第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分

1、2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分1 第十一講 優(yōu)化、數(shù)值積分 與常微分方程數(shù)值解 2021-7-17 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分2 第十一講 優(yōu)化、數(shù)值積分 與常微分方程數(shù)值解 11.1 無約束優(yōu)化 11.2 約束線性優(yōu)化 11.3 二次規(guī)劃 11.4 非線性方程求解 11.5 數(shù)值積分的理論和方法 11.6 數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) 11.7 常微分方程數(shù)值解 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分3 11.1 無約束優(yōu)化 形如：min f(x), x=(x1,xn)T 的優(yōu)化問題常稱為無約束線性規(guī)劃，實(shí) 際上是多元函數(shù)的無條件極值問題，極 值的點(diǎn)是局部最優(yōu)解，全局

2、最優(yōu)解只能 從局部最優(yōu)解中比較得到，以下所謂最 優(yōu)解均指局部最優(yōu)解 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分4 11.1 無約束優(yōu)化 1. fminbnd 功能：計(jì)算非線性一元函數(shù)最小值。 格式： X,FVAL = fminbnd(fun,x1,x2) 例：計(jì)算函數(shù)f(x)=(x3+x2- 1)/(exp(x)+exp(-x)的最小值和最小值點(diǎn)， -5=x fun=(x3+x2-1)/(exp(x)+exp(-x); ezplot(fun) x,fval,exitflag=fminbnd(fun,-5,5) x = -3.3112 fval = -0.9594 exitflag = 1 202

3、1-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分6 11.1 無約束優(yōu)化 2. fminsearch 功能：計(jì)算多元函數(shù)最小值。 格式：X = fminsearch(fun,X0); X,fval,exitflag= fminsearch(.) 例：求點(diǎn)(x1,x2)使目標(biāo)函數(shù)f(x)取得最小 值： f(x)=sin(x1)+cos(x2) 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分7 11.1 無約束優(yōu)化 x0=0,0; fun=sin(x(1)+cos(x(2); x,fval,exitflag=fminsearch(fun,x0) x = -1.5708 3.1416 fval = -2.0000 ex

4、itflag = 1 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分8 11.2 約束線性優(yōu)化 約束優(yōu)化即為含有一定條件的優(yōu)化問題， 其一般形式為 若f,gi是線性函數(shù)，則稱此模型為線性規(guī) 劃，否則稱為非線性規(guī)劃。 12 min( ),( ,.,) . .( )0 T n x i zf xxx xx stg x 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分9 11.2 約束線性優(yōu)化 linprog 功能：約束線性優(yōu)化。 格式：X= linprog(f,A,b,Aeq,beq) X= linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 這里，由Aeq與beq 確定了等式約束，LB， UB確定了x的范

5、圍，x0為初值。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分10 11.2 約束線性優(yōu)化 例：Min 5x1+4x2+2x3 S.t 6x1-x2+3x3=8 x1+2x2+4x3=10 -1=x1=3 0=x2=0 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分11 11.2 約束線性優(yōu)化 clear f=-5 4 2; A=6 -1 1;1 2 4; b=8;10; lb=-1 0 0; ub=3,2; 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分12 11.2 約束線性優(yōu)化 x,f=linprog(f,A,b,lb,ub) Optimization terminated. x = 1.3333 0.

6、0000 0.000 f = -6.6667 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分13 11.3 二次規(guī)劃 對(duì)于非線性規(guī)劃，常見的是二次規(guī) 劃，其一般模型為： min f(x)= 0.5 xTHx+cx s.t. AX b 特別，當(dāng)H為正定矩陣時(shí)，目標(biāo)函數(shù) 為凸函數(shù)，線性約束下可行域?yàn)橥?集，此時(shí)稱凸二次規(guī)劃。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分14 11.3 二次規(guī)劃 1. quadprog 功能：求解二次規(guī)劃問題 格式：X= quadprog(H,f,A,b) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,

