2007寧夏數(shù)學(xué)(理科).doc

1、2007 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（寧夏卷）數(shù)學(xué)（理科）試卷本試卷分第I 卷（選擇題）和第II 卷（非選擇題）兩部分。第II 卷第 22 題為選考題，其他題為必考題?？忌鞔饡r(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上。2選擇題答案使用 2B 鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用 0.5 毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，

2、超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效。4保持卡面清潔，不折疊，不破損。5作選考題時(shí)， 考生按照題目要求作答，并用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑。參考公式：樣本數(shù)據(jù) x1 ， x2 ， xn 的標(biāo)準(zhǔn)差錐體體積公式s1 ( x1x)2( x2x) 2(xnx) 2 V1 S hn3其中 x 為樣本平均數(shù)其中 S 為底面面積、 h 為高柱體體積公式球的表面積、體積公式V=ShS 4R2 ， V4 R33其中 S 為底面面積， h 為高其中 R 為球的半徑第 I 卷一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知命題 p :x R ，

3、sinx 1，則（）A p : xR ，sinx1B p : xR ， sinx 1C p : xR ，sinx1D p : xR ，sinx12已知平面向量a=（ 1， 1）， b（ 1， 1），則向量1 a3 b （）22A （ 2， 1）B （ 2， 1）C（ 1， 0）D （ 1， 2）在區(qū)間）3函數(shù) y sin 2x， 的簡(jiǎn)圖是（32yy113xOxO3221661A B yy11Ox6x2O632131CD 4已知 an 是等差數(shù)列， a10=10 ，其前10 項(xiàng)和 S10=70 ，則其公差 d=（）2A 31B 31C32D 35如果執(zhí)行右面的程序框圖， 那么輸出的 S=（）A

4、2450B 2500C 2550D 26526已知拋物線 y22 px ( p 0) 的焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) P1（ x1，y1），P2（ x2，y2 ），P3（ x3，y3）在拋物線上，且 2x2=x1+x3， 則有（）A FP1FP2FP3222B FP1FP2FP3C2 FP2FP1FP32D FP2FP1FP327已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差數(shù)列， x，c，d，y 成等比數(shù)列，則(ab)的最小值是（）cdA 0B 1C 2D 48已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸 （單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（）A 4000 cm33B 8000 cm33C 2000cm3

5、D 4000cm39若cos22 ，則 cossin 的值為（）sin247117A B CD22221 x10曲線 y e2 在點(diǎn)（ 4，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）9 2A eB 4e2 C 2e22D e11甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射箭20 次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤砑椎某煽?jī)乙的成績(jī)丙的成績(jī)環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555頻數(shù)6446頻數(shù)4664s 1， s 2， s 3 分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）A s 3s 1s 2B s 2s 1s3C s 1s 2s3D s 2s3s112一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好

6、可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等。設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為 h1 ， h2 ， h ，則 h1 : h2 : h（）A 3:1:1B 3:2:2C3: 2 :2D 3: 2 :3第II 卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13 題第 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第22 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4 小題，每小題5 分。13已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為6 ，則該雙曲線的離心率為。14設(shè)函數(shù) f ( x)( x1)(x a) 為奇函數(shù)，則 a=。

7、x15 i 是虛數(shù)單位，510i。（用 a+bi 的形式表示，a，bR ）34i16某校安排5 個(gè)班到 4 個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有種。（用數(shù)字作答）三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17（本小題滿分12 分）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB 時(shí)，可以選與塔底B 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C 與BCD，BDC， CD=s，并在點(diǎn)C 測(cè)得塔頂A 的仰角為，求塔高AB 。D ?，F(xiàn)測(cè)得18（本小題滿分12 分）如圖， 在三棱錐S ABC 中，側(cè)面 SAB 與側(cè)面 SAC 均為等邊三角形，BAC90，O為BC中點(diǎn)。（）證明：SO平面 A

