樣條插值的算例三次樣條的概念用一階導數表示的樣條三次樣條的極性PPT學習教案

1、會計學1 樣條插值的算例三次樣條的概念用一階樣條插值的算例三次樣條的概念用一階 導數表示的樣條三次樣條的極性導數表示的樣條三次樣條的極性 例例1. 飛機機翼剖面圖飛機機翼剖面圖 1.1.數據采集數據采集 2/17 2. 數據插值處理數據插值處理 X 0 -0.4552 -0.6913 -0.8640 -0.9689 - 0.9996 Y 0 0.3285 0.3467 0.2716 0.1408 - 0.0160 T=1:6;t=1:.2:6; x=spline(T,X,t); y=spline(T,Y,t); 第1頁/共16頁 例例2:龍格函數的插值逼近龍格函數的插值逼近 3/17 -505

2、 -0.5 0 0.5 1 2 1 1 )( x xf -505 -0.5 0 0.5 1 7結點等距插值結點等距插值 7結點切比雪夫插值結點切比雪夫插值 7結點樣條插值結點樣條插值7結點埃爾米特插值結點埃爾米特插值 -505 0 0.5 1 -505 0 0.5 1 第2頁/共16頁 利用龍格函數的數據表做樣條插值第一步利用龍格函數的數據表做樣條插值第一步 4/17 x-5.0 -3.33 -1.66 0 1.66 3.33 5.0 y0.0380.082 0.264 1.0 0.264 0.082 0.038 m 0.014 -0.0054 0.4142 0. -0.4142 0.0054

3、-0.014 y 0.0140.045 0.233 0 -0.233 -0.045 -0.014 估算結點處導數值估算結點處導數值 mk, 由三對角方程組求解得出由三對角方程組求解得出 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 41 141 141 141 14 F F F F F m m m m m h yy F kk k )(3 11 (k=1，2，3，4，5，6)， h=10/6 第3頁/共16頁 定義定義 5.4 給定區(qū)間給定區(qū)間a , b上的一個分劃上的一個分劃: a = x0 x1 xn = b 已知已知 f(xj) = yj (j = 0,1,n), 如果如果 ,),( ,),(

4、,),( )( 1 212 101 nnn xxxxS xxxxS xxxxS xS 滿足滿足: (1) S(x)在在 xj，xj+ 1上為三次多項式上為三次多項式; (2) S”(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上連續(xù)上連續(xù); (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n). 則稱則稱 S(x)為三次樣條插值函數為三次樣條插值函數. 5/17 第4頁/共16頁 當當xxj , xj+ 1 ( j= 0,1,n-1 )時時 Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3 插值條件插值條件: S(xj) = yj ( j = 0,1,n) 連續(xù)性條件連續(xù)性條件: S(xj+0)

5、=S(xj-0) ( j = 1,n- 1) S(xj+0) =S(xj-0) ( j = 1,n-1) S”(xj+0) =S”(xj-0) ( j = 1,n-1) 由樣條定義由樣條定義,可建立方程可建立方程(4n-2)個！個！ ！ n個三次多項式個三次多項式, 待定系數共待定系數共4n個個！ 方程數少于未知數個數方程數少于未知數個數 ？ 6/17 第5頁/共16頁 (1)自然邊界條件自然邊界條件: S”(x0)=0, S”(xn)=0 例例 5.7 已知已知f(1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1.求求1， 1 上的三次自然樣條上的三次自然樣條(滿足自然邊界條件滿足自然邊

6、界條件). 解解 設設 , , )( 10 01 22 2 2 3 2 11 2 1 3 1 xdxcxbxa xdxcxbxa xS 則有則有: a1+b1c1+d1=1,d1=0, a2+b2+c2+d2=1 d1=d2, c1=c2, b1=b2 (2)周期邊界條件周期邊界條件: S(x0)=S(xn), S”(x0)=S”(xn) (3)固定邊界條件固定邊界條件: S(x0)=f (x0), S(xn)=f (xn) 7/17 第6頁/共16頁 由自然邊界條件由自然邊界條件: 6a1+2b1=0, 6a2+2b2=0 解方程組解方程組,得得 a1=-a2=1/2, b1=b2=3/2,

