1、1如圖，在四棱錐P- ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD丄平面ABCD ,點 M 在線段 PB 上 , PD / 平面 MAC , PA = PD = 7 , AB= 4 .(1) 求證：M為PB的中點；(2) 求二面角B - PD - A的大小；(3) 求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)設(shè)AC n BD=O，則0為BD的中點，連接OM，利用線面平行的 性質(zhì)證明OM / PD，再由平行線截線段成比例可得 M為PB的中點；(2) 取AD中點G，可得PG丄AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得 PG丄平面ABCD， 則PG丄AD，連接OG,貝U PG丄OG,再證明OG丄AD .以
2、G為坐標原點，分 別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，求出平面 PBD 與平面PAD的一個法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角 B- PD - A的 大小；(3) 求出P的坐標，由與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得 直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)證明：如圖，設(shè)ACn BD=O , ABCD為正方形，二O為BD的中點，連接 OM , PD/平面 MAC, PD?平面 PBD，平面 PBDn 平面 AMC=OM , PD/ OM，則丄-二，即卩M為PB的中點；BD BP(2)解：取AD中點G, PA=PD，二 PG 丄 AD , 平面P
3、AD丄平面ABCD，且平面 PAD G平面 ABCD=AD , PG丄平面ABCD，貝U PG丄AD，連接OG，貝U PG丄OG ,由G是AD的中點，O是AC的中點，可得 OG / DC,貝U OG丄AD .以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐 標系,由 PA=PD=V，AB=4，得 D( 2, 0，0)，A (- 2, 0, 0)，P (0，0,譏)，C (2, 4, 0) , B (- 2, 4, 0), M (- 1, 2,平)，設(shè)平面PBD的一個法向量為| -. ，-.,m*DP=0則由，二工f ,得lid*DB=O7：y0,取 z=，得&(i.取
4、平面PAD的一個法向量為:,L II：-cos =二面角B- PD - A的大小為60 ;(3)解:=,平面BDP的一個法向量為,1. 1.-直線 MC與平面 BDP所成角的正弦值為| cos =| .|=| - |=：Imllml +4+護1 9【點評】本題考查線面角與面面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，屬中 檔題.2.如圖，在三棱錐 P- ABC中，PA丄底面ABC, / BAC=90 .點D , E, N分 別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2 .(I)求證：MN /平面BDE ;(U)求二面角C- EM - N的正弦值；(川)已知點H在棱PA
5、上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為二，求-W-丄線段AH的長.【分析】(I)取AB中點F,連接MF、NF，由已知可證 MF /平面BDE，NF/平面BDE .得至U平面 MFN /平面BDE，貝U MN /平面BDE ;(U)由PA丄底面ABC，/ BAC=90.可以A為原點，分別以 AB、AC、AP 所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.求出平面 MEN與平面CME的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角c-EM-N的余弦值，進一步求得正弦值；(川)設(shè)AH=t，則H (0, 0, t),求出而、瓦的坐標，結(jié)合直線NH與直線 BE所成角的余弦值為列式求得線段AH的長.21【解答