7、UB) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0) 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分15 11.3 二次規(guī)劃 例： 11 12 22 12 12 12 12 11 1 min( )()26 122 . 2 22 23 ,0 xx f xxx xx S t xx xx xx x x 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分16 11.3 二次規(guī)劃 h=1 -1;-1 2; c=-2;-6; a=1 1;-1 2;2 1; b=2;2;3; lb=0 0; x,f=quadprog(h,c,a,b,lb) x =0.6667 1.3333 f =-8.222

8、2 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分17 11.4 非線性方程求解 1.fzero 功能：求非線性方程的近似解 格式：x=fzero(f,x0) X,FVAL= fzero(f,.) 例： x,f=fzero(sin,2) x =3.1416 f =1.2246e-016 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分18 11.4 非線性方程求解 2.fsolve 功能：求非線性方程的近似解 格式：x=fsolve(f,x0) X,FVAL=fsolve(f,X0,.) 例： x,f=fsolve(cos(x)+x,1) x =-0.7391 f =-2.8460e-010 2021-7-

9、17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分19 11.5數(shù)值積分的理論和方法 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分20 11.5數(shù)值積分的理論和方法 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分21 11.5數(shù)值積分的理論和方法 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分22 11.5數(shù)值積分的理論和方法 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分23 11.5數(shù)值積分的理論和方法 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分24 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) 函數(shù)1 quad、quadl 功能 數(shù)值定積分，自適應(yīng)Simpleson積 分法。 格式 %近似地從a到b 計(jì)算函數(shù)fun的數(shù)值積分，誤差為10-6。

10、若給fun輸入向量x，應(yīng)返回向量y，即 fun是一單值函數(shù)。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分25 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) %用指定的絕對(duì)誤 差tol代替缺省誤差。tol越大，函數(shù)計(jì)算 的次數(shù)越少，速度越快，但結(jié)果精度變 小。 % 將可選參數(shù)p1,p2,等傳遞給函數(shù) fun(x,p1,p2,)，再作數(shù)值積分。若tol= 或trace= ，則用缺省值進(jìn)行計(jì)算。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分26 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) q,n = quad(fun,a,b,) %同時(shí)返回函數(shù) 計(jì)算的次數(shù)n = quadl(fun,a,b,) %用高精度進(jìn)行計(jì) 算，效率可

11、能比quad更好。 例2-40 fun = inline(3*x.2./(x.3- 2*x.2+3); Q1 = quad(fun,0,2) % Q1=3.7224 Q2 = quadl(fun,0,2) % Q2=3.7224 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分27 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) 函數(shù)2 功能 梯形法數(shù)值積分 格式 %用等距梯形法近 似計(jì)算Y的積分。若Y是一向量，則 trapz(Y)為Y的積分；若Y是一矩陣，則 trapz(Y)為Y的每一列的積分。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分28 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) %用梯形法計(jì)算Y在X點(diǎn) 上的積分。

12、若X為一列向量，Y為矩陣， 且size(Y,1) = length(X)，則對(duì)Y的每一列 積分。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分29 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) 2 函數(shù) dblquad 功能 矩形區(qū)域上的二重積分的數(shù)值計(jì)算 格式 %調(diào)用函數(shù)quad在區(qū)域xmin,xmax, ymin,ymax上計(jì)算二元函數(shù)z=f(x,y)的二 重積分。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分30 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) 用指定的精度tol代替缺省精度10-6，再進(jìn) 行計(jì)算。 %用指定的算法method代替缺省算法 quad。method的取值有quadl。 2021-7-17

13、第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分31 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,) %將可選參數(shù)p1,p2,.等傳遞給函數(shù) fun(x,y,p1,p2,)。若tol=，method=，則使 用缺省精度和算法quad。 如：fun = inline(y./sin(x)+x.*exp(y); Q = dblquad(fun,1,3,5,7) 計(jì)算結(jié)果為：Q = 3.8319e+003 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分32 11.6數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn) %用指定的算法method代替缺省算法。 met

14、hod的取值有缺省算法或用戶指定的、 與缺省命令有相同調(diào)用次序的函數(shù)句柄。 %將可選參數(shù)p1,p2,.等傳遞給函數(shù) fun(x,y,p1,p2,)。若tol=，method=， 則使用缺省精度和算法。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分33 11.7 常微分方程數(shù)值解 函數(shù) 功能 常微分方程（ODE）組初值問題的數(shù)值 解 參數(shù)說明： solver為命令ode45、de23,ode113,ode15s,ode23s, ode23t, ode23tb之一。 Odefun 為顯式常微分方程y=f(t,y)。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分34 11.7 常微分方程數(shù)值解 積 分 區(qū)

