高等數(shù)學(xué)2017年最新課件數(shù)學(xué)精神與方法第六講

1、數(shù)學(xué)精神與方法數(shù)學(xué)精神與方法 第六講第六講 運(yùn)算與迭代的威力運(yùn)算與迭代的威力 （二）（二） 3.2 3.2 經(jīng)典數(shù)學(xué)的統(tǒng)一經(jīng)典數(shù)學(xué)的統(tǒng)一 “數(shù)形合一數(shù)形合一”（續(xù)）（續(xù)） 上一節(jié)我們已看到怎樣從ZFC系統(tǒng)制定出自然數(shù) 系，整數(shù)系，直至有理數(shù)系。 本節(jié)將帶領(lǐng)大家看一看： 怎樣由有理數(shù)系制定出實(shí)數(shù)系？ 怎樣理解實(shí)數(shù)系與直線的統(tǒng)一？ 怎樣理解數(shù)與形的統(tǒng)一？ 無理量的存在性無理量的存在性 思考題：證明上述命題。 “萬物皆數(shù)”的信條。搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的 發(fā)現(xiàn)動(dòng)無理數(shù)”了。無理量的無理量”的數(shù)也就是“無理量”，而表示“ 稱作正方形的對(duì)角線被他們是有理數(shù)。因此，單位對(duì)角線與它的邊之比不 形的理他們又能證明

2、，正方疑；但是，利用勾股定憑直覺他們對(duì)此深信不 數(shù)”，兩條線段之比都是有理之母”，依據(jù)是“任何弟子們“自然數(shù)是萬物 他的危機(jī)。畢達(dá)哥拉斯教導(dǎo)數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)動(dòng)和不安，這就爆發(fā)了 的震們的心理上引起了巨大是，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)在他他們發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)?？?正是勾股定理引領(lǐng)定理證明了勾股定理及其逆他們的另一重要貢獻(xiàn)是 ，獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了“無理數(shù)”達(dá)哥拉斯學(xué)派的最大貢在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，畢 不是有理數(shù)。命題2 “ 完備化” 觀念 無理數(shù)的存在說明有理數(shù)系并不像畢達(dá)哥拉斯想象的那么“完備”，有理數(shù)系還有必要 作進(jìn)一步的擴(kuò)充?？墒?，“完備”究竟意味什么意思呢？簡單地說，這里的“完備”是數(shù)學(xué)家 渴望達(dá)到的一種境界“數(shù)與

3、形統(tǒng)一” 。讓我們自然地設(shè)想一下： 在一條連綿不斷的直線上，選定一個(gè)原點(diǎn)和一個(gè)序向，并選定單位長度，那么可以將 有理數(shù)0對(duì)應(yīng)于直線上的原點(diǎn)，將數(shù)目1對(duì)應(yīng)于直線上沿序向離原點(diǎn)有一個(gè)單位長度的點(diǎn)， 將數(shù)目2對(duì)應(yīng)于沿序向離原點(diǎn)有二個(gè)單位長度的點(diǎn)，等等凡是有理數(shù)都唯一地對(duì)應(yīng)于 直線上 一點(diǎn)，這一點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離與單位長度是可公度的，并且不同的有理數(shù)對(duì)應(yīng)于 直線上不同的點(diǎn)這樣就實(shí)現(xiàn)了從有理數(shù)系Q到直線上某個(gè)稠密子集間的一個(gè)保序雙射。 可是，這條連綿不斷的直線上終歸本性地存在著不能被任何有理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，這一現(xiàn)象 正是有理數(shù)系Q“不完備” 的表象。透過Q的這種“不完備” 表象，可以體會(huì)“完備” 的意味 “完