6、】(I)證明：取AB中點F，連接MF、NF, M 為 AD 中點，二 MF / BD， BD?平面 BDE，MF?平面 BDE，二 MF / 平面 BDE . N 為 BC 中點，二 NF / AC，又 D、E 分別為 AP、PC 的中點，二 DE / AC,貝U NF / DE .v DE?平面 BDE , NF?平面 BDE，二 NF / 平面 BDE .又 MF A NF=F .平面 MFN /平面BDE，貝U MN /平面BDE ;(U)解：v PA丄底面 ABC, / BAC=90.以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標 系.v PA=AC=4, A
7、B=2, A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 4, 0) , M (0, 0, 1) , N (1, 2, 0), E(0, 2, 2),則叮.一，.一，設(shè)平面MEN的一個法向量為.1,Q 袖二0 Z0 f x+2y-z=0 左遠d得I沁二0取 z=2，得-b:.由圖可得平面CME的一個法向量為:. coy=:二2t-2長為一或.I m | n |XI 21二面角C- EM - N的余弦值為，則正弦值為;21 21（川）解：設(shè) AH=t，則 H （0, 0, t）,而二（七 -2, t）,祝二（七厶 2）.直線NH與直線BE所成角的余弦值為,211 cosv 忙,1
8、 =| = | | =.|NH|BE| 晶 I 邁 21 解得：t=或t=.52當(dāng)H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時線段AH的21【點評】本題考查直線與平面平行的判定， 考查了利用空間向量求解空間角， 考 查計算能力，是中檔題.3.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其內(nèi)部）以AB邊所 在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120 得到的，G是-的中點.（I）設(shè)P是卜上的一點，且 AP丄BE，求/ CBP的大??；（U）當(dāng)AB=3 , AD=2時，求二面角E - AG - C的大小.D【分析】(I)由已知利用線面垂直的判定可得 BE丄平面ABP,得到BE丄BP, 結(jié)合/ EBC=
9、120。求得/ CBP=30;(U)法一、取的中點H，連接EH , GH , CH，可得四邊形BEGH為菱形， 取AG中點M，連接EM , CM, EC,得至U EM丄AG , CM丄AG，說明/ EMC為 所求二面角的平面角.求解三角形得二面角 E- AG-C的大小.法二、以B為坐標原點，分別以BE, BP, BA所在直線為x, y, z軸建立空間 直角坐標系.求出A, E, G , C的坐標，進一步求出平面 AEG與平面ACG的 一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角 E - AG - C的大小.【解答】 解：(I)v API BE, AB 丄 BE, 且 AB , AP?平面 A
10、BP, ABA AP=A , BE丄平面 ABP, 又 BP?平面 ABP, BE丄 BP,又/ EBC=120,因此/ CBP=30;(U)解法一、取宀的中點H，連接EH , GH , CH ,vZ EBC=120,a四邊形BECH為菱形， AE=GE=AC=GC=; ?取AG中點M，連接EM , CM , EC,則 EM 丄 AG , CM 丄 AG , Z EMC為所求二面角的平面角.又 AM=1，二 EM=CM=:二.在厶BEC中，由于/ EBC=120,由余弦定理得：EC2=22+22- 2X 2X 2X cos120 =12 ,阮 II,因此 EMC為等邊三角形，故所求的角為60
11、.y, z軸建立空1,乙 0),解法二、以B為坐標原點，分別以BE, BP, BA所在直線為x, 間直角坐標系.由題意得：A (0, 0, 3), E (2, 0, 0), G (1,滅，3), C (-故.J.，：，-:.設(shè)I，” |為平面AEG的一個法向量，由二二-“，得,L m AG =0m*AE=0-3z i = 0円如二o,取Z1=2，得訊“刃;.：為平面ACG的一個法向量,ffn*AG=0可得-一，可得，tn-CG=0Han取z2= - 2,得芯歐込 cos =m* n 1lwllnl-2-二面角E - AG - C的大小為60 .【點評】本題考查空間角的求法，考查空間想象能力和思
