北師大版課標初中數(shù)學九年級下《從梯子的傾斜程度談起》教學設計

1、北師大版課標初中數(shù)學九年級九年級下學期直角三角形的邊角關(guān)系從梯子的傾斜程度談起1.1.2從梯子的傾斜程度談起（二）教學目標（一）教學知識點1. 經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正弦和余弦的意義2. 能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3. 能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進行簡單的計算.4. 理解銳角三角函數(shù)的意義.（二）能力訓練要求1. 經(jīng)歷類比、猜想等過程.發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點2. 體會數(shù)形結(jié)合的思想，并利用它分析、解決問題，提高解決問題的能力.（三）情感與價值觀要求1. 積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心和求知欲2. 形成合作交流的意識以

2、及獨立思考的習慣.教學重點1. 理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明2. 能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3. 能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進行簡單的計算.教學難點用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切.教學方法探索一一交流法教具準備多媒體演示 .教學過程I. 創(chuàng)設情境，提出問題，引入新課并且得出了當傾斜角確定時，. 并在此基礎上用直角三角形中銳 師 我們在上一節(jié)課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度， 其對邊與斜邊之比隨之確定 . 也就是說這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無關(guān) 角的對邊與鄰邊之比定義了正切 . b5E2RGbCAP現(xiàn)在我們提出兩個問

3、題： 問題 1 當直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎? 問題 2 梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎 ?如果有，是怎樣的關(guān)系 ?n.講授新課1. 正弦、余弦及三角函數(shù)的定義多媒體演示如下內(nèi)容：想一想：如圖(1) 直角三角形 AB1C1和直角三角形 AB2C2 有什么關(guān)系 ?(2) 有什么關(guān)系 ? 呢?(3) 如果改變A在梯子AB上的位置呢？你由此可得出什么結(jié)論？(4) 如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢？你由此又可得出什么結(jié)論？ 請同學們討論后回答 .生TA iG 丄 BC, AC 丄 BC2,A 1C/A 2C2.RtABAQsRtABAzG.（ 相似三角形對應邊成比例 ）.由于A

4、是梯子AB上的任意一點，所以，如果改變A在梯子AiB上的位置，上述結(jié)論仍成立 .由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊 . 與斜邊的比值，傾斜角 的鄰邊與斜邊的比值隨之確定 . 也就是說，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大 小無關(guān) . 生 如果改變梯子 AiB 的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變 . 師我們會發(fā)現(xiàn)這是一個變化的過程 .對邊與斜邊的比值、 鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變， 同時， 如果給定一個傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的. 這是一種什么關(guān)系呢 ?piEanqFDPw 生

5、 函數(shù)關(guān)系 . 師很好! 上面我們有了和定義正切相同的基礎，接著我們類比正切還可以有如下定義：（ 用多媒體演示 ）在RtAABC中，如果銳角A確定，那么/A的對邊與斜邊的比、 鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，ZA的對邊與鄰邊的比叫做/A的正弦（sine），記作sinA，即DXDiTa9E3dsinA =ZA的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦（cosine），記作cosA，即cosA=銳角A的正弦、余弦和正切都是/A的三角函數(shù)（trigonometricfunction）. 師 你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“ sinA、cosA、 tanA 都是之 A 的三角函數(shù)”呢 ?生我們在前面已討論過

6、，當直角三角形中的銳角A確定時.ZA的對邊與斜邊的比值，/A的鄰邊與斜邊的比值，/A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“/A的三角函數(shù)”概念中，/A 是自變量，其取值范圍是 0 A90 ;三個比值是因變量.當/A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.RTCrpUDGiT2. 梯子的傾斜程度與 sinA 和 cosA 的關(guān)系 師 我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA 有關(guān)系： tanA 的值越大， 梯子越陡 . 由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和 sinA 、 cosA 有關(guān)系呢 ?如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系 ?5PCzVD7HxA生如圖所示，AB= AB,在 RtAABC 中, si