15、間 （ 即 求 解 區(qū) 間 ） 的 向 量 tspan=t0,tf。要獲得問題在其他指定時(shí)間點(diǎn) t0,t1,t2,上的解，則令tspan=t0,t1,t2,tf（要 求是單調(diào)的）。 包含初始條件的向量。 用命令odeset設(shè)置的可選積分參數(shù)。 傳遞給函數(shù)odefun的可選參數(shù)。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分35 11.7 常微分方程數(shù)值解 格式 %在區(qū)間 tspan=t0,tf上，從t0到tf，用初始條件y0求解顯 式微分方程y=f(t,y)。對(duì)于標(biāo)量t與列向量y， 函數(shù)f=odefun(t,y)必須返回一f(t,y)的列向量f。 解矩陣Y中的每一行對(duì)應(yīng)于返回的時(shí)間列向量T 中的一

16、個(gè)時(shí)間點(diǎn)。要獲得問題在其他指定時(shí)間 點(diǎn)t0,t1,t2,上的解，則令tspan=t0,t1,t2,tf （要求是單調(diào)的）。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分36 11.7 常微分方程數(shù)值解 %用參 數(shù)options（用命令odeset生成）設(shè)置的屬性 （代替了缺省的積分參數(shù)），再進(jìn)行操作。常 用的屬性包括相對(duì)誤差值RelTol（缺省值為1e- 3）與絕對(duì)誤差向量AbsTol（缺省值為每一元 素為1e-6）。 將參數(shù)p1,p2,p3,.等傳遞給函數(shù)odefun，再進(jìn)行 計(jì)算。若沒有參數(shù)設(shè)置，則令options=。 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分37 11.7 常微分方程數(shù)值解

17、1求解具體ODE的基本過程： （1）根據(jù)問題所屬學(xué)科中的規(guī)律、定律、 公式，用微分方程與初始條件進(jìn)行描述。 F(y,y,y,y(n),t) = 0 y(0)=y0,y(0)=y1,y(n-1)(0)=yn-1 而y=y;y(1);y(2);,y(m-1)，n與m可以 不等 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分38 11.7 常微分方程數(shù)值解 （2）運(yùn)用數(shù)學(xué)中的變量替換：yn=y(n-1),yn- 1=y(n-2),y2=y,y1=y，把高階（大于2階） 的方程（組）寫成一階微分方程組： ， )y, t (f )y, t (f )y, t (f y y y y n 2 1 n 2 1 n 1

18、 0 n 2 1 0 y y y )0(y )0(y )0(y y 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分39 11.7 常微分方程數(shù)值解 （3）根據(jù)（1）與（2）的結(jié)果，編寫能計(jì) 算導(dǎo)數(shù)的M-函數(shù)文件odefile。 （4）將文件odefile與初始條件傳遞給求解 器Solver中的一個(gè)，運(yùn)行后就可得到ODE的、 在指定時(shí)間區(qū)間上的解列向量y（其中包含y 及不同階的導(dǎo)數(shù)）。 2求解器Solver與方程組的關(guān)系表見下 表 2021-7-17第十一講優(yōu)化與數(shù)值積分40 函數(shù)指令函數(shù)指令含含 義義函函 數(shù)數(shù)含含 義義 求求 解解 器器 Solver ode23 普通普通2-3階法解階法解 ODE odefile包含包含ODE的文件的文件 ode23 s 低階法解剛性低階法解剛性 ODE 選選 項(xiàng)項(xiàng) odeset 創(chuàng)建、更改創(chuàng)建、更改Solver選選 項(xiàng)項(xiàng) ode23 t 解 適 度 剛 性解 適 度 剛 性 ODE odeget讀取讀取Solver的設(shè)置值的設(shè)置值 ode23 tb 低階法解剛性低階法解剛性 ODE 輸輸 出