12、維能力，訓(xùn)練了線面角 的求法及利用空間向量求二面角的大小，是中檔題.4如圖，在以A ,B,C,D ,E ,F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD ,/ AFD=90,且二面角 D - AF- E 與二面角 C- BE - F 都是 60 .(I)證明平面 ABEF丄平面EFDC ;(U)求二面角E - BC- A的余弦值.【分析】(I)證明AF丄平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF丄平面EFDC ;(U)證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立如圖所示的坐標系， 求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角 E - BC- A 的余弦
13、值.【解答】(I)證明：ABEF為正方形，二AF丄EF.vZ AFD=90,. AF 丄 DF,v DFn EF=F , AF丄平面 EFDC , AF?平面 ABEF , 平面ABEF丄平面EFDC ;(U)解：由 AF 丄 DF , AF 丄 EF,可得/ DFE為二面角D - AF - E的平面角；由ABEF為正方形，AF丄平面EFDC, BE丄 EF, BE丄平面EFDC即有CE丄BE,可得/ CEF為二面角C- BE - F的平面角.可得/ DFE= / CEF=60. AB/ EF, AB?平面 EFDC, EF?平面 EFDC , AB/平面 EFDC ,平面 EFDC G 平面
14、 ABCD=CD , AB?平面 ABCD, AB/ CD, CD/ EF, 四邊形EFDC為等腰梯形.以E為原點，建立如圖所示的坐標系，設(shè) FD=a ,0),則 E(0,0,0),B (0,2a,0) ,C C1 , 0 ,- a) ,A (2a,2a, T= (0 , 2a, 0), ： =, 設(shè)平面BEC的法向量為 =(xi , yi , zi),則2ayj=0則,西 八,取E =(丙,0, - 1). yxj -2ay!+az設(shè)平面ABC的法向量為n= (X2, y2, Z2),則f 號n-AB=O則頭戸毗+爭円，?。?(,価，4).2az2=:0設(shè)二面角E - BC-A的大小為B,貝
15、上os 9= 1Im I- | n | =-4 二龍佰I ；：:,【點評】本題考查平面與平面垂直的證明， 考查用空間向量求平面間的夾角， 建 立空間坐標系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵.5. 如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O, AB=5，AC=6，點E，F(xiàn) 分別在AD , CD 上, AE=CF= , EF交于BD于點H，將 DEF沿EF折到 D EF的位置，0D=不.(I)證明： D H 丄平 BABCD;(U)求二面角B- D A-C的正弦值.【分析】(I)由底面ABCD為菱形，可得AD=CD ,結(jié)合AE=CF可得EF / AC, 再由ABCD是菱形，得 AC丄BD
16、，進一步得到EF丄BD，由EF丄DH，可得EF 丄D H,然后求解直角三角形得 D H丄OH，再由線面垂直的判定得D H丄 平面ABCD ;(U)以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由已知求得所用點的 坐標，得到廠、.的坐標，分別求出平面 ABD與平面ADC的一個 法向量二，設(shè)二面角二面角B- D A- C的平面角為求出|cos|B.則二 面角B- D A- C的正弦值可求.【解答】(I)證明：ABCD是菱形， AD=DC，又 AE=CF=匚，4，貝U EF/ AC，EA FC又由ABCD是菱形，得 AC丄BD，貝U EF丄BD， EF丄 DH，貝U EF丄 D H， AC=6， AO
17、=3，又 AB=5，AO 丄OB， OB=4， 0H=1，貝U DH=D H=3，AD | OD |2=| 0H| 2+| D H |2,貝U D H OH，又 OH A EF=H， D H丄平面ABCD ;(n)解：以h為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，T AB=5，AC=6， B (5,0,0), C (1,3,0), D( 0, 0,3),A (1, 3,0), . 一. : 1. - : ,二 ,設(shè)平面ABD的一個法向量為：,:,4x+3y=0 ，取 x=3，得 y= 4, z=5.-x+3y+3z=0m -.j同理可求得平面ADC的一個法向量 -I-;, Ij J.設(shè)二面角二面
