最新三角函數(shù)解題技巧和公式(已整理)技巧歸納

1、精品文檔A thesis submitted toXXXin partial fulfillment of the requirementfor the degree ofMaster of Engineering淺論關(guān)于三角函數(shù)的幾種解題技巧本人在十多年的職中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，面對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的相關(guān)教學(xué)時(shí)，積累了一些解題方面的處理技巧以及心得、體會(huì)。下面嘗試進(jìn)行探討一下：一、關(guān)于 sin c(cosot與since cosa(或sin 2a)的關(guān)系的推廣應(yīng)用：1 、 由于(sic o)S =s Fcn + c oc(s2s 改 n o s1 2sMn o s故知道 (sio o)s 必可推出

2、sin 支 cos(或 sin 2口)，例如：3Q .Q .例1已知sinH-cose=，求sine一 cos日。3分析： 由于 sin3-cos3i - (sin n -cosi)(sin21 sin【cos? cos2 ?)二(sin r -cos”(sin -cosi)2 3sin icos1其中，sin日-cose已知，只要求出sincose即可，此題是典型的知sin日-cos日,求sin c cos日的題型。解：(sin 二-cos1)2 =12sincos? i-故：1 - 2 sin - cos - -()2 二1- sin c cos -= 333sin% -cos3 i -

3、(sin r -cos?)(sin -cosi)2 3sinicosr33 21314 o=()3 = - =33333392、關(guān)于tg + +ctg6與sin6 cos日，sin c cos6的關(guān)系應(yīng)用：sin 二cos?由于 tg +ctg =cos 二 sin ?.2 .2 .sin 二 cos sin c cos11sin c cos 二故：tg日+ctg e , sine cose , sin日cos日三者中知其一可推出其余式子的值。例2 若sin日+cos8 =ma,且tg日+ctg 0 =n,貝U m n的關(guān)系為.22 2A. m=nB , m=- +1Cn2sin cos= (

4、sin)-12.m -12分析：觀察 sin e+cos日與sin日cos日的關(guān)系:精品文檔而:故:2.m -1=1= m2 =2 +1 ,選 Bo nn已知：tg 二 +ctg =4,則 sin2分析:tg 二 +ctg 二21sin 二 cos 二的值為14sin ; cos：故:sin 2 1=2 sin = cos: = sin 2工答案選分析:已知：tg -：+ctg 二：=2,求 sin4 工二 cos4 ：由上面例子已知，只要sin4 a + cos4a能化出含sin a cos0（或sin cos的式子,1則即可根據(jù)已知 tg + +ctg a進(jìn)仃計(jì)算。由于 tg 口 +ctg

5、 a =2 =sin 二 cos：144sin cos =一 ,此題只要將sin a +cos豆 化成含sin豆cos的式子即可: 24 .4 .442222角牛：sin - cos - =sin 工, cos - +2 sin - cos -2 sin - cos -=1-2 (sin=1-(sin 2口+cos2口)- 2 sin 2支 cos%、2-cos - )1 22 (-)211 -212通過以上例子，可以得出以下結(jié)論：由于 sina cosa , sin cosa及tgu +ctg 三者之 間可以互化，知其一則必可知其余二。這種性質(zhì)適合于隱含此三項(xiàng)式子的三角式的計(jì)算。但，.，.1

6、tg ? ctg u = = nsin c cos 二有一點(diǎn)要注意的；如果通過已知sin Co cos a ,求含sinacosa的式子，必須討論其象限才能 得出其結(jié)果的正、負(fù)號(hào)。這是由于（sina cosa ） 2=1 + 2sin a cosa ,要進(jìn)行開方運(yùn)算才能 求出 sin .二cos：二、關(guān)于“托底”方法的應(yīng)用：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)計(jì)算或證明題中，往往需要把式子添加分母，這常用在需把含tga （或 ctg a）與含sin a （或cosa）的式子的互化中，本文把這種添配分母的方法叫做“托底” 法。方法如下：例5已知：tgu=3,求而的值。2 sin 二，cos：cosa ,分析：由于t

