48復數(shù)中方程問題

1、三、復數(shù)中的方程問題【教學目標】1. 掌握判別式小于零的實系數(shù)一元二次方程的復數(shù)根的求法.2. 掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系并能用于解決一些方程根的問題.3. 在解決問題的過程中體會轉(zhuǎn)化與分類討論的數(shù)學思想的應用.【教學重點】一元二次方程的根的討論.【教學難點】含字母系數(shù)的方程根的情況的討論，X3 1的根的應用.【教學過程】一.知識整理1.實系數(shù)一元二次方程的根的情況設方程ax2 bx c 0 ( a , b , c R且a 0 ),判別式 b 2 4ac(1)當厶 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：b 、,b 4acb4acXI2a，X22a(2)當厶0時,方程有兩個相等的實數(shù)根：bxiX2

2、2a(3)當厶0時,方程有兩個共轆虛根：b4acb 2 ibx 4ac b 2 iXl2a，X22a2.代數(shù)式a2 b2 (a ,b R )的因式分解利用丨Z I2zz,有a 2b2(a bi)( abi)3.復系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)的關系設方程ax2 bx c 0 ( a , b , c C且a 0 )的兩個根為xi , X2 ,則bxi X2 aCXI X2 一a4.方程x31的根方程31有三個根，1, X21V i X31i 若記XX1222 2則有性質(zhì):31(32 22 0.二例題解析【屬性】高三，復數(shù),復數(shù)集中的因式分解，解答題,易，運算【題目】在復數(shù)范圍內(nèi)分解因式.(1) a4

3、b4 ；(2)丄 X2 x 3 .2【解答】(2 2)(2 2) ( )()( )( )ababa b a b a bia bi .31( X22x 6)(X 1)2 需)2225)(1P)7 iX i解：(1)4a b(2)丄乂2 x21( 12 x【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，易，運算【題目】(1) 若3 2i是實系數(shù)方程2x2 bx c 0的根，求實數(shù)b與c；(2) 若3 2i是方程2x2 bx c 4i 0的根，求實數(shù)b與c.【解答】(32i)(3 2i)b解；(1)由題意，3 2i是方程的另一根，則2 ,(32i)(32i)c2所以b12 , c 26 .(2)將3

4、2i代入方程得2(32i)2b(32i) c 4i 0 ,整理得,(10 3b c) (20 2b)i 0,所以10 3b c 010,解得20 2b 0c 20【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，中，運算【題目】(1)已知 X? X 1 0,求 x X40X50 的值.2(2)若 a1710 ,求 a17?的值.【解答】10,得 x_4 i，所以爪 1,1 X x2(2)由a2 a1 0 ,得 a丄2當a-1i時，則a(22-L-L,所以a】？-J-a】？2rza 17同理可得，當a丄Li時,也有所以 X30X40X502 2/i,2L i ) , a31, a17()1722(2

5、) 1 a17k1.0 ai?17【屬性】高三,復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，證明題，中，邏輯思維【題冃】證明：在復數(shù)范圍內(nèi)，方程 Izl(1 i)z (1 l)z$（i為虛數(shù)單位）無解.2【解答】證明：原方程化簡為lz|2 （1i)z (1 i)z1 3i,設zx yi ( x , y R ),代入上述方程，得x2y2 2xi2yi 13i,所以 x?y21,消去y ,整理得2x2y38x212x 5 0 ,此方程的判斷式厶（12）2 485160,故x無實數(shù)解.所以，原方程在復數(shù)范圍內(nèi)無解.【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，難，分析問題解決問題【題目】已知關于x的二次方程x2 (2a

6、 l)x a 20有虛根，且此根的三次方是實數(shù)，求實數(shù)a的值.【解答】解法一：設方程的虛根為所以方程的虛根為 m(l爲)，由根與系數(shù)的關系,2m(2a4m21),消去m ,得4a2 4a 1 a 2 ,4a 23a 1 0 ,解得a-L4解法二：設方程的虛根為則另一虛根為Z2因為zi3 R 所以zi3zi3Z133Z2， zrZ2 )(Z12zi Z2 Z22 ) 0 ,因為ZI Z2 ,所以ZI2zi Z2Z22zi Z2 ,由根與系數(shù)的關系,(2a 1)2 a 2 , 4a3ani) 3為實數(shù)，得n JJm ,三課堂反饋【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，易，運算【題目】若3 2

7、i是方程2x2 bx c 0 ( b , c R )的一個根，貝ij c 【解答】答案：26【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，易，運算【題目】已知2 ai, b i是實系數(shù)一元二次方程x2 px q 0的兩根，則 p q 【解答】答案：4 , 5【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，易，運算【題目】若 是方程*1的一個虛根，則(12 )(12)【解答】答案：4【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，中，運算【題目】在復數(shù)范圍內(nèi)解方程：lz|2 (z )i 3 (i為虛數(shù)單位)2 i【解答】解：原方程化簡為Izl?(z z)i 1 i ,設 zx yi ( x , y

