湘大版矩陣論 第三章 修改作業(yè)答案

1、第3章1.判斷下面四個(gè)矩陣，哪些是相似的。A= ，B= ，C= ，D= .解答如下：因?yàn)锳=，得= -5 +8 -4= 所以矩陣A的特征值是=1，=2，=2 ，對(duì)應(yīng)于=1時(shí)的一個(gè)特征向量是=對(duì)應(yīng)于、的一切特征向量為=，K不等于0，所以不存在三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則A不能與對(duì)角矩陣 相似。但是可得到A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為從此錯(cuò)誤,即存在P矩陣，滿足,則A與J相似。因?yàn)锽=，得= ，所以矩陣B的特征值是=1，=2，=2，對(duì)應(yīng)于=1時(shí)的一個(gè)特征向量是=，對(duì)應(yīng)于、的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為=， =，則B可化為相似對(duì)角矩陣為 .因?yàn)镃=，得= ,所以矩陣C的特征值是=1，=2，=2，對(duì)應(yīng)于=1時(shí)的一個(gè)特征向

2、量是=，對(duì)應(yīng)于、的一切特征向量為= k，k不等于0。所以C不能化為相似對(duì)角矩陣，但是可得到C的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為,此處錯(cuò)誤即存在P矩陣，滿足,則B與J相似。因?yàn)镈的秩為2，與A、B、C的秩3不相同，所以D不與任何矩陣相似。綜上所訴可知，A、C矩陣均和J矩陣相似，所以A和C矩陣相似?；菊_95分2、解：（1）、A的特征多項(xiàng)式為：=()()()因而A有三個(gè)不同的特征值：，由于A有3個(gè)互不相同的特征值，故A可對(duì)角化，又由方程可解得對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為：由方程可解得對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為：由方程可解得對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為：是屬于不同特征值的特征向量，所以是線性無(wú)關(guān)的，以它們?yōu)榱邢蛄孔骶仃嚨孟嗨谱儞Q矩陣

3、：并求得：故，A可與對(duì)角陣相似（2）、A的特征多項(xiàng)式為：=因而A的特征值為：， 又由方程可解得對(duì)應(yīng)特征值的一切特征向量為：由方程可解得對(duì)應(yīng)特征值的一切特征向量為：所以，A不存在三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故A不能與對(duì)角形矩陣相似（3）、A的特征多項(xiàng)式為：=因而A的特征值為：， 又由方程可解得對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為：由方程可解得對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為：，為兩線性無(wú)關(guān)的特征向量所以為線性無(wú)關(guān)的特征向量，以它們?yōu)榱邢蛄孔骶仃嚨孟嗨谱儞Q矩陣：并求得：故，A可與對(duì)角形矩陣3、得求得對(duì)應(yīng)的1=2=2的線性無(wú)關(guān)特征向量為，對(duì)應(yīng)3=-1的特征向量。因此得因而有,則所以， 正確100分5(1) 因?yàn)?2)因?yàn)?3)

4、因?yàn)樵谠O(shè)解A+E=，得的基礎(chǔ)解系為，選取， 故(4)因?yàn)樗某跫?jí)因子為，故A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為.在設(shè)因?yàn)锳-E=解得的基礎(chǔ)解系為，選取,因?yàn)榉匠?和方程2是一樣的，故可選擇的值使下面兩矩陣的秩相等：A-E=,得6、（1）設(shè)A= 則A的特征多項(xiàng)式為：f（）= 故A的最小多項(xiàng)式只能是：m（）=、m（）= 或m（）= 又因m（A）= 0 且m（A）= =0 便知A的最小多項(xiàng)式為：m（）= 正確（2）設(shè)A= 則A的特征多項(xiàng)式為：f（）= =（） 故A的最小多項(xiàng)式只能是：m（）=（）（）或m（）= f（）又因m（A）= =0 便知A的最小多項(xiàng)式為：m（）=（）（）（3）設(shè)A= 則A的特征多項(xiàng)式為：f（）=

5、= = = 故A的最小多項(xiàng)式只能是m（）= 、又因m（A）=A0 且m（A）=A2=0 便知A的最小多項(xiàng)式為：m（）= 正確100分，但是最好用不同的方法計(jì)算7.將下列-矩陣化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。（1）解： （2）解： （3）解： (4)解: (5)解: 90分，要分解因式8、 求下列矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形（1） （2） （3）解、 (1)初級(jí)因子：(2)初級(jí)因子：（3）初級(jí)因子： 9題：證明：根據(jù)哈密頓-開(kāi)萊定理 （1）即 (2)在式1中如果我們令就能得到對(duì)于可逆矩陣A我們可以知道所以于是對(duì)于式2兩邊同時(shí)乘以得到即 正確100分10. 設(shè),證明:B=2A4-12A3+19A2-29A+37E

6、為可逆矩陣,并求A+2E的逆矩陣.證明:因A的特征多項(xiàng)式為,則.再取多項(xiàng)式,用去除可得:其中.則為可逆矩陣.正確又,即.正確100分11.若A,B均為n階方陣,又E-AB可逆,證明:(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A.證明:因?yàn)? E+B(E-AB)-1A)(E-BA) =( E-BA+ B(E-AB)-1A(E-BA) = E-BA+ B(E-AB)-1 (A- ABA) = E-BA+ B(E-AB)-1(E-AB)A = E-BA+BA = E所以E-BA可逆,且(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A正確100分12.若A滿足,證明A可與對(duì)角矩陣相似。 則 由等式，得A的特征值一定是-2或1取 則則是矩陣A的零化多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式 由矩陣A的任何零化多項(xiàng)式都被其最小多項(xiàng)式所整除最小多項(xiàng)式必定是多項(xiàng)式的因子故A的最小多項(xiàng)式只有三種可能：或或，不論如何一定是的因子，故無(wú)重根。A一定是可以上三角化的，,其中U和W是對(duì)角元分別是-2和1上三角陣。再選取適當(dāng)?shù)腎 X; 0 I型的變換可以把約化到分塊對(duì)角陣