7、ga =s吧，帶有分母cosa ,因此，可把原式分子、分母各項(xiàng)除以 cos ;“造出 tg a ,即托出底：cosa ;解：由于 tg 工=3=.: k： cos.不會(huì)02tg： -32tg： 一13-3sin ： c cos.： 3故，原式=*cosL sin 二 cos： 2 cos： cos：例 6 已知：ctg = = -3 , 求 sin a cosa -cos 2a =?分析：由于ctgu=江，故必將式子化成含有co絲的形式，而此題與例4有所不同， sin 二sin ;式子本身沒有分母，為了使原式先出現(xiàn)分母，利用公式： sin 2a + cos2 a =1及托底法托出其分母，然后再

8、分子、分母分別除以sin 口，造出ctg 口 ：_ 2 .在萬 222 sine cos- - cos -用牛：sin 二, cos - =1= sin - cos- - cos =22sin 二二 cos ;cos二，cos：、2- （）2.分子，分母同除以sin2usn=ct2節(jié)=t（上）21 ctg2：sin-2-3 （-3）26=1 （-3）25例7（95年全國(guó)成人高考理、工科數(shù)學(xué)試卷），幾 c 一 . 71 . 71口./、.尸、設(shè) 0Mx ,0y 1 , 且 sin x sin y =sin（一 x）sin（一 y） 2236求：（ctgx ?）（ctgy -，3）的值分析：此題是

9、典型已知含正弦函數(shù)的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由 互 元 一 ，、一、，一、， 于 0 x ,0 y ，故sin x =0,sin y #0 ,在等式兩邊同除以 sinxsin y ,托出分母 sin xsin y 22為底，得：精品文檔解：由已知等式兩邊同除以sin xsin y 得:sin(- -x)sin(- - y)36 =1 =sin xsin ysin - cos-cos 一33sin xsin x sin cos y - cos sin y66=1sin y13cosx-sinx cosy - 3sin y1sin xsin y1(. 3ctgx _ 1)(ct

10、gy -3) = 1 4.33丁(ctgx-3)(ctgy - .3) =1z . 3.4 -、(ctgx - -)(ctgy - . 3)333“托底”適用于通過同角的含正弦及余弦的式子與含正切、余切的式子的互化的計(jì)算。由于tg ：-cos .：i需，即正切、余切與正弦、余弦間是比值關(guān)系，故它們間的互化需“托底”，通過保持式子數(shù)值不變的情況下添加分母的方法，使它們之間可以互相轉(zhuǎn)化,達(dá)到根據(jù)已知求值的目的。而添加分母的方法主要有兩種：一種利用sin2a十cos2a =1 ,把 sin2a +cos2a作為分母，并不改變?cè)降闹担硪环N是通過等式兩邊同時(shí)除以正弦或余弦又 或者它們的積，產(chǎn)生分母。

11、三、關(guān)于形如：acosx士bsinx的式子，在解決三角函數(shù)的極值問題時(shí)的應(yīng)用:可以從公式 sin AcosxtcosAsin x =sin(Ax)中得到啟示：式子 acosx bsin x與上述公式有點(diǎn)相似，如果把a(bǔ), b部分變成含sinA , cosA的式子，則形如acosx 士bsinx的式子者B可以 變成含sin(Ax)的式子，由于-1 sin( Ax) 1,所以，可考慮用其進(jìn)行求極值問題的處理，但要注意一點(diǎn)：不能直接把a(bǔ)當(dāng)成sinA, b當(dāng)成cosA,如式子：3cosx+4sin x 中，不能設(shè) sinA=3 , cosA=4,考慮：-1 sinA 1, -1 cosA 1,可以如下處

12、理式子：acosx -bsin x = . a2 b2a 上 b,. cosx sin xda2+b2Ca2+b2由于(,a)2 +( , b )2 =1。，a2 b2，a2 b2故可設(shè)：sin A = , a ,貝U cos A = *1-sin A ,即：cos A = 士，b.a2 b2,a2 b2 . acosxbsinx = a2 b2 (sin Acosx - cosAsin x) = . a2 b2 sin(A - x)無論 Ax取何值，-1 sin(A x) 1,精品文檔精品文檔-Va2 +b2 Ja2 +b2 sin(A x) Va2 十b2即： _Ja2 +b2 acosx

