理學(xué)n維向量空間PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 理學(xué)理學(xué)n維向量空間維向量空間 1212 , TT nn b bb 向量和相等 對應(yīng)分量都相等 1 ii bin 222 , T nn bbb和:的 1 2 0,0,0 , T T n 零向量 負(fù)向量 向量稱為 的 - - 1 12 ,k, T n kkkk向量數(shù)與數(shù)乘 第1頁/共63頁 1 ; 2:; 3; 4; 5 1; 6; 7 O O k lkl kkk 加法交換律: 加法結(jié)合律 向向量量加加法法和和向向量量與與數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)乘乘運運算算規(guī)規(guī)律律 : : 8klkl 第2頁/共63頁 n nn R 維實向量 所有 空間維實向量的集合稱為。 定4. 記為 義1 1212 , T

2、n nn R 為實數(shù) n nn C 所有 維復(fù)向量的集合稱為。向量空間 記為 維復(fù) 12n12n ,z,z T n Cz zz z為復(fù)數(shù) 第3頁/共63頁 向量的線性表示向量的線性表示 12 12 ,4, , .2 m m n k kk 設(shè)都是 維向量， 定 若存在數(shù)使得 義 , , , , 1122 mm kkk 12 12 , , m m 稱可由 或 線性表示 線性的合稱組是 第二節(jié) 向量的線性表示與線性相關(guān) 第4頁/共63頁 12 34 12 123 34 4 = -3,2,0,5, (1,0,0,0) ,(0,1,0,0) , (0,0,1,0) ,(0,0,0,1) . , 205

3、T TT TT ee ee e ee eee e e 例向量 可由線性表示： =-3 1 122 12 12 (1,0,0),(0,1,0),(0,0, , 1) n n n n e x ex ex ee nx e xx 一般地， 對任意 維向量 第5頁/共63頁 向向 量量 線線 性性 表表 示示 與與 線線 性性 方方 程程 組組 的的 關(guān)關(guān) 系系 11 112 1112 2122 211 21 122222 12 1 1 nnm 2 , mm mm nnnmmn mn a xxxb xxxb xxxb 給定具有 個變量的 個線性方程組成的方程組 記 12 1 22 n 22 m 11 n

4、 , b m m m m b xxx 1 b 方程組寫成： m 第6頁/共63頁 ()(,) ()( (1) ,) rankrank rankrankm 12m12m 12m12m 12m 12m 1 (1)向量可由向量線性表示 的充要條件是： (2)向量 定 可由向量地線 性表示的充要條件是： 可 理4.1 惟 量 一 由向證： , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 12 12 , (), () m m T mx xx AX AX xx x xx x 2m mm 121 m 12 2 線性表示 存在 個數(shù)，使得 方程組 有解

5、其中 , , , , , , , , , , , 第7頁/共63頁 1 12 2 , ( )( ) (2) , ( ()(,) (), () m m AA rank Arank A mx xx AX A xxx rankrank 12 12 m 1 m 2 mm 1212 mm 1212 矩陣 即： 可由向量線性表示 存在 個惟一的數(shù)，使得 方 惟 程組 有惟一 一 解 其中 地 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ), () ( )( ) ()() ()(,) , T Xx xx AA rank Arank Am rankrankm

6、 m12m mm 12 m 12 m 1212 矩陣 即： , , , , , , , , , , , , , , , , , 第8頁/共63頁 12 34 4123 1234 123 (1,2, 3,1) ,(5, 5,12,11) (1, 3,6,3) ,(2, 1,3,4) 15121512 25310311 312630000 111340000 ()( 4.2 TT TT rankrank 設(shè) 問：是否可由，線性表 例 解： 示？ ， ， 1234 4123 )23 ， 可由，線性表示, 但表示式子不惟一 第9頁/共63頁 12 12 : 0, 4 k .3 0 m mm nA k

