小學(xué)奧數(shù)教程：幾何計(jì)數(shù)(一)全國(guó)通用(含答案)

1、教學(xué)目標(biāo)1 .掌握計(jì)數(shù)常用方法；2 .熟記一些計(jì)數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3 .根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù).本講主要介紹了計(jì)數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹(shù)形圖法、插板法、對(duì)應(yīng)法等，并滲透分類計(jì)數(shù)和用 容斥原理的計(jì)數(shù)思想.刖4知識(shí)要點(diǎn)一、幾何計(jì)數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計(jì)數(shù)問(wèn)題，如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個(gè)數(shù)，若干個(gè)圖 分平面所成的區(qū)域數(shù)等等.這類問(wèn)題看起來(lái)似乎沒(méi)有什么規(guī)律可循，但是通過(guò)認(rèn)真分析，還是可以找到一些 處理方法的.常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.n條直線最多將平面分成1 22 +2 +3 +n =(n2 +n +2)個(gè)部分；n個(gè)圓最多分平面的

2、部分?jǐn)?shù)為n(n-1)+2 ; n個(gè)二角形將平面最多分成23n(n-1)+2部分；n個(gè)四邊形將平面最多分成 4n(n-1)+2部分在其它計(jì)數(shù)問(wèn)題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.解題時(shí)需要仔細(xì)審題、 綜合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)逐步求解.排列問(wèn)題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問(wèn)題與各事物所在的先 后順序無(wú)關(guān)，只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān).二、幾何計(jì)數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))(或含有n個(gè)基本線段。，那么這n+1個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形中的邊.數(shù)三角

3、形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形(對(duì)應(yīng)法)，因?yàn)镈E上有15條線段，每條線段的兩端點(diǎn)與點(diǎn)A相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共有 15個(gè)三角形，同樣一邊在 BC上的三角形也有15個(gè)，所以圖 中共有30個(gè)三角形.數(shù)長(zhǎng)方形、平行四邊形和正方形：一般的，對(duì)于任意長(zhǎng)方形(平行四邊形)，若其橫邊上共有 n條線段,縱邊上共有m條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形(平行四邊形)mn個(gè).目山例題精講模塊一、簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)例1 七個(gè)同樣的圓如右圖放置，它有 條對(duì)稱軸.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級(jí)，初賽，試題例2如圖：6條.6條下面的表情圖片中:(A) 3(B)既。的卷圈,沒(méi)有對(duì)稱軸

4、的個(gè)數(shù)為()【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第【解析】通過(guò)觀察可知，第 稱軸的個(gè)數(shù)為5,C4(Q 5(D) 6【難度】2星 【題型】選擇1題1, 2, 5這三張圖片是有對(duì)稱軸的，其他的5張圖片都沒(méi)有對(duì)稱軸，所以沒(méi)有對(duì)正確答案是Co【鞏固】中心對(duì)稱圖形是：繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 對(duì)折后兩部分完全重合的圖形，180。后能和原來(lái)的圖形重合的圖形，軸對(duì)稱圖形是：沿著一條直線圖的4個(gè)圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是的軸對(duì)稱圖形的有個(gè)?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)7題【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第【解析】共有3個(gè)，除第二個(gè)外其余都是?！敬鸢浮?個(gè)【例3】 兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的夾角”。現(xiàn)

5、平面上有若干條直線，它們兩兩相交,并且 夾角”只能是30。，60?；?0。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 【解析】至多有6條直線，如圖：1星12題問(wèn)：至多有多少條直線?【題型】填空【答案】6條 例4下圖是王超同學(xué)為“環(huán)境保護(hù)專欄”設(shè)計(jì)的一個(gè)報(bào)頭，用到基本的幾何圖形：線段、三角形、四邊形、圓、弧線，其中用得最多的一種圖形是【難度】2星【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 9題【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)是：線段最多【答案】線段最多 【例5下面的5父5和6父4圖中共有 個(gè)正方形.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】在5父5的圖中，邊長(zhǎng)為1的正

6、方形52個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形42個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形32個(gè)；邊長(zhǎng) 為4的正方形22個(gè)；邊長(zhǎng)為5的正方形有12 ,總共有 52十42+32 + 22+12 = 55）正方形.在6x4 的圖中邊長(zhǎng)為1的正方形6父4個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形5父3個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形4父2個(gè)；邊長(zhǎng)為 4的正方形3x1個(gè)；總共有 6M4十5M3+4父2+3父1=42（個(gè)）.【答案】42個(gè) 【鞏固】請(qǐng)看下圖，共有多少個(gè)正方形?【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】 假設(shè)最小的正方形邊長(zhǎng)為 1 ,則面積為1的正方形有9個(gè)；面積為4的正方形有4個(gè)；面積為16的 正方形有1個(gè).因此共有 9+4+1=14個(gè)

