[專升本(國家)考試密押題庫與答案解析]專升本高等數(shù)學(xué)(一)分類模擬常微分方程(一)

1、專升本(國家)考試密押題庫與答案解析專升本高等數(shù)學(xué)(一)分類模擬常微分方程(一)專升本(國家)考試密押題庫與答案解析專升本高等數(shù)學(xué)(一)分類模擬常微分方程(一)專升本高等數(shù)學(xué)(一)分類模擬常微分方程(一)一、選擇題問題:1. 下列方程為一階線性微分方程的是_a.(y)2+2y=xb.y+2y2=xc.y+y=xd.y+y=x答案:c解析 本題主要考查微分方程的有關(guān)概念一階線性微分方程要求方程中所含有關(guān)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為一階的，且未知函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)均為一次冪(答案為c)問題:2. 微分方程的通解是_ a. b. c. d. (其中c為任意常數(shù)) 答案:d解析 利用直接積分法可求得給定線

2、性微分方程的通解 (答案為d) 問題:3. 微分方程y=y的通解是_a.y=c1+c2exb.y=ex+e-xc.y=c1ex+c2e-xd.y=cex+ce-x(其中c，c1，c2為任意常數(shù))答案:c解析 已知微分方程y=y為二階線性微分方程，其通解中應(yīng)含兩個獨(dú)立的任意常數(shù)c1，c2選項b、d中的函數(shù)不含有任意常數(shù)或者只含有一個任意常數(shù)，所以選項b、d是錯誤的，應(yīng)篩去 選項a中，y=c1+c2ex中含有兩個任意常數(shù)，通過求導(dǎo)可得y=c2ex，y=c2ex，代入微分方程y=y，等式關(guān)系不成立，因此y=c1+c2ex不是微分方程y=y的通解 選項c中，y=c1ex+c2e-x中含有兩個任意常數(shù)，

3、通過求導(dǎo)得y=c1ex-c2e-x，y=c1ex+c2e-x，代入微分方程y=y，等式關(guān)系成立，因此y=c1ex+c2e-x是微分方程y=y的通解(答案為c) 問題:4. 微分方程滿足初始條件y|x=1=1的特解是_a.y=exb.y=e-xc.y=ex-1d.y=e1-x答案:d解析 本小題主要考查可分離變量方程的解法， 分離變量 ， 兩邊積分，得 lny=-x+c1， 即原方程的通解為y=ce-x(其中) 將初始條件y|x=1代入通解，得c=e， 所求特解為y=ee-x=e1-x(答案為d) 問題:5. 微分方程y=y的通解為_a.y=c1+c2e2xb.y=c1+c2exc.y=c1+c

4、2xd.y=c1x+c2x2答案:b解析 已知方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其相應(yīng)的齊次方程的特征方程為 r2-r=0，特征根r1=0，r2=1，故原方程的通解為y=c1+c2ex(答案為b) 問題:6. 下列方程為一階線性微分方程的是_a.y+xy3=xb.xy+y=x3c.yy+xy=sinxd.y+5y-6y=xe-x答案:b問題:7. 微分方程y=的通解是_ a b c d(其中c為任意常數(shù)) 答案:b問題:8. 微分方程y+xy=0的通解是_ a b c dy=(其中c為任意常數(shù)) 答案:a問題:9. 微分方程ylnxdx=xlnydy滿足初始條件y|x=1=1的特解是_a.ln

5、2x+ln2y=0b.ln2x+ln2y=1c.ln2x-ln2y=0d.ln2x-ln2y=1答案:c問題:10. 微分方程y+4y-5y=0的通解是_a.y=c1ex+c2e5xb.y=c1e-x+c2e5xc.y=c1ex+c2e-5xd.y=c1e-x+c2e-5x答案:c問題:11. 對于微分方程y+4y+4y=e-2x，利用待定系數(shù)法求其特解y*時，下列特解設(shè)法正確的是_a.y*=ae-2xb.y*=(ax+b)e-2xc.y*=axe-2xd.y*=ax2e-2x答案:d問題:12. 已知二階線性常系數(shù)齊次微分方程的通解是y=c1e-2x+c2e3x，則此方程為_a.y-y+6y