7、kk kk A 12m 12 設(shè)有 維向量組 如果存一組不全為 的數(shù) ，使 稱向 義 量組 定 得 , , , 線線性性相相關(guān)關(guān) 12 12 k 0 0 m mm kkk kk A 12 僅當(dāng)時 成立 稱向量組 線線性性無無關(guān)關(guān) 第10頁/共63頁 1 4.2 定理 僅僅含含一一個個向向量量 的的向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) = 0 2 含含有有零零向向量量的的向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 3至少 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)有有一一個個向向量量可可由由其其他他 向向量量線線性性表表示示 4 部部分分向向量量向向量量組組 向向 線線性性相相關(guān)關(guān)線線性性相相關(guān)關(guān) 線線性性無無量量組組任任意意部部

8、分分向向量量關(guān)關(guān)線線性性無無關(guān)關(guān) 第11頁/共63頁 12 12122 , m,0 m mmm k kkkk 1 證（3）：若向量線性相關(guān)，則存在不全為0 的 個數(shù)使得 k 1 2 12 11 1 0, m m k kk k k 不妨設(shè)于是 可用向量組的其它向量線性表示。 122 mm cc反之，若 122 10 mm cc 12 , m 則線性相關(guān) 第12頁/共63頁 112 1 2 1122 2 12 12 1 12 1 2 , , 0 , ,0,0 0 , 0 , 00 m m k k k kk kkkm km c cc c cc ccc ccc (4): 若向量組，中部分向量 ，線性相

9、關(guān) 則存在 + + 不全為 的數(shù)使得 則不全為零 證 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 12 , , . m 反之 若線性無關(guān), 如果它有某一個部分 向量組線性相關(guān)， 則整個向量組也必定線性相關(guān), 所以,. 它它的的任任意意一一個個部部分分向向量量組組也也必必線線性性無無關(guān)關(guān) 引起矛盾 第13頁/共63頁 12 1122 12 12 1122 12 , (,) , (, ,) m mm m m mm m xxxO rankrm xxxO rankm 定理4.3 向量組線性相關(guān) 方程有非零解 向量組線性無關(guān) 方程只有零解 證：由齊次方程組是否有非零解的充要條件可證。 第14頁/共63頁 1212 1

10、2 1 ,det,0 det,0 nn n 線性 無線性 相關(guān) 關(guān) 12 2, m mnn 當(dāng)時, 維向量組必定線性相關(guān) 證明(2) 12 12 12 , , , m m m n ranknm 矩陣只有 行 它的秩 所以向量組線性相關(guān) 第15頁/共63頁 12 12 12 12 12 12 1122 , , , , , , 4.4 0 m m m m m m mm n pn c cc ccc 設(shè) 維向量組線性相關(guān)， 是矩陣，則向量組 也線性相關(guān)； 反之，若向量組線性無關(guān)， 則向量組線性無關(guān) ： 若線性相關(guān) 則存在不全為零的 數(shù)使 定理 證 AAAA AAA 第16頁/共63頁 1122 0 m

11、m ccc 兩 邊 左 乘 矩 陣 A 1122 0 mm cccAAA 12 , m 線性相關(guān)AAA 12 12 12 (,) , , m m m AAA 若線性相關(guān)線性相關(guān) 引起矛盾 反之，若線性無關(guān)， 原向量組也必線性無關(guān) AAA 第17頁/共63頁 11,11 21,22 11 1, 211 12222 12 , , , , , , , 1 T rn T rn T m r r mmrmrmnm aaa aaa aaa a a a n 則這 ， 推論（ 些向量的個 ， 成 若 的 ） 組向量 維維向向量量組組 線線性性相相關(guān)關(guān) 前前r分r分量量 r nrr, 任取則可表示成 的線性組合，

12、即存在一組數(shù)C 使得 ran ( ( k 矩陣( 1 121 12 2 ,), ,),) , , (, ) , , ) m r m r rr OOO rank O r O rank(rank( ( 所以， 第35頁/共63頁 12 12 1 2 22 2 rank rank , (1), , ,), , ) , , , ri r m r i r m i r rank A ri nkr m ra 1 1 11 充分性。已知 ：線性無關(guān)， 且對任意 線性相關(guān)， ( , , , , 1 1 可可知知A A 是是A A的的最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組 第36頁/共63頁 12 12 :, 1 rank

