山東省泰安市新泰市新泰中學(xué)2020─2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題?含解析?

1、山東省泰安市新泰市新泰中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、單項選擇題：只有一個選項是符合題目要求的1. 已知兩個非零向量，則這兩個向量在一條直線上的充要條件是（ ）A. B. C. D. 存在非零實數(shù)，使【答案】D【解析】【分析】分析各選項中、的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項.【詳解】若非零向量，在同一條直線上，則、共線.對于A選項，且是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，所以，、同向，所以，是、在一條直線上的充分不必要條件；對于B選項，取，則，但、不共線；對于C選項，若，則，可知；對于D選項，“存在非零實數(shù)，使”“”.故選：D.2. 已知、兩點，則直線與空間直角坐

2、標(biāo)系中的平面的交點坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線與平面的交點為，利用、三點共線得向量共線，由此可求出答案【詳解】解：設(shè)直線與平面的交點為，（方法一）、三點共線，則，、，則，解得，則，（方法二）、三點共線，則，則，則，解得，則，故選：B3. 設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的基本定理可計算得出，由已知條件可得出，進(jìn)而可求得、的值，由此可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，連接并延長交于點，則點為的中點，為的重心，可得，而，所以，所以，因此，.故選：C.【點睛】方法點睛：對于空間向量的

3、基底分解的問題，一般需要利用向量的加減法法則進(jìn)行處理，也可以借助一些相應(yīng)的結(jié)論對運算進(jìn)行簡化.4. 已知直線：，點，若直線與線段相交，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得直線恒過點，進(jìn)而得直線的斜率的取值范圍為：或，再根據(jù)，解不等式即可得答案.【詳解】直線方程變形得：.由得，直線恒過點，由圖可知直線的斜率的取值范圍為：或，又，或，即或，又時直線的方程為，仍與線段相交，的取值范圍為.故選：C.【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)直線系方程得直線恒過點.考查數(shù)形結(jié)合思想，運算求解能力，是中檔題.5. 已知圓C與直線及都相切，圓心在直線上，則圓C的方程為（ ）A

4、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可用排除法快速選出答案，先由圓心特點快速排除C，D，再結(jié)合圓心到兩切線距離相等排除A，最終選擇出B項【詳解】圓心在上，圓心的縱橫坐標(biāo)值相反，顯然能排除C、D；驗證：A中圓心到兩直線的距離是；圓心到直線的距離是故A錯誤故選：B【點睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的判斷，對于處理小題，采用排除法也不失為一種選擇，屬于中檔題6. 若圓上有且僅有兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得已知圓與圓相交，由圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，列式即可得解.【詳解】由題意可得：已知圓與圓相交，解得且，故選：B

5、.7. 已知橢圓的左焦點，過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】過點傾斜角為的直線方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，整理可得：則：.本題選擇B選項.點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)8. 已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線交雙曲線右支

6、于、兩點，若是等腰三角形，且則的周長為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線的定義以及三角形結(jié)合正弦定理，轉(zhuǎn)化求解三角形的周長即可.【詳解】雙曲線的焦點在軸上，則；設(shè)，由雙曲線的定義可知：，由題意可得：，據(jù)此可得：，又 ，由正弦定理有:,即所以，解得：，所以的周長為：=故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力二、多項選擇題：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求9. 下列命題中正確的是（ ）A. 若、是空間任意四點，則有B. 若，則、的長度相等而方向相同或相反C. 是非零向量、共線充分條件D. 對空間任意一點與不共線的三點、，若，則

7、、四點共面【答案】C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則可判斷A選項的正誤；利用向量的定義可判斷B選項的正誤；在等式兩邊平方，求出的值，可判斷C選項的正誤；利用空間向量的基本定理可判斷D選項的正誤.【詳解】A選項，而不是，故A錯；B選項，僅表示與的模相等，與方向無關(guān)，故B錯；C選項，在等式兩邊平方得，即，、為非零向量，則，即與方向相反，故C對；D選項，空間任意一個向量都可以用不共面的三個向量、表示，、四點不一定共面，故D錯.故選：C.10. 已知平面上一點M(5，0)，若直線上存在點P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（ ）A. y=x+1B. y=

8、2C. D. y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)切割型直線的定義，由點M(5，0)到直線距離不大于4求解.【詳解】A. 點M(5，0)到直線 y=x+1的距離為：，故錯誤；B. 點M(5，0)到直線y=2的距離為：，故正確；C. 點M(5，0)到直線的距離為：，故正確；D. 點M(5，0)到直線y=2x+1的距離為：，故錯誤；故選：BC【點睛】本題主要考查點到直線的距離以及存在問題，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11. 定義空間兩個向量的一種運算，則關(guān)于空間向量上述運算的以下結(jié)論中恒成立的有（ ）A. B. C. D. 若，則【答案】BD【解析】【分析】對于A,B,只需根據(jù)定義

9、列出左邊和右邊的式子即可,對于C,當(dāng)時, ,顯然不會恒成立. 對于D,根據(jù)數(shù)量積求出,再由平方關(guān)系求出的值,代入定義進(jìn)行化簡驗證即可.【詳解】解：對于A：，故不會恒成立；對于B，故恒成立；對于C，若，且，顯然不會恒成立；對于D，即有則恒成立.故選：BD.【點睛】本題考查向量的新定義，理解運算法則正確計算是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.12. 已知P是橢圓C：上的動點，Q是圓D：上的動點，則（ ）A. C的焦距為B. C的離心率為C. 圓D在C的內(nèi)部D. 的最小值為【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合橢圓表達(dá)式求出，判斷焦距與離心率；利用兩點間距離公式判斷點到圓心距離大小即可判斷橢圓與圓的位置關(guān)系，同時也