6、=0b.y-y-6y=0c.y+y-6y=0d.y+y+6y=0答案:b問題:13. 已知二階線性常系數(shù)齊次微分方程的兩個特解是y1=1與y2=e2x，則此方程為_a.y-2y=0b.y+2y=0c.y-3y+2y=0d.y+3y+2y=0答案:a二、填空題問題:1. 微分方程xy=1的通解為_答案:ln|x|+c解析 本小題主要考查可分離變量方程的解法 y=ln|x|+c 問題:2. 微分方程y=x的通解為_答案:解析 本題主要考查求解可分離變量微分方程 ，即dy=xdx，則 問題:3. 微分方程滿足條件y|x=2=4的特解為_答案:x2+y2=20解析 本題主要考查求解可分離變量方程微分方

7、程， 分離變量ydy=-xdx， 兩邊積分，即方程的通解為x2+y2=c(其中c=2c1) 將初始條件y|x=2=4代入通解，得c=20，所求的特解為x2+y2=20 問題:4. 微分方程y-y=1的通解為_答案:y=cex-1解析 本題給定方程是可分離變量的微分方程，也是一階線性微分方程 解法 ， ln(y+1)=x+c1， y+1=cex(其中)，即通解為y=cex-1 解法 p(x)=-1，q(x)=1 y=e-p(x)dxq(x)ep(x)dxdx+c-edxedxdx+c=exe-xdx+c =ex-e-x+c=cex-1 問題:5. 微分方程xyy=1-x2的通解為_答案:x2+y

8、2=2lnx+c問題:6. 微分方程的通解是_答案:e-y=e-x+c問題:7. 微分方程y-3y=0的通解為_答案:y=ce3x問題:8. 設(shè)y1(x)，y2(x)是二階線性常系數(shù)微分方程y+py+qy=0的兩個線性無關(guān)的解，則它的通解為_答案:y=c1y1(x)+c2y2(x)問題:9. 微分方程y-3y+2y=0的通解是_答案:y=c1ex+c2e2x問題:10. 微分方程y-6y+9y=0的通解是_答案:y=(c1+c2x)e3x問題:11. 微分方程y+2y+5y=0的通解是_答案:y=e-x(c1cos2x+c2sin2x)三、解答題問題:1. 求解下列一階線性微分方程 求一階線性

9、微分方程滿足初始條件y|x=1=0的特解 答案:首先求出一階線性微分方程的通解 ，q(x)=x， 將初始條件y|x=1=0代入通解，得c=-1， 所以所求特解為y=x2-x 問題:2. 求解下列一階線性微分方程 求微分方程滿足初始條件y|x=1=0的特解 答案:， 將初始條件y|x=1=0代入通解，得c=0， 所以所求特解為 問題:3. 求解下列一階線性微分方程 求微分方程(x2-1)y+2xy-cosx=0的通解 答案:原方程化為一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 ， 問題:4. 求解下列一階線性微分方程 求微分方程滿足初始條件y|x=1=1的特解 答案:將方程變形為 這是關(guān)于y的一階線性微分方程的

10、標(biāo)準(zhǔn)形式其中，q(y)=y2， 其通解為 將初始條件y|x=1=1代入通解，得所求特解為 設(shè)曲線y=f(x)上任一點(diǎn)(x，y)處的切線斜率為，且該曲線經(jīng)過點(diǎn)5. 求函數(shù)y=f(x)答案:， 由知c=0，故 6. 求由曲線y=f(x)，y=0，x=1所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積v答案:設(shè)函數(shù)y=f(x)由微分方程確定，7. 求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式答案:方程可化為，則 將初始條件y|x=1=0代入得c=-1，故 8. 討論函數(shù)y=f(x)在(0，+)內(nèi)的單調(diào)性答案:因，故在(0，+)內(nèi)單調(diào)增加問題:9. 求連續(xù)函數(shù)f(x)，使其滿足 答案:對關(guān)系式兩邊求導(dǎo)，得 f(x)+2f(x)=