18、角B D A C的平面角為9,I 13X3+5X11 75則 | cos |0=|nt *n2IHI _ 5V2XV10 25【點評】本題考查線面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓(xùn)練了利用 平面的法向量求解二面角問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.6. 在三棱柱ABC AEG中，CA=CB ,側(cè)面ABBA 是邊長為2的正方形，點E, F分別在線段 AA“ AQ上，且AE= - ,CE丄EF.2 4(I)證明：平面 ABBiAi丄平面ABC;(U)若CA丄CB,求直線ACi與平面CEF所成角的正弦值.【分析】 取AB的中點D，連結(jié)CD , DF, DE 計算DE , EF, DF，利
19、用 勾股定理的逆定理得出 DE丄EF ,由三線合一得 CD丄AB，故而 CD丄平面 ABB1A1，從而平面 ABB1A1X平面ABC;(II)以C為原點建立空間直角坐標系，求出和平面CEF的法向量-1，則直 線ACi與平面CEF所成角的正弦值等于|cosv | .【解答】證明：(I)取AB的中點D，連結(jié)CD，DF, DE . AC=BC，D 是 AB 的中點，二 CD 丄AB .側(cè)面ABBiAi是邊長為2的正方形，AE= 1，AiF=：；. EF2+DE2=DF2，A de 丄EF，又 CEXEF，CE A DE=E，CE?平面 CDE，DE?平面 CDE， EF丄平面 CDE，又 CD?平面
20、 CDE， CD丄 EF，又CD丄AB，AB?平面ABBiAi，EF?平面ABBiAi，AB，EF為相交直線, CD丄平面 ABBiAi,又 CD? ABC，平面 ABBiAi X平面 ABC.（II）：平面ABBiAi丄平面ABC, 三棱柱ABC- A1B1C1是直三棱柱，二CG丄平面ABC.TCA丄 CB, AB=2，二 AC=BC=.以C為原點，以CA, CB, CCi為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則 A （V，0, 0），C（0, 0, 0），Ci （0, 0, 2），E，0，寺）,F（，2).:=(-,0, 2),1= ( , 0, ), = (, , 2).Ti5n*CT-
21、0V30設(shè)平面CEF的法向量為i= （x, y, z）,z=0,令 z=4,得 i=2z=0：=10, | F =6 ,j = . g =r1818u【點評】本題考查了面面垂直的判定，線面角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中 檔題.7. 如圖，在四棱錐中 P ABCD , PA丄平面 ABCD , AD / BC, AD丄CD，且AD=CD=2 *：, BC=4 :, PA=2 .(1) 求證：AB丄PC;(2) 在線段PD上，是否存在一點 M，使得二面角M - AC D的大小為45 , 如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性質(zhì)求出AB，
22、AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB丄AC,由PA丄平面 ABCD得出AB丄PA，故 AB丄平面PAC，于是AB丄PC;(2)假設(shè)存在點M，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出 M到平面ABCD 的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h,根據(jù) 勾股定理計算BM，則十即為所求角的正弦值.Dnl【解答】解：(1)證明：四邊形ABCD是直角梯形，AD=CD=2 匚,BC=4 匚, AC=4, AB=丄 ：=4, ABC是等腰直角三角形，即AB丄AC, PA丄平面 ABCD , AB?平面 ABCD , PA 丄 AB, AB丄平面PAC,又PC?平面PAC, AB 丄 PC