4、備”是“數(shù)與直線（形）統(tǒng)一”的想法。 “完備完備” = “數(shù)與直線（形）統(tǒng)一數(shù)與直線（形）統(tǒng)一” 分析數(shù)學(xué)的基本問題 怎樣將有理數(shù)系擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系，從而達(dá)成“數(shù)與直 線的統(tǒng)一”呢？ 這事實(shí)上是事關(guān)“分析數(shù)學(xué)”基礎(chǔ)的一個(gè)大問題。 牛頓和萊布尼茲在17世紀(jì)發(fā)明的微積分理論，被譽(yù)為“人類精神 的最高勝利”，開啟了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特 點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。然而，牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴(yán)格的，特別 在使用無窮小概念上是隨意和混亂的。這種狀況長期困擾著數(shù)學(xué)家 們，長達(dá)200年之久。 數(shù)學(xué)家們經(jīng)過幾代人的不懈努力才搞清楚，徹底消除微積分理 論的漏洞，靠的是有理數(shù)系的“完備化”思

5、想，即將有理數(shù)系擴(kuò)充成 一個(gè)完備的有序數(shù)系實(shí)數(shù)系的理論。 牛頓（牛頓（Isaac Newton, 16421727)，最偉大的科學(xué)家，最偉大的科學(xué)家 之一。之一。自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理于于1687年出版。年出版。 萊布尼茨（萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 1716），德國數(shù)學(xué)家，微積分的創(chuàng)立者。），德國數(shù)學(xué)家，微積分的創(chuàng)立者。 牛頓與萊布尼茨 牛頓和萊布尼茨都是他們所處時(shí)代的科學(xué)巨人，他們?cè)谙嗷オ?dú)立的情 況下各自創(chuàng)立了微積分。就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā) 表時(shí)間而言，萊布尼茨先于牛頓。 微積分發(fā)明權(quán)的爭論被認(rèn)為是“科學(xué)史上最不幸

6、的一章”。由此產(chǎn)生的 嚴(yán)重影響是，整個(gè)18世紀(jì)英國與歐陸國家在數(shù)學(xué)發(fā)展上分道揚(yáng)鑣。雖 然牛頓在微積分應(yīng)用方面的輝煌成就極大地促進(jìn)了科學(xué)的進(jìn)步，但由 于英國數(shù)學(xué)家固守牛頓的傳統(tǒng)而使自己逐漸遠(yuǎn)離了分析的主流。分析 的進(jìn)步，在18世紀(jì)，主要是由歐陸國家的數(shù)學(xué)家在發(fā)展萊布尼茨微積 分方法的基礎(chǔ)上而取得的。 英雄世紀(jì)英雄世紀(jì) 微積分誕生之后，數(shù)學(xué)迎來一次空前繁榮的時(shí)期。18世 紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)。這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)家們?cè)?幾乎沒有邏輯支持的前提下，勇于開拓并征服了廣泛的 科學(xué)領(lǐng)域。 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家知道他們的微積分概念是不清楚的，證 明也不充分，但他們卻自信他們的結(jié)果是正確的。 在微積分的發(fā)展過程中

7、，一方面是成果豐碩，另一方面 是基礎(chǔ)的不穩(wěn)固；這使得在微積分的研究和應(yīng)用中出現(xiàn) 了越來越多的謬論和悖論。數(shù)學(xué)的發(fā)展又遇到了深刻的 令人不安的危機(jī)。由微積分的基礎(chǔ)所引發(fā)的危機(jī)在數(shù)學(xué) 史上稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。 因此在18世紀(jì)結(jié)束時(shí)，微積分和建立在其上的其他分析 分支，在邏輯上，處于一種混亂的狀態(tài)之中。 歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。 微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ) 微積分理論和應(yīng)用經(jīng)過整個(gè)18世紀(jì)的空前展開和長期發(fā)展，在說明這一理論極其有 效的同時(shí)，也使得它的邏輯基礎(chǔ)備受數(shù)學(xué)家們的關(guān)注，數(shù)學(xué)界再也不能無視微積分 建立在一個(gè)“隨意的和混亂的”無窮小概念之上。進(jìn)入19世紀(jì)，分析基礎(chǔ)嚴(yán)格化的時(shí) 代到來

