人船模型必修精品精編版.doc

1、人船模型之一“人船模型” ，不僅是動量守恒問題中典型的物理模型，也是最重要的力學(xué)綜合模型之一對“人船模型”及其典型變形的研究，將直接影響著力學(xué)過程的發(fā)生，發(fā)展和變化，在將直接影響著力學(xué)過程的分析思路，通過類比和等效方法，可以使許多動量守恒問題的分析思路和解答步驟變得極為簡捷。1、“人船模型”質(zhì)量為 M的船停在靜止的水面上，船長為L，一質(zhì)量為 m的人，由船頭走到船尾，若不計(jì)水的阻力，則整個過程人和船相對于水面移動的距離？m分析： “人船模型”是由人和船兩個物體構(gòu)成的系統(tǒng)；該LM系統(tǒng)在人和船相互作用下各自運(yùn)動，運(yùn)動過程中該系統(tǒng)所LM受到的合外力為零； 即人和船組成的系統(tǒng)在運(yùn)動過程中總yx動量守恒。

2、解答： 設(shè)人在運(yùn)動過程中，人和船相對于水面的速度分別為和 u，則由動量守恒定律得：mv=Mu由于人在走動過程中任意時刻人和船的速度和 u 均滿足上述關(guān)系，所以運(yùn)動過程中，人和船平均速度大小和 u也應(yīng)滿足相似的關(guān)系，即um =M而x ， uy ，所以上式可以轉(zhuǎn)化為：mx=Mytt又有， x+y=L, 得：xMymLLmMmM以上就是典型的 “人船模型” ，說明人和船相對于水面的位移只與人和船的質(zhì)量有關(guān)，與運(yùn)動情況無關(guān)。該模型適用的條件：一個原來處于靜止?fàn)顟B(tài)的系統(tǒng)，且在系統(tǒng)發(fā)生相對運(yùn)動的過程中，至少有一個方向( 如水平方向或者豎直方向) 動量守恒。2、“人船模型”的變形變形 1：質(zhì)量為 M的氣球下

3、掛著長為L 的繩梯，一質(zhì)量為m的人站在繩梯的下端，人和氣球靜止在空中，現(xiàn)人從繩梯的下端往上爬到頂端時，人和氣球相對于地面移動的距離？分析： 由于開始人和氣球組成的系統(tǒng)靜止在空中，豎直方向系統(tǒng)所受外力之和為零，即系統(tǒng)豎直方向系統(tǒng)總動量守恒。得：mx=Myx+y=L這與“人船模型”的結(jié)果一樣。1變形 2：如圖所示，質(zhì)量為 M的 1 圓弧軌道靜止于光滑水平面上，軌道半徑為R，今把質(zhì)量為m的小球4自軌道左測最高處靜止釋放，小球滑至最低點(diǎn)時，求小球和軌道相對于地面各自滑行的距離？分析：設(shè)小球和軌道相對于地面各自滑行的距離為x 和 y，將小球和軌道看成系統(tǒng)，m該系統(tǒng)在水平方向總動量守恒，由動量守恒定律得：

4、mx=MyMx+y=Lyx這又是一個“人船模型”。3、“人船模型”的應(yīng)用“等效思想”m1Lm2M如圖所示，長為L 質(zhì)量為 M的小船停在靜水中，船頭船尾分m別站立質(zhì)量為m1、 m2（ m1m2）的兩個人，那么，當(dāng)兩個人互換位置后，船在水平方向移動了多少？M mM 分析： 將兩人和船看成系統(tǒng)，系統(tǒng)水平方向總動量守恒。本題可以理解為是人先后移動，但本題又可等效成質(zhì)量yx為 m( m m1 m2 ) 的人在質(zhì)量為 M M 2m2 的船上走，這樣就又變成標(biāo)準(zhǔn)的“人船模型”。解答：人和船在水平方向移動的距離為x 和 y，由動量守恒定律可得：mxM yxyL 這樣就可將原本很復(fù)雜的問題變得簡化。“人船模型”