7、.【答案】14個(gè)如下圖是一個(gè)圍棋盤(pán)， 它由橫豎各19條線組成.方形？問(wèn)：圍棋盤(pán)上有多少個(gè)右圖中的小正方形一樣的正【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 15題【解析】我們先在右圖小正方形中找一個(gè)代表點(diǎn)，例如右下角的點(diǎn)E作為代表點(diǎn).然后將小正方形按題意放在圍棋盤(pán)上，彳？細(xì)觀察點(diǎn) E應(yīng)在什么地方.通過(guò)觀察，不難發(fā)現(xiàn)：（1）點(diǎn)E只能在棋盤(pán)右下角的正方形 ABCD （包括邊界）的格子點(diǎn)上.（2）反過(guò)來(lái)，右下角正方形 ABCD中的每一個(gè)格子點(diǎn)都可以作為小正方形的點(diǎn)巳也只能作為一個(gè)小正方形的點(diǎn) E.這樣一來(lái)，就將小正方形的個(gè)數(shù)”化為芷方形ABCD中的格子點(diǎn)個(gè)數(shù)”了

8、.很容易看出正方形 ABCD 中的格子點(diǎn)為 10X10= 100個(gè).D答：共有100個(gè)?！敬鸢浮?00個(gè)例6下圖中共有個(gè)正方形.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星 【題型】解答【解析】每個(gè)4父4正方形中有：邊長(zhǎng)為1的正方形有42個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形有32個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形 有22個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形有12個(gè)；總共有42 +32 +22 +12 =30 （個(gè)）正方形.現(xiàn)有5個(gè)4父4的正方 形，它們重疊部分是 4個(gè)2父2的正方形.因此，圖中正方形的個(gè)數(shù)是30x5-5x4=130.【答案】130【例7】圖中有 個(gè)正方形.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】5父5的正方形1個(gè)；4父

9、4的正方形4個(gè)；3父3的正方形5個(gè)；2父2的正方形4個(gè)；1x1的正方形13個(gè).共27個(gè).【答案】27【鞏固】 數(shù)一數(shù)：圖中共有 個(gè)正方形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 10題【解析】 按面積從小到大4+17+9+4+1=35個(gè)【答案】35個(gè)【鞏固】圖中共有 個(gè)正方形。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級(jí)，決賽，第7題【解析】設(shè)最小正方形的邊長(zhǎng)為 1,那么邊長(zhǎng)為1的正方形有2個(gè)，邊長(zhǎng)為2的正方形有6個(gè)，邊長(zhǎng)為4的正 方形有5個(gè)，邊長(zhǎng)為8的正方形有2個(gè)，邊長(zhǎng)為12的正方形有1個(gè)，邊長(zhǎng)為16的正方形有1個(gè)，所以

10、總共有2十6十5+2+1+1 =17 （個(gè)）?！敬鸢浮?7個(gè)例8下圖中共有 個(gè)正方形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，初試， 4題【解析】分類計(jì)算邊長(zhǎng)為1的正方形有12個(gè)；長(zhǎng)為2的正方形有1個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形有4個(gè)；邊長(zhǎng)為4 的有1個(gè)；邊長(zhǎng)為1個(gè)對(duì)角線的有1個(gè)；邊長(zhǎng)為2個(gè)對(duì)角線的有1個(gè)；所以一共有：12+1+4 +1 +1 +1=20 （個(gè)）【答案】20個(gè)【鞏固】圖1中共有 個(gè)正方形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第 12題【解析】5+4+1+5+4+1=20【答案】20個(gè)【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】

11、2星【解析】利用長(zhǎng)方形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上共有【例9】 圖中共有多少個(gè)長(zhǎng)方形?【題型】解答n條線段，縱邊上共有 m條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）mn個(gè).所以有（4+3+2+1）x （4+3+2+1） =100.【答案】100【例10數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有 個(gè)平行四邊形.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級(jí)，初試， 4題【解析】本題是一道幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)不漏不重地按規(guī)律去數(shù) ，每相鄰兩個(gè)三角形可組成一個(gè)平行四邊形，共計(jì)6個(gè).【答案】6個(gè) 【例11圖5中有 個(gè)平行四邊形。【題型】填空【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】12