8、了。 法國數(shù)學(xué)家柯西首先向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步，他的許多定義和論述 已經(jīng)相當(dāng)接近微積分的現(xiàn)代形式?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問題 上長期存在的混亂，但他的理論還只能說是“比較嚴(yán)格”，人們不久就發(fā)現(xiàn)他的理論 也存在漏洞。例如，他用了許多“無限趨近” 、“想要多小就多小”等直觀描述的語言。 事實(shí)上，要真正為微積分奠定牢固的基礎(chǔ)是必須充分理解實(shí)數(shù)系的完備性才能辦得 到的?？墒?，直到19世紀(jì)中葉，對(duì)于什么是實(shí)數(shù)竟沒有嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家對(duì)實(shí)數(shù) 系的理解僅停留在數(shù)軸這種直觀的感覺上，他們相當(dāng)隨便地使用無理數(shù)而沒有考察 它們的確切意義和性質(zhì)。 柯西對(duì)柯西對(duì)“無理數(shù)無理數(shù)”是什么的問題

9、作了一個(gè)表面的是什么的問題作了一個(gè)表面的 回答：回答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。這里產(chǎn)生這里產(chǎn)生 了了“邏輯循環(huán)邏輯循環(huán)”的毛病。的毛病。 柯西柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789-1857），法國 數(shù)學(xué)家。他對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn) 是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán) 格的表述與證明方法，使微積 分?jǐn)[脫了對(duì)于幾何與運(yùn)動(dòng)的直 觀理解和物理解釋，從而形成 微積分的現(xiàn)代體系。 “分析算術(shù)化分析算術(shù)化”綱領(lǐng)綱領(lǐng) 對(duì)于實(shí)數(shù)缺乏認(rèn)識(shí)，不僅造成邏輯上的間斷，而且導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果時(shí)常出現(xiàn)，同時(shí)使人 無法明辨錯(cuò)誤出在哪里。19世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)家們開展了一場數(shù)學(xué)史上著名的“分析 算

10、術(shù)化”運(yùn)動(dòng)，其目的就是要把分析建立在“純粹算術(shù)”的基礎(chǔ)上。這場運(yùn)動(dòng)的主帥是德 國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯，他關(guān)于分析嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)。 魏氏的嚴(yán)格化突出表現(xiàn)在，他創(chuàng)造了一套-語言，用于重建分析體系。他用這套 嚴(yán)格語言去代替前人的“無限地趨近”等說法而重新定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等分析學(xué) 的基本概念，特別是引進(jìn)了以往被忽視的“一致收斂性”概念，從而消除了微積分中不 斷出現(xiàn)的各種混亂和異議?？梢哉f，數(shù)學(xué)分析達(dá)到今天所具有的嚴(yán)密形式，本質(zhì)上歸 功于魏氏的工作。 魏爾斯特拉斯認(rèn)為，實(shí)數(shù)賦予我們極限、連續(xù)等基本概念，因而成為整個(gè)分析的邏輯 本源。要使分析嚴(yán)格化，首先就要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)

11、格化。為此，最可靠的辦法是，按 照嚴(yán)密的邏輯將實(shí)數(shù)歸結(jié)為整數(shù)（有理數(shù)）。這樣，分析的所有概念便可以由整數(shù)導(dǎo) 出，以往的漏洞和缺陷就能得以彌補(bǔ)。這就是魏氏的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)。 1857年，魏爾斯特拉斯在解析函數(shù)論課程里向他年，魏爾斯特拉斯在解析函數(shù)論課程里向他 的學(xué)生講授了歷史上第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義。的學(xué)生講授了歷史上第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義。 外爾斯特拉斯外爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815- 1897），德國數(shù)學(xué)家。他的主 要貢獻(xiàn)在函數(shù)論和分析方面。 他發(fā)現(xiàn)了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收 斂性，借助級(jí)數(shù)構(gòu)造了復(fù)變函 數(shù)論，開始了分析的算術(shù)化過 程。他