5、和機(jī)械能守恒的結(jié)合如圖所示，質(zhì)量為M的物體靜止于光滑水平面上，其上有一個半徑為R的光滑半圓形軌道，現(xiàn)把質(zhì)量為m的小球自軌道左測最高點(diǎn)靜止釋放，試計(jì)算：mM1擺球運(yùn)動到最低點(diǎn)時，小球與軌道的速度是多少?2軌道的振幅是多大?2分析： 設(shè)小球球到達(dá)最低點(diǎn)時，小球與軌道的速度分別為v1 和 v2，根據(jù)系統(tǒng)在水平方向動量守恒，得：mv1Mv2又由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得： mgR1 mv21 Mv2解得： v12MgR ， v2m2MgR2122m MMm M當(dāng)小球滑到右側(cè)最高點(diǎn)時，軌道左移的距離最大，即振幅A。 由“人船模型”得：mxMyxy2RM2R ， ym解得： x2Rm MmM即振幅 A為： Am2R

6、mM例 1質(zhì)量是M，長為 L 的船停在靜止水中，若質(zhì)量為m 的人，由船頭走向船尾時，人行走的位移和船的位移是多少？解：不考慮水的粘滯阻力，人和船組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力，系統(tǒng)在水平方向動量守恒，則M船m 人人進(jìn)船退，人停船停，人由船頭走向船尾的這個過程中，始終滿足式，則全過程有S船船船mS人S人M人人又S船S人LS船由得，S船mLMm例 2一長為 L ，質(zhì)量為 M 的船上兩端分別站有甲、乙兩人， 質(zhì)量分別為 m 甲 和 m 乙當(dāng)兩人交換位置后，船移動距離多大？其中m 甲 m 乙解：（方法一）先作出如右草圖，解法同上面例1，m甲 甲m乙 乙MSm甲 S甲m乙 S乙MSS甲SLS乙SS甲L由得

7、，Sm甲m乙S乙LMm甲m乙3（方法二）等效法：把（m甲m乙 ）等效為一個人，把（ M2m乙 ）看成船，用例1 結(jié)論，即得m甲m乙L到 Sm甲Mm乙說明：無論甲、乙誰先走還是同時走，無論在運(yùn)動過程中誰的速度大誰的速度小，也無論誰先到達(dá)船的另一頭，最終的結(jié)果，船移動的方向和距離都是唯一確定的。例 3小車靜置在光滑水平面上，站在車上的人練習(xí)打靶，靶裝在車上的另一端。已知車、人、槍和靶的總質(zhì)量為 M（不含子彈） ，每顆子彈質(zhì)量為 m，共 n 發(fā)。打靶時，每發(fā)子彈打入靶中，就留在靶里，且待前一發(fā)打入靶中后，再打下一發(fā)。若槍口到靶的距離為d，待打完 n 發(fā)子彈后，小車移動的距離為_ 。解：等效為人船模型

8、，總質(zhì)量為nm 的子彈，運(yùn)動到小車的另一端，則小車移動的距離可直接由例1 結(jié)論得到， S車nmdM nm例 4如圖所示 ,一輛小車靜止在光滑水平面上在C、D 兩端置有油灰阻擋層 ,整輛小車質(zhì)量 1 ,在車的水平底板上放有光滑小球A 和 B,質(zhì)量分別為 mA =1 ,mB=3 ,A 、B 小球間置一被壓縮的彈簧 ,其彈性勢能為 6J,現(xiàn)突然松開彈簧 ,A 、B 小球脫離彈簧時距C、D 端均為 0.6m.然后兩球分別與油灰阻擋層碰撞,并被油灰粘住 ,問：(1) A 、 B 小球脫離彈簧時的速度大小各是多少?(2) 整個過程小車的位移是多少?解：（ 1）以向左為正方向mAAmBB01m A212E