13、 bsinxw Ja2 +b2下面觀察此式在解決實(shí)際極值問題時(shí)的應(yīng)用：例1 （98年全國(guó)成人高考數(shù)學(xué)考試卷）求：函數(shù) y = J3cos2 x sin xcosx 的最大值為（AAAA ）.向-1 C . 1 - D.73+12再想辦法把cosx變成含cso2x的式子:1 一.1 .分析：sinxcos= ,2sinxcos =sin2x 222 /2 co2x 1c os?x = 2cosx-1 = c os x =2一 cos2x 11y = 3-sin2x22.3 八 3=cos2x 一 -1sin 2x2精品文檔, 3-1 .八、3二(cos2x 一一sin 2x)222由于這里：a

14、= ,b =L則va2 +b2 22. 31.3 y =1 (cos2x sin 2x)2223設(shè)：sin A = ja= -2-=衛(wèi),貝U cos A =a2 b2122、.3=sin Acos2x-cos Asin 2x 2= sin(A-2x)作無論A-2x取何值，都有-1 sin(A-2x) 0(或0(或|cos a 16a的終邊在H、HI的區(qū)域內(nèi)；4 .|sin a | “化弦為一”：已知tan a ,求sin a與cos a的齊次式，有些整式 情形還可以視其分母為1 ,轉(zhuǎn)化為sin 2 a +cos2 a .六、見“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：1.sin( a +

15、 B )sin( a - B )= sin 2 a -sin 2 B ;2. cos( a + B )cos( a - B )= cos 2 a -sin 2 B .七、見sin a cos a與sin a cos a”問題，起用平方法則：(sin a cos a )2=1 + 2sin a cos a =1 sin2 a ,故1 .若 sin a +cos a =t,(且 t22),貝 2sin a cos a =t2-1=sin2 a ;2 .若 sin a -cos a =t,(且 t22), 2sin a cos a =1-t 2=sin2 a .八、見“tan a +tan 0與ta

16、n a tan 0 ”問題，啟用變形公式：tan a +tan 0 =tan( a + B )(1-tan a tan 0 ).思考：tan a -tan 0 =? ? ?九、見三角函數(shù)“對(duì)稱”問題，啟用圖象特征代數(shù)關(guān)系：(AW0)1 .函數(shù)y=Asin(wx+6)和函數(shù)y=Acos(wx+6)的圖象，關(guān)于過最值點(diǎn)且平行于y軸的直線 分別成軸對(duì)稱；2 .函數(shù)y=Asin(wx+小)和函數(shù)y=Acos(wx+小)的圖象，關(guān)于其中間零點(diǎn)分別成中心對(duì)稱；3 .同樣，利用圖象也可以得到函數(shù) y=Atan(wx+小)和函數(shù)y=Acot(wx+小)的對(duì)稱性質(zhì)。十、見“求最值、值域”問題，啟用有界性，或者輔

17、助角公式：1.|sinx| 1,|cosx| 1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+ (|) c 2.十一、見“高次”，用降冪，見“復(fù)角”，用轉(zhuǎn)化 .1.cos2x=1-2sin 2x=2cos2x-1.2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)精品文檔角函數(shù)公式兩角和公式sin(A+B尸sinAcosB+cosAsinBsin(A-B尸sinAcosB-sinBcosAcos(A+B尸cosAcosB-sinAsinBcos(A-B尸cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1

18、-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB- 1 )/(。0出弋。lA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/1-(tanA2cos2a=(cosa)八2-(sina)八2=2(cosa)八2 -1=1-2(sina)八2sin2A=2sinA*cosA半角公式sinA2( a /2)=(1-cos a )/2C0SA2( a /2)=(1+cos a )/2tanA2( a /2)=(1-cos a )/(1+cos a ) 和差化積2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 積化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b)cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b)s