8、BC ；（）求二面角A SC B 的余弦值。19（本小題滿分 12 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0， 2) 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓 x2y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn) P和 Q。2（）求 k 的取值范圍；（）設(shè)橢圓與 x 軸正半軸、y 軸正半軸的交點(diǎn)分別為A 、B ，是否存在常數(shù)k，使得向量 OP OQ與 AB 共線？如果存在，求k 值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。20（本小題滿分 12 分）如圖，面積為 S 的正方形 ABCD 中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計(jì)M 的面積：在正方形 ABCD 中隨機(jī)投擲 n 個(gè)點(diǎn)，若 n 個(gè)點(diǎn)中有 m 個(gè)點(diǎn)落入M 中，則 M 的面積的估計(jì)

9、值為mS ，n假設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2，M 的面積為 1，并向正方形 ABCD 中隨機(jī)投擲 10000 個(gè)點(diǎn)，以 X 表示落入 M 中的點(diǎn)的數(shù)目。（）求 X 的均值 EX ；（） 求用以上方法估計(jì)M 的面積時(shí)， M 的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間（ 0.03，0.03）內(nèi)的概率。k附表： P(k )C10000t0.25 t0.7510000tt 0K2424242525742575P（ k）0.04030.04230.95700.959021（本小題滿分12 分）設(shè)函數(shù)f ( x)ln( xa)x2（）若當(dāng)x= 1 時(shí)， f（x）取得極值，求a 的值，并討論f（ x）的單調(diào)性；（

10、）若f（ x）存在極值，求a 的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln e 。222請(qǐng)考生在A 、 B、 C 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑。A（本小題滿分10 分）選修 4 1：幾何證明選講如圖，已知 AP是 O 的切線，P 為切點(diǎn)，AC 是 O 的割線，與 O 交于 B、C 兩點(diǎn)，圓心 O 在PAC的內(nèi)部，點(diǎn) M是 BC 的中點(diǎn)。（）證明A ，P， O， M 四點(diǎn)共圓；（）求OAMAPM 的大小。B（本小題滿分10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 O1 和 O2 的極坐標(biāo)方程分別為4cos ，4sin。（）把 O1

11、和 O2 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（）求經(jīng)過(guò)O1， O2 交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程。C（本小題滿分10 分）選修4 5；不等式選講設(shè)函數(shù) f (x)2x1x4 。（）解不等式f（ x） 2；（）求函數(shù)y= f（ x）的最小值。2007 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（寧夏卷）數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題1 C2 D3 A4D5C6C7 D8 B9 C10 D11 B 12B二、填空題13 314115 12i16240三、解答題17解：在 BCD 中，CBD由正弦定理得BCCDsinBDCsinCBDCD sinBDCs sin所以 BCCBDsin()sin在 Rt ABC 中， A

12、BBC tans tansinACB)sin(18證明：（ ）由題設(shè) AB= AC= SB=SC SA，連結(jié) OA，ABC為等腰直角三角形，所以O(shè) AO BO C2BC，又 SBC為等腰三角形，故 SOBC ，且SA， 且 AO2SO2 SA ，從而 OA2SO2SA22所以為直角三角形，SOAOSOA又AO BO O所以 SO 平面 ABC（）解法一：取 SC 中點(diǎn) M ，連結(jié) AM，OM ，由（）知 SOOC，SAAC ，得 OMSC ，AMSC OMA 為二面角 A SC B 的平面角由 AOBC，AOSO，SOBCO 得 AO平面 SBC所以 AOOM ，又 AM3 SA，2故 sin

13、AMOAO26AM33所以二面角ASCB 的余弦值為33解法二：以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB， OA分別為 x 軸、 y 軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O xyz設(shè) B(10，0) ，則 C ( 1，0，0)， A(0，1，0)， S(0，0，1)SC 的中點(diǎn) M11，2021， 1，1，1，MO0MA12SC(10 1)222 MOSC 0，MASC 0故 MOSC，MASC，MO,MA等 于二 面角A SC B 的平面角cos MO，MAMOMA3MOMA，x B3所以二面角 ASC3B 的余弦值為319解：（）由已知條件，直線l 的方程為ykx2 ，代入橢圓方程得x2(kx2) 2