23、.(2)假設(shè)存在符合條件的點 M,過點M作MN丄AD于N，則MN / PA, MN 丄平面 ABCD，二 MN 丄 AC.過點M作MG丄AC于G,連接NG，則AC丄平面MNG , AC丄NG，即/ MGN是二面角M - AC - D的平面角.若/ MGN=45 ，貝U NG=MN , 又 AN=匚NG=匚MN , MN=1，即M是線段PD的中點.存在點M使得二面角M - AC - D的大小為45 .在二棱錐 M - ABC 中，Vm - ABC=丄5厶 ABC?MN =二二】-=,設(shè)點B到平面MAC3 323 MG= =MN=乙的距離是h,則VB-MAC=， | ,-MAC=2:,解得h=2
24、:.在 ABN 中,AB=4 ,AN= 匚,/BAN=135, BM與平面MAC所成角的正弦值為、DBN=；-;八, BM=：.卩=3 :,h = 2血廠 .【點評】本題考查了項目垂直的判定與性質(zhì)， 空間角與空間距離的計算，屬于中 檔題.8如圖，在各棱長均為 2的三棱柱ABC- A1B1G中，側(cè)面AiACCi丄底面ABC,/ AiAC=60.（1）求側(cè)棱AAi與平面ABiC所成角的正弦值的大小；（2）已知點D滿足=二+于，在直線AA!上是否存在點P,使DP /平面ABQ? 若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由.【分析】（1）推導(dǎo)出A0丄平面ABC，BO丄AC，以0為坐標原點，建立如圖
25、 所示的空間直角坐標系0 - xyz,利用向量法能求出側(cè)棱AAi與平面ABiC所成角 的正弦值.（2）假設(shè)存在點 P符合題意，則點P的坐標可設(shè)為 P （ 0，y，z），則.利用向量法能求出存在點P，使DP /平面ABiC，其坐標為（0，0,訴）,即恰好為Ai點.【解答】解：（i）v側(cè)面AiACCi丄底面ABC，作AiO丄AC于點O,AiO 丄平面 ABC .又/ ABC= / AiAC=60,且各棱長都相等， AO=i , OAi=OB= ，BO 丄 AC .（2 分）故以0為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O - xyz.則 A (0,- 1, 0), B (訴,0, 0), Ai (
26、0, 03), C (0, 1, 0),瓦=(0, 1,譏)，畫=(五 g _Vs), AC= (0, 2, 0). ( 4分) 設(shè)平面ABiC的法向量為:,取 x=1，得 i= (1, 0,1)np ABVs+Sy-VsOLnp AC=2y=0設(shè)側(cè)棱AA1與平面ABQ所成角的為9, -AAi -n眉 J7則 sin 9 =os |=丨. I,1|訕卜 |n|2V2 4側(cè)棱AA1與平面ABQ所成角的正弦值為 ( 6分)4(2)：匚，而:-:,二，-.,|：, 1= (- 2 二,0, 0),又：B (、),點 D (-二,0, 0).假設(shè)存在點P符合題意，則點P的坐標可設(shè)為P（0, y , z
27、）一.DP /平面AB1C , = (- 1 , 0 , 1)為平面ABQ的法向量,fy+l=人 y=0.(10 分)又DP?平面ABQ ,故存在點P ,使DP/平面AB1C ,其坐標為（0 , 0 ,二）,即恰好為A1點.（12 分）【點評】本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與 求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.9. 在三棱柱ABC-AEG中，側(cè)面ABBiAi為矩形，AB=2，AA= ，D是AA、的中點，BD與ABi交于點0,且CO丄平面ABBiAi.(I)證明：平面ABiC丄平面BCD ;(U)若OC=OA， ABiC的重心為G,求直線GD與
28、平面ABC所成角的正弦 值.【分析】(I)通過證明ABi丄BD，ABi丄CO,推出ABi丄平面BCD，然后證明 平面ABiC丄平面BCD .(U)以O(shè)為坐標原點，分別以 OD，OBi, OC所在直線為x, y，z軸，建立 如圖所示的空間直角坐標系 O - xyz求出平面ABC的法向量，設(shè)直線GD與平 面ABC所成角a,利用空間向量的數(shù)量積求解直線GD與平面ABC所成角的正 弦值即可.【解答】(本小題滿分i2分)解:(I) v ABBiAi 為矩形，AB=2 , D 是 AAi 的中點，二/ BAD=90,.Liu.,，-二從而-,i |i= =_-7,；-一.一二_】-.,Ad Z1 d d