10、可求解最小值【詳解】由可知，則焦距，離心率；設(shè)，圓心，半徑為，則，故圓D在C的內(nèi)部；當(dāng)取最小值時，的最小值為，綜上所述，選項BC正確，故選：BC【點睛】本題考查橢圓基本量的求解，兩點間距離公式的應(yīng)用，動點與圓的距離最值的求解，屬于中檔題三、填空題：13. 已知入射光線經(jīng)過點，被直線：反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線的方程為_【答案】【解析】試題分析：關(guān)于直線：的對稱點為，所以反射光線所在直線的方程是直線的方程: 考點：反射直線14. 已知過點的直線與軸，軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的方程為_【答案】【解析】【分析】由題意可知，直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直

11、線的方程為，求出點、的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件可求得的取值范圍，并求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得面積的最小值及其對應(yīng)的值 ，由此可求得直線的方程.【詳解】由題意可知，直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，即.在直線的方程中，令，可得；令，可得.即點、，由題意可得，解得，的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，直線的方程為，即.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點：（1）將三角形的面積利用加以表示；（2）在求解最值時，可充分利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等知識來求解.15. 如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，BADBAA1120，DAA160，

12、則線段AC1的長度是_【答案】【解析】【分析】利用，即可求解【詳解】，故答案為：【點睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平16. 如圖所示，在正四棱柱中，動點、分別在線段、上，則線段長度的最小值是_【答案】【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算出異面直線、的公垂線的長度，即為所求.【詳解】由題意可知，線段長度的最小值為異面直線、的公垂線的長度.如下圖所示，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點、，所以，設(shè)向量滿足，由題意可得，解得，取，則，可得，因此，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的

13、關(guān)鍵在于將長度的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線、的距離，實際上就是求出兩條異面直線的公垂線的長度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異面直線公垂線的一個方向向量的坐標(biāo)，再利用距離公式求解即可.四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 已知圓和(1)求證：圓和圓相交；(2)求圓和圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】(1)本題可先通過圓和圓的方程得出它們的圓心和半徑長，再通過用圓心距和兩圓的半徑之和以及兩圓的半徑之差作對比，即可得出結(jié)果；(2)可先通過兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程，再通過圓心到公共弦的距離以及半徑利用勾股定

14、理得出結(jié)果【詳解】(1)圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑兩圓圓心距 所以，圓和相交；(2)圓和圓的方程相減，得，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為，圓心到直線的距離為：故公共弦長為【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及其判定、兩圓的公共弦所在直線的方程的求法以及公共弦長，屬中檔題圓和圓的位置關(guān)系有：相交，相離，相切幾種關(guān)系，通過判斷圓心的距離和半徑的和與差的關(guān)系即可18. 已知直線.（1）若直線過點，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.【答案】（1） （2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為，可求得直線的斜率，再由直線的點斜式方程，即可寫出直線方

15、程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出【詳解】（1）因為直線的方程為，所以直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為.因為直線過點，所以直線的方程為，即.（2）因為直線與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.【點睛】本題主要考查直線方程的求法，涉及兩直線垂直，平行關(guān)系的應(yīng)用，以及平行直線的距離公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題19. 如圖，在長方體中，點在線段上（1）求異面直線與所成角；（2）若二面角大小為，求點到平面的距離【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，分別以、為軸、軸

16、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角；（2）利用空間向量法結(jié)合二面角為計算出的值，可求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】分別以、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，（1）由，得，設(shè)，又，則，則異面直線與所成的角為；（2）平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，設(shè)點，其中，則，由，令，則，解得，所以，平面的一個法向量為，又，所以，點到平面的距離【點睛】利用向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角時，一定要注意向量夾角與各空間角的定義、范圍不同求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量、的夾角是相等，還是互

17、補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點.20. 已知：橢圓，求：（1）以為中點的弦所在直線的方程；（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)弦的端點，可得：，相減化簡再利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式即可得出；（2）設(shè)直線方程為：，弦的端點坐標(biāo)及中點，與橢圓方程聯(lián)立化為：，由，化為：，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式即可得出.【詳解】（1）設(shè)弦的端點，可得：， ，相減可得：，把， 代入可得： 以為中點的弦所在直線的方程為：，化為： （2）設(shè)直線方程為：，弦的端點， ，中點聯(lián)立，化為 ，化為： ，化為： 得，【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）涉及直線與圓錐曲線相

18、交中點弦問題時，利用點差法；（2）由直線與橢圓的位置關(guān)系得出的范圍.21. 已知橢圓的離心率為，且橢圓的右頂點到直線的距離為3（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，求面積的最大值為坐標(biāo)原點）【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由離心率的值及右頂點到直線的距離為3和，之間的關(guān)系求出，的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出面積的表達(dá)式，換元，由均值不等式的可得面積的最大值【詳解】（1）由橢圓的方程可得右頂點，所以右頂點到直線的距離為，可得：，由離心率，可得，所以，所以橢圓的方程為：；（2）由題意顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，整理可得：，所以，設(shè)，取等號時，即斜率不存在，這時，當(dāng)，則，所以令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，無最小值，也無最大值，所以無最大值，綜上所述當(dāng)且僅當(dāng)，即時，所以面積的最大值為2【點睛】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合及均值不等式的應(yīng)用，考查了利用韋達(dá)定理搭橋建立各個變量之間的關(guān)系，從而求得