9、p2AmBB2由得，A3m / sB1m / s（ 2）（方法一） A 以A 3m / s 向左運(yùn)動，經(jīng)0.2s 和 C 碰撞時， B 只前進(jìn)了0.2 m ，離 D 還有 0.4 m ，A 和 C 碰撞，水平方向動量守恒m AA(mAm)AC解得，AC1.5m / s碰后瞬間， A 和 C 就以共同速度AC1.5m / s 向左運(yùn)動， B 繼續(xù)以 B1m / s的速度向右運(yùn)動。B 再經(jīng) t0.4m0.16s 與 D 相碰。則整個過程小車的位移是1m / s1.5SAC t0.24m（方法二）等效為“人船模型”的例2，注意這里的“船長”為“ L=0.6m” . 則 ，mBmA310.24mSmA

10、 mBL0.6mm車1 134圖 2 中，輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B 相連， B 靜止在水平直導(dǎo)軌上，彈簧處在原長狀態(tài)。另一質(zhì)量與B 相同滑塊 A，從導(dǎo)軌上的 P 點(diǎn)以某一初速度向B 滑行，當(dāng) A 滑過距離 l1 時，與 B 相碰，碰撞時間極短，碰后A 、 B 緊貼在一起運(yùn)動，但互不粘連。已知最后 A 恰好返回出發(fā)點(diǎn)P 并停止，滑塊 A 和 B 與導(dǎo)軌的滑動摩擦因數(shù)都為，運(yùn)動過程中彈簧最大形變量為l2，重力加速度為 g，求 A 從 P 出發(fā)時的初速度v0。圖 2解析：令 A、B 質(zhì)量皆為m， A 剛接觸 B 時速度為 v1（碰前）由功能關(guān)系，有 1 mv021 mv12mgl122A、

11、B 碰撞過程中動量守恒，令碰后A、 B 共同運(yùn)動的速度為v2有 mv12mv2碰后 A、 B 先一起向左運(yùn)動，接著A、 B 一起被彈回，在彈簧恢復(fù)到原長時，設(shè)A、 B 的共同速度為v3，在這一過程中，彈簧勢能始末狀態(tài)都為零，利用功能關(guān)系，有1 ( 2m) v221 (2m)v32( 2m) g (2l 2 )22此后 A、 B 開始分離， A 單獨(dú)向右滑到 P 點(diǎn)停下，由功能關(guān)系有1mv32mgl12由以上各式，解得(1016 )v0g l1l 2用輕彈簧相連的質(zhì)量均為2kg 的 A 、 B 兩物塊都以 v6m / s 的速度在光滑的水平地面上運(yùn)動，彈簧處于原長，質(zhì)量為4kg 的物體 C 靜止

12、在前方，如圖 3 所示， B 與 C 碰撞后二者粘在一起運(yùn)動。求：在以后的運(yùn)動中，圖 3（ 1）當(dāng)彈簧的彈性勢能最大時物體 A 的速度多大？（ 2）彈性勢能的最大值是多大？（ 3） A 的速度有可能向左嗎？為什么？解析：（ 1）當(dāng) A、B、C三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大，由于A、B、C 三者組成的系統(tǒng)動量守恒，有 (m A m B ) v(m A m B m C )v A解得： vA3m / s（2） B、 C 碰撞時 B、C 組成的系統(tǒng)動量守恒，設(shè)碰后瞬間B、 C 兩者速度為 v ，則m B v (m BmC )v， v 2m / s設(shè)物塊 A 速度為 vA時彈簧的彈性勢能最大為E ，

13、根據(jù)能量守恒P5EP1 ( mBmC ) v 21 mA v21 ( mAmB mC )vA212 J222（3）由系統(tǒng)動量守恒得m A v mBv mA vA ( mBmC ) vB設(shè) A 的速度方向向左，vA0 ，則 vB4m / s則作用后 A、B、 C 動能之和Ek1 mA vA21 ( mBmC )vB248J22實(shí)際上系統(tǒng)的機(jī)械能EEP1 ( mAmBmC )vA248J2根據(jù)能量守恒定律，EkE 是不可能的。故 A 不可能向左運(yùn)動。作業(yè)評價如圖 4 所示，在光滑水平長直軌道上，A、B 兩小球之間有一處于原長的輕質(zhì)彈簧，彈簧右端與 B 球連接，左端與A 球接觸但不粘連，已知m Am