29、I 1 Z/ ABD= / ABiB,（2 分） rfn .葉|甘一，從而 ABBD（4 分）CO 丄平面 ABB1A1, AB1?平面 ABB1A1 , AB1 CO,： BD A CO=O , AB1丄平面BCD, ABi?平面 ABiC,平面ABiC丄平面BCD（6分）（U）如圖，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)D , OBi, OC所在直線為x, y, z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系 O - xyz.在矩形ABBiAi中，由于AD / BBi，所以 AOD和厶BQB相似， 從而：OA OD AD 乙又-，二 ill；丨訃；：.-匚E，-，-，A（0t 馬二 0）, B（弋2, 0、0）QB
30、嚴 , 心2晅八“斶 GABiC 的重心，0）, D2V3C（0, 0,竽），野（0,誓（8 分）G（0,竽.竽），尿您設(shè) 平屁（罟，竽，0）,玄（,竽，竽），23 .23 亠= 丁 日令 y=i，則 z= - i,：, 一 ，所以一 I .：.（ iO 分）面 ABC 的由住迺R可得一L n - AC =0法 向 量23 麗、y+z=0為 ：.二.丁、二.設(shè)直線 GD 與平面 ABC 所成角巒爭呼* T）二， _所以直線GD與平面ABC所成角的正弦值為一 （ 12分）65【點評】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用， 直線與平面所成角的求法, 考查空間想象能力以及計算能力.10. 在矩形A
31、BCD中，AB=4匸，AD=2二，將 ABD沿BD折起，使得點A折起至A,設(shè)二面角A - BD - C的大小為9.(1)當(dāng)9 =90。時，求AC的長;(2)當(dāng)CBCcos 9二時，求BC與平面A BD所成角的正弦值.【分析】（1）過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE，利用勾股定 理及余弦定理計算 AE，CE,由A E丄CE得出A C;（2）利用余弦定理可得A F=，從而得出A F丄平面ABCD，以F為原點建立坐標系，求出和平面A BD的法向量I,則BC與平面A BD所成角的正弦值為|cosv二三| .【解答】解：（1）在圖1中，過A作BD的垂線交BD于E,交DC于F,連接CE.AB
32、=4“；：！;, AD=2：! ；， BD=|： =10.，BE=8，cos/CBE，= 一 .在 BCE中，由余弦定理得CE=-| =2 _;.V0 =90 ,二 A E丄平ABCD，二 A ESE.二 1 AC =e+CE42“!.（2） DE= =2 . tan/ FDE=岸干-_,A EF=1 , DF= p=:當(dāng)仝-1 即 cos/ A EF=時，,_）I J .aE2=AF 2+EF2,A/ AFE=90 又 BD 丄 AE , BD 丄 EF，二 BD 丄平面 AEF，二 BD 丄 AF.AF丄平面ABCD .以F為原點，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA為z軸建立
33、 空間直角坐標系如圖所示: .A（ 0, 0,岳），D （頁，0, 0）, B （3燥,於,0）, C （鉅,0, 0）.1= （0 , 2 - , 0）, 1.= （4 : , 2 ： , 0） ,二（-,0, _?）.設(shè)平面ABD的法向量為n= （x , y , z）,貝,Ln-DAZ 二0lV5x+/15z=0令z=1得匸2_、,1）.-cosv- 二 = =-cos . BC與平面ABD所成角的正弦值為丄丄.【點評】本題考查了空間角與空間距離的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.11. 如圖，由直三棱柱 ABC- A1B1C1和四棱錐D - BBiGC構(gòu)成的幾何體中，/BAC=90, A
34、B=1，BC=BBi=2，CiD=CD= 二，平面 CCiD 丄平面 ACCiAi.(I)求證：AC 丄 DCi；(U)若M為DCi的中點，求證：AM /平面DBBi；7T(rn)在線段BC上是否存在點P,使直線DP與平面BBiD所成的角為 ？若【分析】(I)證明AC丄CG,得到AC丄平面CCiD，即可證明AC丄DCi.(U)易得/BAC=90，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,依據(jù)已知條件可得 A (0, 0, 0)，G 岳 )，苗，0)，B (0, 0, i)，Bi （2, 0, 1）, D（L 站，2）,利用向量求得AM與平面DBBi所成角為0,即AM /平面DBBi.（川）利用向量求解【解