14、1zSMCOAy2整理得1k 2x222kx 102直線 l 與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k24 1k24k22 0 ，2解得 k2或 k2即 k 的取值范圍為 ，22 ， 2222（）設(shè) P( x1， y1 )， Q ( x2， y2 ) ，則 OPOQ( xx ，yy) ，1212由方程，x1x242k12k 2又y1y2k (x1x2 ) 2 2而 A( 2，0)， B(0，1)，AB(2，1)所以 OPOQ 與 AB 共線等價(jià)于 x1x22( y1y2 ) ，將代入上式，解得k22由（）知k2或 k2k2，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)220解：每個(gè)點(diǎn)落入 M 中的概率均為1p41依題意

15、知 X B 10000，412500（） EX 100004（）依題意所求概率為P0.03X410.03 ，10000P0.03X10.03P(2425X2575)4100002574C10000t0.25t0.7510000tt242625742425C10000t0.25t0.7510000tC10000t0.25t0.7510000 1t2426t 0=0.9570-0.0423=0.914721解：（） f ( x)1，2xxa依題意有 f (1)0 ，故 a32從而 f ( x)2x23x1(2 x1)(x1)x3x322f (x) 的定義域?yàn)?， ，當(dāng)3x 1時(shí)， f ( x)0

16、；22當(dāng) 1x1( x)0 ；時(shí)， f2當(dāng) x1(x)0時(shí)， f2從而， f ( x) 分別在區(qū)間3，1，1， 單調(diào)增加，在區(qū)間， 1單調(diào)減少2212（） f ( x) 的定義域?yàn)?(2x22ax 1a， ) ， f ( x)ax方程 2x22ax1 0 的判別式4a28（）若0，即2 a2 ，在 f (x) 的定義域內(nèi) f ( x)0 ，故 f (x) 的極值（）若0，則 a2 或 a2若 a2 ， x ( 2x1)22， ) ， f (x)2x當(dāng)2時(shí)， f ( x)0 ，當(dāng) x，22 ， 時(shí)， f (x)0，所以 f ( x) 無(wú)x2222極值若 a2 ， x(2x1)2( 2， ) ，

17、f (x)x0 ， f ( x) 也無(wú)極值2（）若0 ， 即 a2 或 a2 ， 則 2x22a x 1 0有 兩 個(gè) 不 同 的 實(shí) 根aa22aa22x12， x22當(dāng) a2 時(shí)， x1a， x2a ，從而f (x) 有 f (x) 的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故f ( x) 無(wú)極值當(dāng) a2 時(shí)， x1a ， x2a ， f ( x) 在 f ( x) 的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知 f( x) 在 x x1， xx2 取得極值綜上，f ( x) 存在極值時(shí)，a 的取值范圍為(2， )f (x) 的極值之和為f (x1) f (x2 )ln( x1a)x12ln( x2 a) x22

18、ln1a211 ln 2 ln e22P22A 解：AO（）證明：連結(jié) OP， OMM因?yàn)?AP 與 O 相切于點(diǎn) P，所以BCOPAP因?yàn)?M 是 O的弦BC 的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC于是 OPAOMA180，由圓心 O 在PAC 的內(nèi)部，可知四邊形APOM 的對(duì)角互補(bǔ)，所以 A， P， O， M 四點(diǎn)共圓（）解：由（）得A，P，O，M 四點(diǎn)共圓，所以O(shè)AMOPM 由（）得 OPAP由圓心 O 在 PAC 的內(nèi)部，可知 OPMAPM90所以 OAMAPM90B 解：解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x 軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。（） xcos ， ysin ，由4cos 得24 cos所以 x2y24