求. 1 c (2) 如果如果 0 z為為的本性奇點的本性奇點, )(zf (3) 如果如果 0 z為為 的極點的極點, 則有如下計算規(guī)則則有如下計算規(guī)則)(zf )(zf展開展開則需將則需將 6青苗輔導 規(guī)則規(guī)則2 2 若 若z0為為f(z) 的的m級極點級極點, 則對任意整數(shù)則對任意整數(shù) 有有mn )()(lim )!1( 1 ),(Re 0 1 1 0 0 zfzz dz d n zzfs n n n zz 說明說明 將函數(shù)的零階導數(shù)看作它本身 將函數(shù)的零階導數(shù)看作它本身, 規(guī)則規(guī)則1可看作可看作 規(guī)則規(guī)則2當當n=

6、m=1時的特殊情形時的特殊情形, 且規(guī)則且規(guī)則2可取可取m=1. 7青苗輔導 規(guī)則規(guī)則3 3 如果如果,0)(,0)(,0)( 000 zQzQzP 設(shè)設(shè), )( )( )( zQ zP zf )(zP及及)(zQ在在 0 z都解析，都解析， 那么那么 0 z為為 的一級極點的一級極點, )(zf . )( )( ),(Res 0 0 0 zQ zP zzf 且有且有 8青苗輔導 0 z所所以以為為 的一級極點的一級極點,)(zf )()(lim),(Res 00 0 zfzzzzf zz 0 0) ()( )( lim 0 zz zQzQ zP zz . )( )( 0 0 zQ zP 0

7、z所所以以的一級零點的一級零點,為為)(zQ )( 1 zQ 0 z 的一級極點，的一級極點，為為0)( 0 zP 證證0)(,0)( 00 zQzQ因因為為 9青苗輔導 3.3.典型例題典型例題 例例1 求求 n z z e zf )(在在0 z的留數(shù)的留數(shù). 解解階極點，階極點，的的是是因為因為nzfz)(0 0 ,Res n z z e 所以所以 . )!1( 1 n n z n n n z z e z zn 1 1 0d d lim )!1( 1 10青苗輔導 例例2 求求 6 sin )( )( )( z zz zQ zP zf 在在0 z的留數(shù)的留數(shù). 分析分析,0)0()0()0

8、( PPP .0)0( P 0 z是是zzsin 的三級零點的三級零點 由規(guī)則由規(guī)則2得得 . sin d d lim )!13( 1 0),(Res 6 3 2 2 0 z zz z z zf z 的三級極點，的三級極點，是是所以所以)(0zfz 計算較麻煩計算較麻煩. 11青苗輔導 如果利用如果利用Laurent展開式求展開式求 1 c較方便較方便: ! 5! 3 1sin 53 66 zz zz zz zz . ! 5 1 0 , sin Res 16 c z zz , !5!3 13 zz 解解 12青苗輔導 注意注意: : 0 z 如如 為為 m 級極點，當級極點，當 m 較大而導數(shù)

9、又難以計算時較大而導數(shù)又難以計算時, 可直接展開可直接展開Laurent級數(shù)求級數(shù)求 1 c來計算留數(shù)來計算留數(shù) . 6 6 5 5 0 sin d d lim )!16( 1 0),(Res z zz z z zf z . ! 5 1 2. 在應用規(guī)則在應用規(guī)則2時時, 取得比實際的級數(shù)高取得比實際的級數(shù)高. 級數(shù)高反而使計算方便級數(shù)高反而使計算方便. 6 m 1. 在實際計算中應靈活運用計算規(guī)則在實際計算中應靈活運用計算規(guī)則. 為了計算方便一般不要將為了計算方便一般不要將m 但有時把但有時把m取得比實際的取得比實際的 如上例取如上例取 13青苗輔導 例例3 3求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù)求下

10、列函數(shù)在指定點處的留數(shù) (1) , ;(1) , ; 5 1 ) 1()(zezf z 0 0 z 解解： 是函數(shù)是函數(shù) 的一級零點的一級零點, , 0 0 z1 z e 又是函數(shù)又是函數(shù) 的五級零點的五級零點. . 5 z 于是它是于是它是 的四級極點的四級極點, ,)( 1 zf 24m 5n ! 4 1 ) 1(lim ! 4 1 0),(Res 4 4 0 1 z z e dz d zf 可用規(guī)則可用規(guī)則 計算其留數(shù)計算其留數(shù), ,其中其中 , ,為了計算簡便為了計算簡便 應當取其中應當取其中 , ,這時有這時有 14青苗輔導 另解：另解： 在點在點 的去心鄰域的去心鄰域 內(nèi)的內(nèi)的 L

11、aurent級數(shù)為級數(shù)為 , , 其中其中 的項的系數(shù)為的項的系數(shù)為 , ,從而也有從而也有 . . )( 1 zf0 0 z z0 4n ! 41 1 c ! 410),(Res 11 czf 例例3 3求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù)求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù) (1) , ;(1) , ; 5 1 ) 1()(zezf z 0 0 z 1 ! 6! 5! 4! 3! 2 1 11 65432 55 zzzzz z zz ez , ! 6! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 11 234 z zzzz 15青苗輔導 (2) , ; (2) , ; 2( ) sin(1 )fzz 0 0 z

