6-2等差數(shù)列及其前n項和

1、第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 6.2等差數(shù)列及其前等差數(shù)列及其前n項和項和 1等差數(shù)列的有關(guān)概念等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從定義：如果一個數(shù)列從_起，每一項與它的前一項起，每一項與它的前一項 的的_都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這 個常數(shù)叫做等差數(shù)列的個常數(shù)叫做等差數(shù)列的_，通常用字母，通常用字母d表示表示 第第2項項 差差 公差公差 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） (2)等差中項：數(shù)列等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列

2、的充要條件是成等差數(shù)列的充要條件是A ，其中，其中A叫做叫做a，b的的_. 2等差數(shù)列的有關(guān)公式等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項公式：通項公式：an_ 等差中項等差中項 a1(n1)d 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 3等差數(shù)列的常用性質(zhì)等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：通項公式的推廣：anam_ (n，mN*) (2)若若an為等差數(shù)列，且為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)， 則則_. (3)若若an是等差數(shù)列，公差為是等差數(shù)列，公差為d，則，則a2n也是等差數(shù)列，也是等差數(shù)列， 公差為公差為_ (nm)d akalaman 2d

3、 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） (4)若若an，bn是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列 (5)若若an是等差數(shù)列，公差為是等差數(shù)列，公差為d，則，則ak，ak m， ，ak 2m， ， (k，mN*)是公差為是公差為_的等差數(shù)列的等差數(shù)列 (6)數(shù)列數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，構(gòu)成等差數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列. md 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 【知識拓展】【知識拓展】 1等差數(shù)列的四種判斷方法等差數(shù)列的四種判斷方法 (1)定義法：定義法：an 1 and(d是常數(shù)是

4、常數(shù))an是等差數(shù)列是等差數(shù)列 (2)等差中項法：等差中項法：2an 1 anan 2 (n N*)an是等差數(shù)是等差數(shù) 列列 (3)通項公式：通項公式：anpnq(p，q為常數(shù)為常數(shù))an是等差數(shù)列是等差數(shù)列 (4)前前n項和公式：項和公式：SnAn2Bn(A，B為常數(shù)為常數(shù))an是等是等 差數(shù)列差數(shù)列. 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 【思考辨析】【思考辨析】 判斷下列結(jié)論是否正確判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打請在括號中打“”“”或或“”) (1)若一個數(shù)列從第二

5、項起每一項與它的前一項的差都是常若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常 數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列() (2)等差數(shù)列等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差的單調(diào)性是由公差d決定的決定的() (3)等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)的二次函數(shù) () (4)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的通項公式的通項公式an32n，則它的公差為，則它的公差為 2.() 【答案】【答案】 (1)(2)(3)(4) 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 1在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，若中，若a24，a42，則，則a

6、6等于等于() A1 B0 C1 D6 【解析】【解析】 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a62a4a2224 0，故選，故選B. 【答案】【答案】 B 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 2已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an前前9項的和為項的和為27，a108，則，則a100等等 于于() A100 B99 C98 D97 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 3設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，若a3a4a512，則，則a

7、1a2 a7等于等于() A14 B21 C28 D35 【解析】【解析】 a3a4a53a412，a44， a1a2a77a428. 【答案】【答案】 C 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 4(2019全國全國卷卷)記記Sn為等差數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前n項和若項和若 a4a524，S648，則，則an的公差為的公差為() A1 B2 C4 D8 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 題型一等差數(shù)列基本量的運算題型一等差數(shù)列基本量

8、的運算 【例【例1】 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中， (1)已知已知a1533，a45153，求，求an； (2)已知已知a610，S55，求，求Sn； (3)已知前已知前3項和為項和為12，前，前3項積為項積為48，且，且d0，求，求a1. 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 【思維升華】【思維升華】 等差數(shù)列運算問題的通性通法等差數(shù)列運算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首

9、項等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公和公 差差d，然后由通項公式或前，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組組)求求 解解 (2)等差數(shù)列的通項公式及前等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五項和公式，共涉及五 個量個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，知其中三個就能求另外兩個， 體現(xiàn)了用方程的思想解決問題體現(xiàn)了用方程的思想解決問題 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1 (1)周髀算經(jīng)是中國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)周髀算經(jīng)是中國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué) 著作其中一個問題大意為：一年有二十四個節(jié)氣

10、，每個著作其中一個問題大意為：一年有二十四個節(jié)氣，每個 節(jié)氣晷長損益相同節(jié)氣晷長損益相同(即太陽照射物體影子的長度增加和減少即太陽照射物體影子的長度增加和減少 大小相同大小相同)若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸 (注：一丈等于十尺，一尺等于十寸注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個，則夏至之后的那個 節(jié)氣節(jié)氣(小暑小暑)晷長為晷長為() 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） A五寸五寸 B二尺五寸二尺五寸 C三尺五寸三尺五寸 D一丈二尺五寸一丈二尺五寸 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總

11、復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 【解析】【解析】 (1)設(shè)晷長為等差數(shù)列設(shè)晷長為等差數(shù)列an，公差為，公差為d，a115 ，a13135， 則則1512d135，解得，解得d10. a2151025， 易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長是易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長是2尺尺5寸故選寸故選 B. 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ）

12、 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 【思維升華】【思維升華】 等差數(shù)列的四個判定方法等差數(shù)列的四個判定方法 (1)定義法：證明對任意正整數(shù)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有都有an 1 an等于同一等于同一 個常數(shù)個常數(shù) (2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有都有2an 1 anan 2后，可遞推得出 后，可遞推得出an 2 an 1 an 1 ananan 1 an 1 an 2 a2a1，根據(jù)定義得出數(shù)列，根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列為等差數(shù)

13、列 (3)通項公式法：得出通項公式法：得出anpnq后，得后，得an 1 anp對任對任 意正整數(shù)意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列為等差數(shù)列 (4)前前n項和公式法：得出項和公式法：得出SnAn2Bn后，根據(jù)后，根據(jù)Sn，an的的 關(guān)系，得出關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列，再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列為等差數(shù)列 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ）

14、第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 角度一等差數(shù)列項的性質(zhì)角度一等差數(shù)列項的性質(zhì) 【例【例3】 (1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，若中，若a3a4a5a6a7 25，則，則a2a8_ (2)已知已知an，bn都是等差數(shù)列，若都是等差數(shù)列，若a1b109，a3b8 15，則，則a5b6_ 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 【解析】【解析】 (1)因為因為an是等差數(shù)列，所以是等差數(shù)列，所以a3a7a4a6 a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，所以，所

15、以a55，故，故 a2a82a510. (2)因為因為an，bn都是等差數(shù)列，所以都是等差數(shù)列，所以2a3a1a5，2b8 b10b6，所以，所以2(a3b8)(a1b10) )(a5b6)，即，即2159 (a5b6)，解得，解得a5b621. 【答案】【答案】 (1)10(2)21 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 【解析】【解析】 (1)因為因為an是等差數(shù)列，所以是等差數(shù)列，所以S3，S6S3，S9 S6，S12S9成等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，所以2(S6S3)S3(S9S6)， 即即2(S612)12(45S6)， 解得解得S63. 又又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)， 即即2(453)(312)(S1245)，解得，解得S12114. 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） 第六章第六章 數(shù)數(shù) 列列 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)理科（RJRJ） (2)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的公差為的公差為4，項數(shù)為偶數(shù)，所有奇，項數(shù)