13、 2 ( ), 4.7 m m rank Arrank A 1 1 設(shè)有向量組 則 的任意包含 個向量的線性無關(guān)部分 向量組都是 的 任意包含相同個數(shù)的向量。 ：(1) 設(shè)向量組A 含有A中任意r個線性無 關(guān)向量, 則(組構(gòu)成的矩陣 定理4.8 。 證 ） 由定 明 理知，是 的 A , , , , A A A r r 極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組 極極大大 極極大大 線線性性 線線性性無無關(guān)關(guān)組組 無無關(guān)關(guān)組組. . 第37頁/共63頁 12 rank m r (2) 因為 的任意最大線性無關(guān)組都 恰好包含= 個向量. A , , 例:求向量組的極大無關(guān)組. ) 1, 1 , 4(),1 ,

14、 3, 2(),1, 2 , 1 ( 321 12 124124 ,231011 111000 A 3 , 32)(Ar 123 , 線性相關(guān)。 1212 , 但線性無關(guān)，是一個極大無關(guān)組； 1313 , 也線性無關(guān)，也是一個極大無關(guān)組。 第38頁/共63頁 12 12 T m m 矩陣的秩 它的列向量組的秩. 又因 的秩等于的秩， 矩陣 的秩 它的行向量組的秩. A= , , = , , AA A = 12m 定義4.6 向量組A:的秩 。 秩定 定義為 只有零向量的向量組義0的為 它它的的最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組所所包包含含向向量量的的個個數(shù)數(shù) , , 由定理由定理 4.74.7可知可

15、知 第39頁/共63頁 1rankrank 2rankrankrank 3rankrank. 4 可由 線性表示 可由 線性表示 可由 線性表示 線性無關(guān) BAA BA BABA BA BABA BA B. s r 等等價價的的線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組含含有有相相同同個個數(shù)數(shù)的的向向量量 12125 , r A= , ,B, 定理定理4.9 證證 明明 第40頁/共63頁 1 11 1 rankrankrank. ran 1 k rank 21. 31 43 若 可由 線性表示，取 中最大線性無關(guān)組 ， 可由線性表示也可由線性表示 的最大線性無關(guān)組 也可用線性表示 所以也可用 線性表示.

16、由即知 若 可用 線性表示，由知 若 可由 線性表示，且,由知 所以 線性相 BAAA AABA ABBA A BA BA B B A BA A B r s , s r 關(guān). 第41頁/共63頁 有有齊齊次次線線性性方方程程組組 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 12 , T ijn m n AaXx xx 記, 0AX 方方程程解解是是一一個個n n維維向向量量 齊線組次次性性方方程程 第42頁/共63頁 齊次線性方程組的解的性質(zhì). 定定理理 4.10 4.10 1212 ,0,XXAX

17、c c都是的解，是任意數(shù) 1122 c Xc X也是方程組的解. 12 , s XXX1線性無關(guān) 12 , s XXX2 任意一個解可由線性表示 12 , s XXX為為方方程程組組的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 線性組合 第43頁/共63頁 rank . rn nr 設(shè) 是齊次線性方程組 4.11 的系數(shù)矩陣 若，那么它有基礎(chǔ)解系 且任意一個基礎(chǔ)解系包含個解 A A -1-1 0 0 00 r r mn AX E E 存在 階可逆矩陣 和 階可逆矩陣 ，使 于是，方程等價于 （） Q 0 PAQ = 00 PQ X = 0. 4.13 P P 定理定理 4.11 證明證明 第44頁/共63頁

18、-1 -1 -1 1-1 2 1 2 2 0 00 , . r nr E 因可逆，方程 4.13 等價于 （） 把分塊: 那么，4.14 等價于 也就是說，方程的通解為 其中，是任意維向量 P Q X = 0. 4.14 Q X Y Q X = Y Y = 0. AX = 0 0 X = Q Y Y 第45頁/共63頁 0 0 r+1r+2n 12n r+1r+2n r+1r+2n-rn AX cAX 的任意解 都是向量的線性組合 又因 可逆，線性無關(guān)， 因此也線性無關(guān)， 所以是的一個基礎(chǔ)解系. XQQQ QQQQ QQQ QQQ 1212 1 0 0 . nr+1r+2n-rn n r c