7、nA= , 在RtAA 1BC 中，sinA 1=.丁 即 cosAcosAi，所以梯子的傾斜程度與 cosA 也有關(guān)系 .cosA 的值越小，梯子越陡 . 師同學們分析得很棒， 能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉 !從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實際中通常使用正切 . jLBHrnAILg3. 例題講解多媒體演示 .例1如圖，在RtABC中，/ B=90， AC=200.sinA = 0.6 ，求 BC的長.分析：sinA不是“sin ”與“A”的乘積，sinA表示/A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA = 0.6，= 0.6. xHAQX74J0X解：在 RtABC

8、中，/ B=90， AC= 200.sinA = 0.6，即=0.6，BC=ACX0.6 =200X0.6=120.思考： (1)cosA = ?(2)sinCcosC = ?(3) 由上面計算，你能猜想出什么結(jié)論 ?解：根據(jù)勾股定理，得AB= =160.在 RtAABC 中，CB=90.cosA = = 0.8 ,sinC= =0.8，cosC = 0.6 ，由上面的計算可知sinA = cosC= O.6，cosA = sinC = 0.8.因為/A+ZC=90,所以，結(jié)論為“一個銳角的正弦等于它余角的余弦” “一個銳角的余弦等于它余角的正弦”. LDAYtRyKfE 例 2 做一做：1

9、的結(jié)論如圖，在RtABC中，/ C=90 , cosA= , AC= 10, AB等于多少?sinB呢？cosB、sinA呢？你還能得出類似例嗎 ?請用一般式表達 . Zzz6ZB2Ltk分析：這是正弦、余弦定義的進一步應用，同時進一步滲透sin(90 -A)= cosA， cos(90 -A)=sinA.解：在 RtABC中，/ C=90,AC=10 cosA= , cosA=,/AB=,sinB =根據(jù)勾股定理,得BC2= AB2-AC2= ( ) 2-102=.BC=cosB=sinA可以得出同例 1 一樣的結(jié)論 .VZ A+/B=90 ,sinA : cosB=cos(90-A)，即

10、sinA =cos(90 -A);cosA = sinB =sin(90 -A)，即 cosA=sin(90 -A).山隨堂練習多媒體演示1. 在等腰三角形 ABC中, AB=AC= 5, BC=6 求 sinB , cosB, tanB.分析：要求sinB , cosB, tanB，先要構(gòu)造ZB所在的直角三角形.根據(jù)等腰三角形“三 線合一”的性質(zhì)，可過 A作ADLBC D為垂足.解：過A作ADLBC D為垂足. AB=AC BD=DC= BC=3.在 RtABD中，AB= 5, BD=3, AD= 4.sinB = cosB= ,tanB= .2. 在厶ABC中，Z 0=90, sinA =

11、 , BC=20求厶ABC的周長和面積.解： sinA= V sinA=BC= 20 AB= 25.在 RtBC 中，AC= =15 ,ABC 的周長=AB+AC+B= 25+15+20= 60 ,ABC 的面積：ACXBC= X 15X20= 150.3. （2003 年陜西 ）（ 補充練習 ）在厶ABC中./C=90，若 tanA=,則 sinA=.解：如圖，tanA=.設BC=x AC=2x,根據(jù)勾股定理，得AB=.sinA=.IV.課時小結(jié)本節(jié)課我們類比正切得岀了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認識了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，ZA是自變量，其取值范圍是 0 v/A90 ;

12、三個比值是因變量.當/A確定時，三個比值分別唯一確定；當/A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來解決實際問題.dvzfvkwMIlV.課后作業(yè)習題1、2第1、2、3、4題活動與探究已知：如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，求證：BC =AB- BD.（用正弦、余弦函數(shù)的定義證明）rqyn14ZNXI過程根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值（或余弦值）就相等，不必只局限于某一個直角三角形中，在RtABC中，CDLAB.所以圖中含有三個直角三角形.例如/B既在RtBDC中，又在RtABC中，涉及線段 BC BD AB,由正弦、余弦的定義得 cosB= ， cosB= . Emxvx