12、給出的處處連續(xù)處處不 可微的函數(shù)震動(dòng)了數(shù)學(xué)界。在 代數(shù)方面，他第一個(gè)給出了行 列式的嚴(yán)格定義。他被譽(yù)為“現(xiàn) 代分析之父”。 實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)的“戴德金分割戴德金分割”理論理論 鑒于各種實(shí)數(shù)理論本質(zhì)上是一回事，我們只簡介戴德金的實(shí)數(shù)定義方 案。如上所見，戴德金定義實(shí)數(shù)的方法以有理數(shù)系 的分割為基礎(chǔ)。 。作的集合稱作實(shí)數(shù)系，記為實(shí)數(shù)，全體實(shí)數(shù)組成 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱稱之為是一個(gè)無理數(shù)。了一個(gè)無理數(shù)，或干脆 稱作是定義割三種情況出現(xiàn)時(shí)，將分之間的界數(shù)），而當(dāng)?shù)?與是（特征：看作有理數(shù)分割前兩種情況出現(xiàn)時(shí)，將 中無最小者。中無最大者，而 ；之間的界數(shù)與是有一個(gè)最小者 ；之間的界數(shù)與是有一個(gè)最大者 三種情況之

13、一：不外乎是且只能是以下。任意一個(gè)分割 金分割，記作的一個(gè)戴德的這樣一種分割稱作那么，有理數(shù)系 中的任意一個(gè)有理數(shù)，中的每一個(gè)有理數(shù)小于 ，即， ，使得和兩類法，把全體有理數(shù)分成定義：如果給定某種方 R R Q Q rr rr rr yxyx 3 2 1 Q 數(shù)與構(gòu)造數(shù)的方法達(dá)成了統(tǒng)一！數(shù)與構(gòu)造數(shù)的方法達(dá)成了統(tǒng)一！ 的的戴戴德德金金分分割割2 2對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 .202 20, 02 2 2 rrr rrrr 且 ，且或其中 Q Q ,222 之間的界數(shù)。與 ）作為了分割的方法本身（拿對(duì)的對(duì)象時(shí)，我們干脆就 之間的界數(shù)與中找不到可以作為當(dāng)我們?cè)谟欣頂?shù)系 22 22 22 Q Q 實(shí)數(shù)系的完備性實(shí)

14、數(shù)系的完備性 實(shí)數(shù)系的完備性究竟是什么意思呢？這需從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系說起。實(shí)數(shù)系的完備性究竟是什么意思呢？這需從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系說起。 稠密性，使得，則，且若 傳遞性，則，且若 三擇一性 關(guān)系之一成立：，則有且僅有下列三種若 ：不難證明以下三條性質(zhì) ， ，定義，命設(shè) 上的序，即大小關(guān)系：定義實(shí)數(shù)系在上述約定下，我們來 內(nèi)沒有最大數(shù)。都適合 以下考慮的戴德金分割內(nèi)；這樣，我們約定：移到我們總是將 為界數(shù)，那么以金分割。為確定起見，若戴德看作有理數(shù) 它們都可以為界數(shù)的分割有兩種，以對(duì)于任意的有理數(shù) .,3 .,2 ., ,1 . , : rr r rr rr Q QR R R R R R R R R

15、R 戴戴 德德 金金 完完 備備 性性 定定 理理 現(xiàn)在建立起來的全序集（現(xiàn)在建立起來的全序集（R, ）本質(zhì)上已具有將有理數(shù)系）本質(zhì)上已具有將有理數(shù)系Q擴(kuò)充成一個(gè)擴(kuò)充成一個(gè) 完備的有序數(shù)系的功能。這里需說明（完備的有序數(shù)系的功能。這里需說明（R, ）具有完備性是什么意思，然后）具有完備性是什么意思，然后 再將再將Q上的加法和乘法運(yùn)算擴(kuò)充到上的加法和乘法運(yùn)算擴(kuò)充到R上（擴(kuò)充到上（擴(kuò)充到R上的加法和乘法運(yùn)算是唯一上的加法和乘法運(yùn)算是唯一 確定的）。這樣，（確定的）。這樣，（R, ，+，-）就構(gòu)成了我們理想中的）就構(gòu)成了我們理想中的完備有序數(shù)系完備有序數(shù)系 即我們精神世界中的即我們精神世界中的理想直