14、 ， mB 2m ，開始時 A 、B2均靜止。在 A 球的左邊有一質(zhì)量為1 m 的小球 C 以初速度 v0 向右運(yùn)動，與 A 球碰撞后粘連2在一起，成為一個復(fù)合球 D，碰撞時間極短，接著逐漸壓縮彈簧并使 B 球運(yùn)動，經(jīng)過一段時間后， D 球與彈簧分離（彈簧始終處于彈性限度內(nèi)） 。圖 4（ 1）上述過程中，彈簧的最大彈性勢能是多少？（ 2）當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時 B 球速度是多大？（ 3）若開始時在 B 球右側(cè)某位置固定一塊擋板（圖中未畫出） ，在 D 球與彈簧分離前使 B 球與擋板發(fā)生碰撞，并在碰后立即將擋板撤走，設(shè) B 球與擋板碰撞時間極短，碰后 B 球速度大小不變，但方向相反，試求出此后彈簧的彈

15、性勢能最大值的范圍。人船問題說明：若系統(tǒng)在全過程中動量守恒（包括單方向） ，則這一系統(tǒng)在全過程中的平均動量也必定守恒。推導(dǎo)：若兩物體組成的系統(tǒng)相互作用前靜止，則有：0 = m1?v1 + m2?v2 即： m1?|S1|= m2?|S2|例 1. 靜止在水面上的船長為 L ，質(zhì)量為 M，一個質(zhì)量為 m 的人站在船頭，當(dāng)此人由船頭走到船尾時，船移動了多大距離？分析： 將人和車作為系統(tǒng)，動量守恒，設(shè)車向右移動的距離為s 船=s，則人向左移動的距離為s 人 =L，取向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律可得 （ ） 0，從而可解得s.注意在用位移表sM sm L s示動量守恒時，各位移都是相對地面的，并在選

16、定正方向后位移有正、負(fù)之分。6msLMm說明：（ 1）此結(jié)論與人在船上行走的速度大小無關(guān)。不論是勻速行走還是變速行走，甚至往返行走，只要人最終到達(dá)船的左端，那么結(jié)論都是相同的。（ 2）做這類題目，首先要畫好示意圖，要特別注意兩個物體相對于地面的移動方向和兩個物體位移大小之間的關(guān)系。（ 3）以上所列舉的人、船模型的前提是系統(tǒng)初動量為零。如果發(fā)生相互作用前系統(tǒng)就具有一定的動量，那就不能再用m1v1=m2v2 這種形式列方程，而要利用（m1+m2） v0= m1v1+ m2v2 列式。例 2. 在光滑水平面上靜止著一輛長為 L 的小車，其一端固定著靶牌，另一端有一人手拿手槍站在車上，車、靶、人（不含

17、子彈）總質(zhì)量為 M，如圖。人開槍，待子彈射中靶牌后再開槍，每發(fā)子彈均留在靶中，這樣將槍中 N 發(fā)質(zhì)量為 m 的子彈全部射出。求：在射擊過程中車的位移多大？要點(diǎn)： 由守恒，知道每一次子彈打入靶中時刻，車的速度都是零。分析：解法 1：與 N發(fā)齊發(fā)等同，即：N?m?v1 + M ?v2 = 0而 t=L/（ |v1|+|v2 |）且 |S1|=|v1|?t ， |S2|=|v2|?t |S1|+|S2|=LNmL聯(lián)立解得： S1NmM解法 2：設(shè)第一顆子彈射出后船的后退速度為v1 ，每發(fā)效果相同，即：m?v1 = M+（ N 1） m?v1在時間 t 內(nèi)船的后退距離s1= v1t子彈前進(jìn)的距離 d=