11、2x. 這是標(biāo)準(zhǔn)形式的一階線性微分方程，其中p(x)=2，q(x)=2x 其通解為 y=e-p(x)dxq(x)e-p(x)dxdx+c=e-2dx2xe2dxdx+c=e-2x2xe2xdx+c =e-2xxe2x-e2xdx+c=e-2x， 由關(guān)系式，令x=0，得f(0)=0代入通解，得， 所以所求函數(shù)為 問題:10. 設(shè)y=ex是微分方程 xy+g(x)y=x的一個解，求此微分方程滿足初始條件y|x=ln2=0的特解 答案:將解y=ex代入給定的微分方程，有 xex+g(x)ex=x， 解得g(x)=x(e-x-1)代入原方程，得 y+(e-x-1)y=1 這是一個一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)

12、形式，其中p(x)=e-x-1，q(x)=1，則其通解 將初始條件y|x=ln2=0代入通解，得，所以所求的特解為 問題:11. 求解下列微分方程 求微分方程y-y=1+xy的通解 答案:y-1=c(x+1)問題:12. 求解下列微分方程 求微分方程滿足初始條件y|x=0=0的特解 答案:問題:13. 求解下列微分方程 求微分方程的通解 答案:問題:14. 求解下列微分方程 求微分方程cosxy-sinxy=cos2x滿足初始條件y|x=1的特解 答案:問題:15. 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，它由方程確定，求f(x)答案:本題給定的關(guān)系式中含有變上限定積分，通過等式兩邊同時微分的方法，根據(jù)變上限定

13、積分求導(dǎo)定理將給定的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為微分方程 ， xf(x)=f(x)+2x， 整理為一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)-xy=-2x， 其中p(x)=-x，q(x)=-2x， y=e-p(x)dxq(x)ep(x)dxdx+c=exdx-2xe-xdxdx+c 把x=0代入，得f(0)=0 把初始條件f(0)=0代入方程的通解，得c=-2， 所求的函數(shù)為 問題:16. 求解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 求微分方程y+y-2y=e-x的通解 答案:問題:17. 求解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 求微分方程y+6y+5y=e-x的通解 答案:問題:18. 求解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 求微分方程y-2

14、y+y=ex的通解 答案:問題:19. 求解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 求微分方程y-2y-3y=x+1的通解 答案:問題:20. 設(shè)f(x)=，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，求f(x)答案:本題給定的關(guān)系式中含有變上限定積分，通過等式兩邊同時微分的方法，根據(jù)變上限定積分求導(dǎo)定理將給定的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為微分方程 對于上式左右兩邊再對x求導(dǎo)，有f(x)=6x+f(x)，即f(x)-f(x)=6x，此為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為了求解需先確定初始條件： 取x=0代入f(x)=x3+1+，得 f(0)=03+1+，即得f(0)=1 取x=0代入關(guān)系式f(x)=3x2+，得 ，即得f(0)=0 原題轉(zhuǎn)化為

15、求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程f(x)-f(x)=6x在初始條件f(0)=1，且f(0)=0下的特解 其對應(yīng)的齊次方程為f(x)-f(x)=0 特征方程為r2-1=0，特征根為r=1，齊次方程的通解為y=c1e-x+c2ex 自由項f(x)=6x，其中pm(x)=6x，m=1，=0不是特征根，設(shè)非齊次線性方程的特解y*=ax+b，y*=a，y*=0代入微分方程f(x)-f(x)=6x，得a=-6，b=0，得非齊次線性方程的特解為y*=-6x 所以微分方程f(x)-f(x)=6x的通解為f(x)=c1e-x+c2ex-6x， 將初始條件f(0)=1，且f(0)=0代入得 所以 已知可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)滿足關(guān)系式y(tǒng)+y=0，且其圖形在點(diǎn)(0，0)處的切線與直線x-y=1平行21. 求f(x)答案:由題意可知本題實