16、線理想直線。 （R, ）的完備性是什么意思呢？）的完備性是什么意思呢？ 的最小元。元，或者是 的最大或者是，即，那么 ， ，且， 分割，即 的一個(gè)戴德金，是如果的完備性），定理（戴德金， yxyx yxyx R R RR 1 2 1 （R, ）的完備性表達(dá)出直線的）的完備性表達(dá)出直線的“ “連通性連通性” ”，而在，而在（R, ）上定義）上定義算術(shù)四則運(yùn)算算術(shù)四則運(yùn)算則可以表達(dá)出直線的則可以表達(dá)出直線的“ “直性直性” ” 這里我們不打算陷入定義實(shí)數(shù)之算術(shù)運(yùn)算的細(xì)節(jié)中。這里我們不打算陷入定義實(shí)數(shù)之算術(shù)運(yùn)算的細(xì)節(jié)中。 那么直線又是什么呢？歐幾里得下定義說：那么直線又是什么呢？歐幾里得下定義說：“

17、 “線只有長線只有長 度沒有寬度度沒有寬度” ”；這只是不能使用的；這只是不能使用的“ “假定義假定義” ”而已。希爾而已。希爾 伯特提出：將伯特提出：將“ “直線直線” ”作為無定義的原始概念處理。作為無定義的原始概念處理。 注意：注意： 戴德金（戴德金（Dedekind, J. W. Richard ，1831-1916），），德 國數(shù)學(xué)家，他因提出了把每 個(gè)實(shí)數(shù)都定義成是有理數(shù)集 的一個(gè)“戴德金分割”的理論， 而成為現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的奠基 人 。 “自然數(shù)是萬物之母自然數(shù)是萬物之母”的復(fù)生的復(fù)生 現(xiàn)在想來， “直線”只是一個(gè)不能加以定義的幾何對(duì)象盡管 它在我們心中的影像是那么地確定無疑與其讓

18、它這般地亦 真亦幻，不如將它就“等同等同”于實(shí)數(shù)系（R，+，-）好了。這 種“等同等同”實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與直線的統(tǒng)一數(shù)與直線的統(tǒng)一”。 進(jìn)一步，利用笛卡爾的坐標(biāo)幾何的思想就可以實(shí)現(xiàn)“數(shù)與形的統(tǒng)數(shù)與形的統(tǒng) 一一”。 笛卡爾（笛卡爾（Rene. Descartes, 1596-1650），法），法 國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家，解析幾何的發(fā)明者。他試圖在國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家，解析幾何的發(fā)明者。他試圖在 一個(gè)毋庸置疑的基礎(chǔ)上重建知識(shí)體系，他選擇數(shù)學(xué)一個(gè)毋庸置疑的基礎(chǔ)上重建知識(shí)體系，他選擇數(shù)學(xué) 推理方法作為惟一可靠的方法。推理方法作為惟一可靠的方法。 有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法 注：注意有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法中有有限個(gè)整數(shù) 被使用；若使用無限個(gè)，那么就可以表示無理數(shù)了。 ，并且表示法唯二。其中 ，則，若定理 。數(shù)表示法的價(jià)值之所在示法，這正體現(xiàn)出連分 示法，但仍有連分?jǐn)?shù)表理數(shù)，我們沒有分?jǐn)?shù)表連分?jǐn)?shù)表示法；對(duì)于無 可給出更有價(jià)值的有分?jǐn)?shù)表示法，而且還對(duì)于有理數(shù)，我們不僅 0NZ, 0NZ n n n aaa aaa a a a a a b a ba , , 111 1 1 1 1 1 10 21 0 2 1 0 n a ,a ,a 10 的的連連分分?jǐn)?shù)數(shù)表表示示2 2 . x x x xx x . x x,xx x 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1