12、+8+3=23【答案】23 【例12】如右圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個(gè)數(shù)與黑色小三角形的個(gè)數(shù)之比。21【題型】填空【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 10題【解析】白色小三角形個(gè)數(shù)=1 + 2+ 6 =0*6)父6 =21,黑色小三角形個(gè)數(shù)=21十2+7= E72= 28,所以它們的比= 21= 3 ,白色與黑色小三角形個(gè)數(shù)之比是92844【答案】34【例13如圖，由小正方形構(gòu)成的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中共有線段 條。【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，一試，第 8題【解析】 橫的有5X(1+2+3+4+5)=75條，豎的有6X

13、(1+2+3+4)=60條，一共135條【答案】135條【題型】填空【例14】圖中線段的條數(shù)比三角形的個(gè)數(shù)多【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2年級(jí)，第6題【解析】 通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，線段的條數(shù)比三角形的個(gè)數(shù)多的正好是6條斜邊?！纠?5】右圖中共有 個(gè)三角形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級(jí)，決賽，第 6題8, 7, 4, 3, 1, 1 個(gè)，也即【解析】由1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，6個(gè)，8個(gè)小三角形組成的三角形分別有:一共有 8+7+4+3+2=24 個(gè)?！敬鸢浮?4 【例16如圖AB, CD, EF, MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形

14、個(gè)數(shù)的差是多少【題型】解答梯形(1+2+3+4) X(2+4) =60;所以梯形比三角形多 60-40=20【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【解析】圖中共有三角形 個(gè).【答案】20個(gè)【難度】3星(1+2+3+4) 4=40 個(gè).【例17】右邊三個(gè)圖中,都有一些三角形，在圖A中，有.個(gè)；在圖B中，有,個(gè)；中圖C中,個(gè)?！绢}型】填空【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí),【解析】圖A 5個(gè)； 圖【難度】2星1試B 8個(gè)；【例18】請(qǐng)看下圖，共有多少個(gè)三角形?【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【題型】填空【解析】獨(dú)立的三角形有7個(gè)，由4個(gè)三角形組成的三角形有1個(gè)，加上最大的三角形，因此共有7+1+1=

15、9個(gè)三角形.【答案】9【例19】右圖中共有個(gè)三角形.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級(jí)，初賽, 【解析】分類枚舉得到：邊長(zhǎng)是 邊長(zhǎng)是 邊長(zhǎng)是2題1個(gè)單位長(zhǎng)度的有2個(gè)單位長(zhǎng)度的有3個(gè)單位長(zhǎng)度的有12個(gè)三角形;6個(gè)三角形2個(gè)三角形【答案】20個(gè)共有 12 6 2=20【例20】右圖中三角形共有個(gè).【難度】4星【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù) 【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初賽， 4題【解析】不可分割的三角形有7個(gè).由2個(gè)不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 6個(gè).由3個(gè)不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有4個(gè).由5個(gè)不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有2個(gè).由7個(gè)不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有

16、1個(gè).一共有三角形 7+6+4+2+1=20個(gè).【答案】20個(gè)【鞏固】數(shù)一數(shù)圖中有 個(gè)三角形.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【鞏固】數(shù)一數(shù)，圖中有【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽，第14題【解析】分類枚舉，只由一個(gè)三角形構(gòu)成的有6個(gè)，由兩個(gè)小三角形組合而成的三角形有3個(gè)。由三個(gè)小三角形組合而成的三角形有 3個(gè)，所以一共有6+3+3=12 （個(gè)）。【答案】12個(gè)【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】4星【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第9題【解析】10個(gè)【答案】10個(gè) 【例21圖中共有 個(gè)三角形?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試10個(gè)，包含兩塊的三【解析】從圖形所包含的小塊數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)數(shù)，包含一塊的三角形有角形有10個(gè)，包含三塊白三角形有 10個(gè)，包含五塊三角形有 5個(gè)，所以共有35個(gè)?！敬鸢浮?5個(gè)【例22在圖中，一共有 10 個(gè)三角形, 40 條線段.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2年級(jí)，第3題【解析】一共有10個(gè)三角形.五角星的每個(gè)角上分別有 1個(gè)小三角形，總共有 5個(gè)；另外還有5個(gè)較大的 三角形，所以共有5+5=10 （個(gè)）三角形.一共有40條線段