8、R ),代入上述方程，得2 2x2 y21X12xy 2xi 11，所以2x1，解得yi2所以，原方程的解為 Z-4*1或z42222四.課堂小結(jié)1.實系數(shù)一元二次方程，在判別式小于零時,有一對共轆虛根(虛根成對)利用這一點,在己知一根的情況下，就可以知道另一根，再結(jié)合根與系數(shù)的關系，就使問題得到簡化.2.由于實系數(shù)一元二次方程在復數(shù)范圍必有兩根，因此在復數(shù)范圍內(nèi)二次多項式的因式分解一定可以分到一次式的乘積.3.如果方程的系數(shù)含有虛數(shù)，則不能用來判斷方程有無實根，共轆虛根定理也不成立，但根與虛數(shù)的關系仍成立.這類題如果給出方程有實根的條件，可用復數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為 實數(shù)方程組求解.所以說，

9、復數(shù)問題實數(shù)化總是解決復數(shù)問題的基本策略.五.課后作業(yè)【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)集中的因式分解，填空題，易，運算【題目】在復數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(!) X22x 16(2) X22x cos1【解答】答案：(1)(x 1廬)(X 1 廬)(2) (x cos i sin )(x cos i sin )【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，易，運算【題目】設一元二次方程2x 2 ax b 10 ( a , b R )的一個虛根是1 i,則實數(shù)a , b.【解答】答案：4 , 3【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)開平方問題，填空題，易，運算【題目】復數(shù)3 4i的平方根為.【解答】答案：2 i, 2 i【

10、屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，易，運算【題目】已知方程x 2(4 i) x 4 ai 0 ( a R)有實根b ,且z a bi ,求z 【解答】解：z 2 2i.【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，選擇題，中，運算【題目】方程z Izl 1 3i中z的解是()2 21 3B. _ ic. 4 3iD. 4 3i2 2【解答】答案：C【屬性】高三,復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，中，邏輯思維【題目】2x0有無實數(shù)根，并給已知實數(shù)P滿足不等式10，試判斷方程z2 2z 5p 2出x 2證明.【屬性】高三，復數(shù),復數(shù)中的方程問題，解答題，中，運算【解答】解；由已知2 pT,所以丁

11、p 2 4,所以方程z 2 2z 5 p2 0的判別式24A 4 4(5p2)4( p 24) 0 ,所以原方程無褸根.【題目】在復數(shù)范圍內(nèi)解方程 x363x2 2x 【解答】解：把原方程化為X31 3x22x5(x 1)(x2 x1)l)(3x 5),(x 1)( x 2 4x 6) 0,解得 xi1,X3rX 2i.【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，難，分析問題解決問題【題目】已知關于x的方程x2 x m 0 ( m R )的兩根為、.(1) 若丨I 3,求m的值；(2) 若丨 丨丨丨3，求m的值.【解答】解：(1)因為I卩 9 ,所以 I ()2419,11 4m I 9 ,

12、5(2)當、 為實數(shù)，即1 4m0 , m 時，4(1 1 1I)2922 2 11 9()222 11 91 2m2 1ml 9 ,當 01m _時無解；當m 0時，m2當41 -、 為一對共覘虛數(shù)時，即m 時，由11 11 3 ,可知41丨3則m丨I2 s .22或m 丿4綜上，m解得m1或 m 2 24【題目資源】【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)集中的因式分解，解答題，易，運算【題目】1.在復數(shù)范圍內(nèi)分解因式(1)X416 ；(2)X22x(3)X38【解答】解：(1) X416 (x24)( x 24)(X2)( x 2)( x 2i)( x 2i).(2) 2 25 (I)2 22(12 )

13、( 1 2)XXXXi xi .(3)383 23(2)(2 24) (2)(1 “)(1 g )XXXXXxxi xi2.若實系數(shù)一元二次方程 x2 ax b 0有一個虛根為2i,則a , b【解答】答案：0 , 4【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，易，運算【題目】關于復數(shù)Z的方程I z I2 2zi 1 2i的解集是.【解答】答案： 1 ,1 2i 【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，易，運算【題目】方程x2 kx 20有一個根是1 i,則它的另一個根是 【解答】答案：1 i【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，易，運算【題目】a為實數(shù)，方程2x2 8x a

14、10的一個虛根的模是 5 ,則a【解答】答案：9【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，選擇題，易，運算【題目】方程Z? Izl 0的復數(shù)解有（）A. 1個 B 2個C 3個 D.無數(shù)個【解答】答案：C【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，易，運算【題目】已知方程30 ( a ,）有一個根為 x ax bb R1(1)求 a ,b滿足的關系式；（2）若此方程的另兩個根為虛數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【解答】1.解：(1)由題意，la b 0 ,即a b(2)由(1) , b a 1,故方程變?yōu)?x3 ax a 1 0 ,即(x 1) a( x 1) 0 ,(x l)(x2 x 1) a(x

