2020中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類匯編專題3：二次函數(shù)與線段及其最值問題

1、專題：二次函數(shù)中的線段問題(含最值問題)1. 如圖，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于點(diǎn)A，B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y x2經(jīng)過點(diǎn)A、C.拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸為直線l.(1) 求拋物線的表達(dá)式、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)及對(duì)稱軸l；(2) 設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，且AECE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3) 設(shè)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得GDGB的值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(4) 在直線l上是否存在一點(diǎn)F，使得BCF的周長最小，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及BCF周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(5) 點(diǎn)S為y軸上任意一點(diǎn)，K為直線AC上一點(diǎn)，連接BS，BK，是否存在點(diǎn)S

2、，K使得BSK的周長最小，若存在，求出S，K的坐標(biāo)，并求出BSK周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(6) 在y軸上是否存在一點(diǎn)S，使得SDSB的值最大，若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(7) 若點(diǎn)H是拋物線上位于AC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)H作y軸的平行線，交AC于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，線段HKd.求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；求d的最大值及此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)2. 如圖，拋物線yx22x3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D（m，0）為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，O不重合），過點(diǎn)D作x軸的垂線與線段AC交于點(diǎn)P，與拋物線交于點(diǎn)Q，連接BP，與y軸交于點(diǎn)E.（1）求A

3、，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長；（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，探究下列問題： 是否存在一點(diǎn)D，使得PQPC取得最大值？若存在，求此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由； 連接CQ，當(dāng)線段PECQ時(shí)，直接寫出m的值.3. 如圖，直線yx1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線AB的另一交點(diǎn)為C（4，n）.（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0t4），過點(diǎn)P作PDAB交直線AB于點(diǎn)D，作PEy軸交直線AB于點(diǎn)E.求線段PD的長的最大值；當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D為BE的中點(diǎn).4. 已知拋物線yax2bx2經(jīng)過A

4、（1，0），B（2，0），C三點(diǎn).直線ymx交拋物線于A，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上直線AQ上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFx軸，垂足為點(diǎn)F，交AQ于點(diǎn)N.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PN2NF時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使CMG的周長最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案1.(1)解：對(duì)于直線y x2，令y0，得x4，令x0，得y2，點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)C(0，2)，拋物線的解析式為y= -x2+x-2頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為( ， )，對(duì)稱軸l為直線x （2） 要

5、求點(diǎn)E的坐標(biāo)，已知AECE，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(e，0)，用含e的式子分別表示出AE和CE，建立等量關(guān)系求解即可點(diǎn)E的坐標(biāo)為( ，0)（3） 要使GDGB的值最小，一般是通過軸對(duì)稱作出對(duì)稱點(diǎn)來解決 解：存在如解圖，要使GDGB的值最小，取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)連接BD，直線BD與y軸的交點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0， )；（4） 要使BCF周長最小，BC長為定值，即要使CFBF的值最小BCF周長的最小值為BCAC3 5 ；（5） 要求BSK周長的最小值，可分別作點(diǎn)B關(guān)于y軸和直線AC的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)B、B，連接BB與y軸和直線AC交點(diǎn)即為使得BSK的周長最小的點(diǎn)S、K，最小

6、值即線段BB的長存在點(diǎn)S(0，- )，點(diǎn)K(1， - )使得BSK的周長最小，最小值為4；（6） 當(dāng)點(diǎn)S在DB的延長線上時(shí)，SDSB最大，最大值為BD，即當(dāng)點(diǎn)S的坐標(biāo)為(0，- )時(shí)，SDSB的值最大；（7） 平行于y軸的直線上兩點(diǎn)之間的距離為此兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，如此問，由題可得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，求出點(diǎn)H，K的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)H在點(diǎn)K的上方，可得到d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得d的最大值及H點(diǎn)的坐標(biāo)（1）d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式為d h22h；（2）當(dāng)h2時(shí)，d最大，最大值為2，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2，1)2. 解：(1)在yx22x3中，令y0，得x22x30，解得x

7、13，x21.點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，A(3，0)，B(1，0)令x0，得y3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)；(2)設(shè)直線AC的表達(dá)式為ykxb.將A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)(3，0)，(0，3)代入表達(dá)式，得解得直線AC的表達(dá)式為yx3.(4分)點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，ODOA，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)m.PQx軸，把m分別代入yx3和yx22x3，得P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)、(，)，DQOA，PQDQDPyQyP.PQ；(3)存在點(diǎn)D，使得PQPC取得最大值理由：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，PQx軸，且點(diǎn)P，Q分別在直線AC和拋物線上，P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(m，m3)，(m，m22m3)DQOA，PQDQDPyQyP，PQm22m3

8、(m3)m23m.如解圖，過點(diǎn)P作PFy軸于點(diǎn)F，則PFm.在RtAOC中，OAOC3，CAOOCA45.sinOCA.PFPCPQPCm23mmm24m(m2)24，PQPC是m的二次函數(shù)，其中a10，而3m0.當(dāng)m2時(shí)，PQPC取得最大值；m1或m.【解法提示】PFEBOE，.PFm，OFm3，OB1，EFmOE.OFEFOE，m3(m1)OE，則OE，EF，又CQPE，PQCE，|yQyC|yPyE|EF.|yQyC|m22m33|m22m|，|m22m|.又3m0，解得m1或m.3. 解：(1)把x4，yn代入yx1中，得n412點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，2)將點(diǎn)C(4，2)和點(diǎn)B(0，1)代

9、入yx2bxc，得解得拋物線的表達(dá)式為yx2x1；(2)PEt2t1(t1)t22t，如解圖，過點(diǎn)E作QEy軸于點(diǎn)Q，則QEt，QB1t1t，BEtPEy軸，PEBEBQ，BQEPDE90，PEDEBQ，得，PDt2t.0，PD有最大值，PD最大；點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)，由，DEBE，得BE2PEQB，代入得(t)2(t22t)t，整理得t，解得t，當(dāng)t時(shí)，點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)4. 解：(1)拋物線yax2bx2經(jīng)過A(1，0)，B(2，0)，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得解得拋物線的表達(dá)式為yx2x2；(2)直線ymx交拋物線于A、Q兩點(diǎn)，把A(1，0)代入解析式得m，直線AQ的表達(dá)式為yx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，則P(n，n2n2)，N(n，n)，F(xiàn)(n，0)，PNn2n2(n)n2n，NFn.PN2NF，即n2n2(n)，解得n1或n，當(dāng)n1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意舍去點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；(3)在直線DE上存在一點(diǎn)G，使CMG的周長最小；此時(shí)G(，)理由如下：yx2x2(x)2，M(，)如解圖，連接AM交直線DE于點(diǎn)G，連接CG、CM，此時(shí)，CMG的周長最小設(shè)直線AM的函數(shù)表達(dá)式為ykxb，且過A(1，0)，M(，