18、 v 1 t如圖 L= d+s1，即 L= v 1 t + v1t子彈全部射出后船的后退距離S1=N?s1NmL聯(lián)立解得： S1NmM小結(jié)： 對本題物理過程分析的關(guān)鍵，是要弄清子彈射向靶的過程中，子彈與船運(yùn)動的關(guān)系，而這一關(guān)系如果能用幾何圖形加以描述， 則很容易找出子彈與船間的相對運(yùn)動關(guān)系。 可見利用運(yùn)動的過程草圖，幫助我們分析類似較為復(fù)雜的運(yùn)動關(guān)系問題，是大有益處的。解題方法指導(dǎo)例題 3、質(zhì)量為 M 的平板車在光滑的水平面上。車平臺高是h=1.25 米，車以 V0=4m/s 的7速度向右運(yùn)動。某時刻質(zhì)量為 m=M/2 的木塊輕放在車的右端， m 落地時距平板車左端 S=0.5 米。求：（1）

19、木塊離開平板車時平板車和木塊的速度；（2）若平板車長 L=2 米，則平板車與木塊間的動摩擦因數(shù)是多少？解析：（ 1） M、 m在相對運(yùn)動的過程中，系統(tǒng)不受外力，所以系統(tǒng)動量守恒。木塊離開平板車后做平拋運(yùn)動，木塊落地時距平板車左端的距離就是木塊的水平位移與平板車的位移的和。由系統(tǒng)動量守恒：MV 0=MV1 mV2由運(yùn)動學(xué)知識知：h=1/2 gt 2S= V1 t + V 2t解以上三式得：V1=3 /V2= 2/（負(fù) 2說明木塊速度是向前的）m sm s（ 2）由能量守恒知：= 102 112122mgLMVMV2mV22解以上式子得：=0.25小結(jié)：（ 1）解此類問題，關(guān)鍵是要看清系統(tǒng)動量是否

20、守恒，特別注意地面是否光滑。從而判斷能否用動量守恒列方程。如不守恒往往要用動量定理和動能定理。（ 2）要注意兩物體間運(yùn)動時間的關(guān)系、位移關(guān)系、能量關(guān)系及其與對應(yīng)功的關(guān)系。（ 3）滑動摩擦力和相對位移的乘積等于摩擦生的熱。這是常用的一個關(guān)系。課后作業(yè)1、如圖所示，一車廂長度為L、質(zhì)量為 M，靜止于光滑的水平面上，車廂內(nèi)有一質(zhì)量為 m 的物體以初速度 v0 向右運(yùn)動，與車廂來回碰撞 n 次后靜止于車廂中，這時車廂的速度為A. v0，水平向右B. 零mv0mv0C.D.MmMm2、一門舊式大炮，炮身的質(zhì)量為 M，射出炮彈的質(zhì)量為 m，對地的速度為 v，方向與水平方向成 角，若不計(jì)炮身與水平地面的摩擦

21、，則炮身后退速度的大小為A. mv/ MB. mvcos/ MC. mv cos/( Mm)D.mvcos/( Mm)3、質(zhì)量相等的三個小球a、b、 c 在光滑的水平面上以相同的速率運(yùn)動，它們分別與原來靜止的三個球 A、B、C 相碰（ a 與 A 碰， b 與 B 碰，c 與 C 碰）。碰后， a 球繼續(xù)沿原來的方向運(yùn)動， b 球靜止不動， c 球被彈回而向反方向運(yùn)動。這時， A、B、C 三球中動量最大的是A.A球B.B球C. C 球D. 由于 A、 B、 C 三球的質(zhì)量未知，無法判定4、一平板小車靜止在光滑水平面上，車的右端安有一豎直的板壁，車的左端站有一持槍的人，此人水平持槍向板壁連續(xù)射擊，子彈全部嵌在板壁內(nèi)未穿出，過一段時間后停止射擊。則A. 停止射擊后小車的速度為零B. 射擊過程中小車未移動C. 停止射擊后，小車在射擊之前位置的左方D. 停止射擊后，小車在射擊之前位置的右方5、質(zhì)量相等的 A、B 兩球在光滑水平面上沿同一直線、向同一方向運(yùn)動， A 球的動量為 7 kgm/s，B 球的動量為 5 kgm/s，當(dāng) A 球追上 B 球發(fā)生碰撞后， A、 B 兩球的動量可能為A. pA=6 kgm/spB=6 kgm/sB. pA