7、 c1=c2=d1=d2=0 , , )( 10 2 3 2 1 01 2 3 2 1 23 23 xxx xxx xS 問題的解問題的解 -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y= x2 8/17 y= S (x) 第7頁/共16頁 分段分段Hermite插值公式導出的樣條方法插值公式導出的樣條方法 已知函數表已知函數表 x x0 x1 xn f(x) y0 y1 yn 設設 f(x) 在各插值節(jié)點在各插值節(jié)點 xj 處的一階導數為處的一階導數為 mj 取取 xj+1 xj = h，( j = 0,1,2,n).當當 xxj

8、, xj+ 1時 時, 分段分段Hermite插值插值 1 2 1 21 1 2121 2121 j j jj j j j jj j jj m h xx xxm h xx xx y h xx h xx y h xx h xx xS )()( )()()( 9/17 第8頁/共16頁 由由S”(x)連續(xù)連續(xù),有等式有等式: S”(xj + 0)=S”(xj 0) 2 11 )()( h xx xxx j jj 21 21)()( h xx h xx x jj j 21 1 21)()( h xx h xx x jj j 21 )()( h xx xxx j jj 考慮考慮 S”(x) 在區(qū)間在區(qū)

9、間xj , xj+1和和xj-1 , xj上表達式上表達式 . 當當 xxj , xj+1時時, S(x) 由基函數組合而成由基函數組合而成 10/17 第9頁/共16頁 22 1 3 1 22 1 3 62 21 8 2 21 8 hhh xx xx h x hhh xx xx h x j j xx j jjj xx j jjj )()()( )()()( hh xxxx h x hh xxxx h x j j xxjjjj xxjjjj 224 424 2 1 2 1 2 1 2 )()()( )()()( 11 11 )()( )()()0( jjjjjj jjjjjjj mxmx yx

10、yxxS 11/17 第10頁/共16頁 11 22 2466 0 jjjjj m h m h y h y h xS)( jjjjj m h m h y h y h xS 4266 )0( 1 2 1 2 同理同理, ,有有 聯立聯立, ,得得 )( 3 4 1111 jjjjj yy h mmm ( j=1, 2, , n-1 ) 12/17 jjjj m h m h y h y h 4266 1 2 1 2 11 22 2466 jjjj m h m h y h y h 第11頁/共16頁 自然樣條的導數值滿足自然樣條的導數值滿足: 0110 3 2yy h mm 11 3 2 nnnn

11、yy h mm 0 2466 )0( 101 2 0 2 0 m h m h y h y h xS 0 4266 )0( 1 2 1 2 nnnnn m h m h y h y h xS 設自然邊界條件成立設自然邊界條件成立, ,即即 )( 3 4 1111 jjjjj yy h mmm ( j=1, 2, , n-1 ) 13/17 第12頁/共16頁 曲率計算公式曲率計算公式 2/32 )(1( | y y K 15/17 MATLAB樣條命令樣條命令: yi = spline(x, y, xi) x=-5:5;y=1./(1+x.2); xi=-5:0.1:5;f=1./(1+xi.2)

12、; yi=spline(x,y,xi); error=max(abs(yi-f) plot(x,y,o,xi,f,xi,yi,r) error = 0.0220 -505 0 0.5 1 第13頁/共16頁 樣條插值函數的極性樣條插值函數的極性 設設f(x)C2a, b, 對于對于a = x0 x1 xn = b,有有 f(xj)=yj(j=0,1,n).S(x)是滿足是滿足 S(xj)=yj(j=0,1,n) 的三次自然樣條的三次自然樣條.則有則有 |S”(x)|f”(x)| b a dxxSxfxSxf 22 )()(|)()(| 證明證明 : b a b a b a dxxSdxxSxfdxxf 22 2)()()()( 22 2|)()()(|SdxxSxS