12、解解： 在點在點 的去心鄰域的去心鄰域 內(nèi)的內(nèi)的 LaurentLaurent級數(shù)為級數(shù)為 0 0 z 2( ) fz z0 0 12 )!12( ) 1(1 sin n nn n z z 顯然顯然 為它的本性奇點為它的本性奇點, ,其中其中 的項的系的項的系 數(shù)為數(shù)為 , ,于是得于是得 0 0 z0n 1 1 c 10 ,1sinRes 1 cz 16青苗輔導 (3) , . (3) , . 2 3( ) sinfzzz 0 0 z 解解：顯然：顯然 是是 的一級極點的一級極點; ;可是可是 不能用規(guī)則不能用規(guī)則 求其留數(shù)求其留數(shù), ,由規(guī)則由規(guī)則 得得 0 0 z 2 3( ) sinf

13、zzz 3 1 22 3 0 0 0 ( ),0lim(sin) lim(22sin cos ) 1 lim1 cos2 Res (LHospital) z z z fzzz zzz z 法則 17青苗輔導 思考：思考：有關(guān)因式分解問題？有關(guān)因式分解問題？ 31)3)(1( 2 z B z A zz z 1 3 2 z z z A )3)(1( 2 )1(lim 1 zz z z z 22 )3(31)3)(1( 2 z C z B z A zz z 1. 2. 3 1 2 z z z B 2 2 3 )3)(1( 2 )3(lim zz z z z 18青苗輔導 二、留數(shù)定理二、留數(shù)定理 定

14、理定理1 若函數(shù)若函數(shù)f(z)在正向簡單閉曲線在正向簡單閉曲線C上處處解析，上處處解析， 在在C的內(nèi)部除有限個孤立奇點的內(nèi)部除有限個孤立奇點z1,z2,zn外解析，外解析， 則有則有 C n k k zzfsidzzf 1 ),(Re2)( 留數(shù)概念的重要性在于下面的留數(shù)定理留數(shù)概念的重要性在于下面的留數(shù)定理. 它使它使 得一些積分的計算變得十分容易得一些積分的計算變得十分容易. 19青苗輔導 例例4. 4. 計算下列積分計算下列積分(1) (1) 2 2 1 ) 1( I z z zz dze 解解：被積函數(shù)：被積函數(shù) 的奇點的奇點 和和 都在圓都在圓 的內(nèi)部的內(nèi)部, ,由規(guī)則由規(guī)則1,21

15、,2可得以下結(jié)果可得以下結(jié)果 ; ; 于是由留數(shù)定理得積分值為于是由留數(shù)定理得積分值為 2 1( ) (1) z f zez z 0z1z 2z 1 ( ),01Res f z 1 ( ),10Res f z ii201 2I1 20青苗輔導 (2) (2) 2 22 sin 2 ) 1( I z z zz dze 解解： 在圓在圓 的內(nèi)部有一的內(nèi)部有一 個二級極點個二級極點 和兩個一級極點和兩個一級極點 , , ) 1()( 22sin 2 zzezf z 2z 0ziz 于是利用留數(shù)的計算規(guī)則于是利用留數(shù)的計算規(guī)則 和和 得得2 1 1) 1 2 (cos 1 lim ) 1 (lim0)

16、,(Res 22 sin 0 2 sin 0 2 z z z z e z e zf z z z z 2 i ) 1( ) i(lim i),(Res 1ish 22 sin i 2 e zz e zzf z z 1 2 1 2 sin 1 ish ee ii ee i i ii i 21青苗輔導 (2) (2) 2 22 sin 2 ) 1( I z z zz dze 1ish-sin(-i) 2 sin i 22 sin i 2 2 i - 2i 1 )( lim ) 1( ) i(lim i),(Res ee izz e zz e zzf z z z z 最后由留數(shù)定理得積分值為最后由留數(shù)

17、定理得積分值為 )1shsin(1 2 )( i 2 1 1 2I 1ish-1ish 2 i eei 22青苗輔導 例例5 計算積分計算積分 C z z z ,d 1 4 C為正向圓周為正向圓周:.2 z 解解 被積函數(shù)被積函數(shù) 1 4 z z 有四個一級極點有四個一級極點i ,1都都 在圓周在圓周2 z的內(nèi)部的內(nèi)部 , 所以所以 C z z z d 1 4 1),(Res1),(Res2 zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由規(guī)則由規(guī)則3 , 4 1 4)( )( 23 zz z zQ zP C z z z d 1 4 .0 4 1 4 1 4 1 4 1 2 i 23青苗輔

18、導 例例6 計算積分計算積分 C dz zzz z , )3)(1( 2 3 C為正向圓周為正向圓周 :.2 z 解解 除除 , 0 z )3)(1( 2 )( 3 zzz z zf被積函數(shù)被積函數(shù) 點外點外, 無其他奇點，無其他奇點，3,13 z 在圓外。在圓外。 1),(Res0),(Res2zfzfi 所以所以 C dz zzz z )3)(1( 2 3 24青苗輔導 )3)(1( 2 )1(lim1),(Res 3 1 zzz z zzf z 2 1 )3)(1( 2 lim 2 1 0),(Res 0 zz z zf z 因此因此 iidz zzz z C 27 ) 2 1 27 14 (2 )3)(1( 2 3 3 1 1 1 lim 4 1 0 zz z )3( 1 )1( 1 lim 2 1 33 0 zz z 27 14 25青苗輔導 1 1 若若z0為函數(shù)為函數(shù)f(z) 的的可去奇點可去奇點，(負冪項的項數(shù)為零負冪項的項數(shù)為零 個個)，