19、ccccc c c X =,QQQ 12n 設(shè) 的列向量是，QQ ,Q ,Q T 212n-r c ccY, 第46頁/共63頁 例4.16 0 rank( )rank( ) n n 若，矩陣為 列，證明AB = AB 證 rank,rank. rs B B的的每每一一列列都都是是方方程程AX = 0AX = 0的的解解. . AB AX = 0AX = 0的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系包包含含n-rn-r個個解解 B B中中至至多多有有n-rn-r個個線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量 s sn-rn-r，即即r+sr+sn.n. 第47頁/共63頁 設(shè)有非齊次線性方程組 11 112211 21 122222

20、 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 1212 , TT ijmm m n Aabb bbXx xx 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 AXb （4.16） 第48頁/共63頁 定理 4.12 12121212 1 1 若若X ,XX ,X 是是 4.164.16 的的兩兩個個解解，則則= X - X= X - X 是是 對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程組組AX = 0AX = 0的的解解； * * * * 2 2 若若X X 是是 4.164.16 的的一一個個特特解解，是是對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程 組組的的通通解解，那那么么 4.

21、164.16 的的通通解解為為X =X =+ X+ X 證證 12 1AXbAXb由和得 1212 0,AA XXAXAX 0AX所以 是的解. 第49頁/共63頁 * 11 * 0 0 XXX AX X AX 11 2 若是 4.16 的任意一個解，由 1 知 是的解，所以含于通解中（即可 由中所 含的任意常數(shù)取特定值而得到） 4.16 的任意解可寫成的形式， 這里 是的通解. 0AX若 是的通解，則 * AXAAXb * XAXb所以是的解，綜合上述知 * XX 是 4.16 的通解. 反之反之 第50頁/共63頁 子子空空間間的的概概念念 VV n 設(shè) 是的非空子集，若 對向量加法與數(shù)乘

22、 封閉，即滿足 R R ,VV 1,有； 2.VV n ，有R R V n 稱 是的線性子空間R R 第51頁/共63頁 |0,WX AXX n R R n 是的子空間.R R 證證 1212 ,XXW n 設(shè)，,由定理4.10知R R 1122 .XXW 0WW n 又，是的子空間R R 4.20例 0Am nAX設(shè) 是矩陣，則方程的解集; 第52頁/共63頁 12r 設(shè)有向量組， ，則所有可由這個 向量組線性表示的向量組成集合 1122 |1,2,. rri Vir ，R R V n 仿照例4.21可以證明， 是的子空間，R R 12r ， ，由由向向量量組組生生成成的的子子空空間間 第5

23、3頁/共63頁 定理 4.13 1212 , rs LL ， ， AB2 向量組 與向量組 等價 1212 , rs LL ， ， 1212 :, rs AB 1：， ，可用線性表示 第54頁/共63頁 12 : r AV VA 設(shè)向量組， ，是子空間 中的線性 無關(guān)組，且 中任意向量是向量組 的線性組合， 稱.向向量量組組A A為為子子空空間間V V的的一一組組基基 VArV rrV n 若的子空間 的一組基 包含 個向量，稱 是 維子空間， 稱為 的 . R R 維維數(shù)數(shù) 子子空空間間 0 0 的的維維數(shù)數(shù)定定義義為為0 0 子子空空間間的的基基、維維和和向向量量坐坐標(biāo)標(biāo) 基基 維維 第55頁/共63頁 例4.26 12 , 0|0, n r AXWX AX rank Arn nr W W Wnr X W nn 方程的基礎(chǔ)解系包含個線性無關(guān)解 記為 中任意向量是 解集是的子空間 它們的線性組合 基礎(chǔ)解系構(gòu)成的一組基 中任意個線性無關(guān)解都是一組基 也是方程的一組基礎(chǔ)解系. RRRR 第56頁/共63頁 例4.27 112233123 23 3 |, 1,2,0,2,3,1,1, 1, 1 TTT Vxxxx x x V 1 設(shè)，其中， 證明 是的子空間，且求它的一組基. n n R