15、1) 0 , (x 1)( x2 x 1 a) 0 ,0所以方程的另兩根就是方程X2 X 1 a的兩根，故公 0,即1 4(1 a) 0 , a所以，實數(shù)a的取值范圍是3 ,44【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，易，運算【題目】已知方程x 2 4x k 0有一個虛數(shù)根為1 2i,求k的值.【解答】解：由X 2 4xk 0,得 kx2 4x,將 x 1 2i 代入，得 k 7 4i .【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，填空題，中，運算【題目】設、是方程x 2 7 x m 0的兩個虛根，且丨丨丨丨8 ,則實數(shù)m.【解答】答案：16由題意，、 是共轆虛數(shù)，所以 2 1 18,1丨4,

16、于是丨I216,即m 16.【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，中，運算【題目】已知關于x的方程ax? (1 2i)x 2a(l i) 0有實根，求實數(shù)a的值.【解答】解：設方程實根為 X0 ,則ax()2 (1 2i )X0 2a(l i)0 , 即(axo2 xo 2a) (2xo 2a)i 0 ,所以 axo2 xoxo a2a 0,所以xo0【屬性】高三,復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題,中，邏輯思維【題冃】若虛數(shù)z滿足z3，求z2 2z 3的值.【解答】解：由已知，z3z3 23 ( z 2)( z2 2z 4) 0 ,因Z為虛數(shù)，故z2所以z2 2z1.【屬性】高三,復數(shù)，

17、復數(shù)中的方程問題，解答題，中,邏輯思維【題冃】在復數(shù)范圍內(nèi)解關于X的方程X?5 1x16 0 .【解答】解：若x為實數(shù)，則原方程可化為(I x I 2)(1 x I 3)解得若X為虛數(shù)，設Xbi(a bi) 2 5V a 2 b 260,所以a 2 b2 審a 2 b22ab 0b2(I b I 6)(1 b I 1)0 , b所以，原方程的解為 2 ,2,3,【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題,解答題，中,運算a 3 3a 0 ,解得a 0或a【題目】解關于Z的方程I Z I Z1 2i解：原方程可化為Izl z 2 4i ,設z a bi ( a , b R ),則原方程可化為4；a z

18、F2(a bi)2 4i x，a2 b2，解得a 3 , b 4 .b 4所以，原方程的解z 3 4i.【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，中，運算【題目】方程 x2 (tan i )x ( 2i)0中，為銳角,若實數(shù)a是方程的一個解,求與a的值.【解答】解：由題意，a 2(tani)a (2i) 0 , a2atan2(a l)i 0,所以“ 2a0tan2,解得a10a1 tan1所以，；，a 1.【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，中，邏輯思維【題目】【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題,解答題，難，邏輯思維已知復數(shù)w滿足w 4 (3 2w)i , z1 w2 1 ,

19、求一個以z為根的實系數(shù)一元二次方程.w【解答】5所以 z 1 i 1 3 i ,解：由W4 (32w)i ,所以 w(l 2i)43i ,w 21 ,2 i故另一根為3 i ,設所作方程為x2 px q0 ,則p(3 i)(3 i)6 ,q (3 i)(3i)10 ,所以所求方程為 x26x100【題目】關于x的實系數(shù)方程2x2 3ax a2 a 0至少有一個模為1的根，求實數(shù)a的值.【解答】解：當根X為實數(shù)時，9a28 (a 2a)0 , a28a 0 ,a8 或0 .由丨X 1 1X1當X1時，a 22a2 0 , a 無實數(shù)解；當x 1時，a 2 4a2 0 ,解得a2當根x為虛數(shù)時，8

20、a0, 1 x 11 2XX1 ,即廠 01, a a 2，解2得a 1或a 2 (舍去).綜上，a 1,或玄2 丿2或玄2 41 .【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，難，邏輯思維【題目】若z C ,關于x的一元二次方程 x2 zx 4 3i 0有實根，求復數(shù)z的模的最小值.【解答】解：zx x23i,當x 0時，此等式不成立，故x 0.所以,3z x -4 I z lx2 2 43-：x2 -25 82 X* x2*25 一 8 3y/2x2所以，當X225 , x 活時，丨z I取最小值32 x2【屬性】高三，復數(shù)，復數(shù)中的方程問題，解答題，難,分析問題解決問題【題目】已知 ABC頂點為直角坐標分別為A( a , 4) , B(0 , b),c(C , 0)若虛數(shù)x 2 ai0 )是實系數(shù)一元二次方程x2 ex 50的根，且A是鈍角，求b的取值范圍.【解答】0解：由已知，虛數(shù)x 2ai也是實系數(shù)一元二次方程 x 2ex 5的根，所以(2 ai) (2 ai)c(2 ai)(2 ai)5 ，解得;a 1 , c 4，則 A、C的坐標為A(1,4),C4,0),所以更 (1 , b4)，AC(3 ,4),因 A是鈍角，故忑XE134b 0 ,又當Ab7 AC