35、答】解：（I）證明：在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，CG丄平面ABC,故AC 丄 CCi,由平面CCiD丄平面ACCiAi,且平面CCiD Cl平面ACCiAi=CCi,所以AC丄平面CCiD ,又CiD?平面CCiD，所以AC丄DCi.（U）證明：在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，AAi丄平面ABC,所以AAi丄AB, AAi丄AC,又/ BAC=90，所以，如圖建立空間直角坐標系 A - xyz,依據(jù)已知條件可得 A （0, 0, 0）, . 1 ，亠? J,B（ 0, 0, i）,Bi （2, 0, i）, D（l,応 2）,所以廠1 H，亍i.-,設(shè)平面DBBi的法向量為
36、二.；,n-BBi =0 f 2x=0由 1即 :E 麗二 01比+口令y=i，則二 ，x=0，于是 n= （山 1, W3），因為M為DCi中點，所以（一-:,所以-_- ,由：.：.丨1.- | ,可得乩 ,所以AM與平面DBBi所成角為0, 即AM /平面DBBi.(川)解：由(n)可知平面 BBlD的法向量為/7 .設(shè)王J三，入 0, 1,若直線 DP 與平面DBBi 成角為二， 則3- ，I n | | DP | 吋 4 入 J 入 +52解得 141 .，故不存在這樣的點.D【點評】本題考查了空間線線垂直、線面平行的判定，向量法求二面角屬于中 檔題12. 如圖，在多面體ABCDEF
37、中，底面ABCD為正方形，平面AED丄平面ABCD，AB=EA=ED，EF / BD(I) 證明：AE丄CD(II) 在棱ED上是否存在點M，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值 為上？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由.B【分析】(I)利用面面垂直的性質(zhì)得出 CD丄平面AED，故而AE丄CD;(II)取AD的中點0,連接EO ,以0為原點建立坐標系，設(shè) -，求出平ED面BDEF的法向量，令| cosv叮.：|二二，根據(jù)方程的解得出結(jié)論.【解答】(I)證明：四邊形ABCD是正方形，二CD丄AD，又平面AED丄平面 ABCD，平面 AED G平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
38、 CD 丄平面 AED AE?平面 AED， AE 丄 CD .(II)解：取AD的中點0,過O作ON / AB交BC于N，連接EO， EA=ED，二 OE 丄 AD，又平面 AED 丄平面 ABCD，平面 AED G 平面 ABCD=AD，OE?平面 AED， OE 丄平面 ABCD，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系 O - xyz.如圖所示:設(shè)正方形ACD的邊長為2,.,則 A (1, 0, 0), B (1, 2, 0), D (- 1,0, 0), E (0, 0, 1), M (-入，0, 1-入)AM=(-入-1, 0, 1-入)：= (1, 0,1), = (2, 2, 0),設(shè)平面
39、BDEF的法向量為= (x, y, z),n*DB=O則*二二，即*LnpDE=O誓,令x=1得二Lx+z=O(1,- 1,- 1), COSV.L = M = 三 r.r -:令I(lǐng)i-,解得入=o,V3rV2 +2$當(dāng)M與點E重合時，直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為；.【點評】本題考查了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計算，屬于中檔題.13. 如圖，在四棱錐 P ABCD 中，/ ABC= / ACD=90, / BAC= / CAD=60, PA丄平面 ABCD，PA=2，AB=1 .(1) 設(shè)點E為PD的中點，求證：CE/平面PAB;(2) 線段PD上是否存在一點N，使得直線CN
40、與平面PAC所成的角B的正弦 值為一一？若存在，試確定點N的位置，若不存在，請說明理由.5【分析】(1)取AD中點M，利用三角形的中位線證明EM /平面PAB，利用同 位角相等證明 MC/ AB，得到平面EMC /平面PAB，證得EC/平面PAB;(2)建立坐標系，求出平面 PAC的法向量，利用直線 CN與平面PAC所成的 角B的正弦值為I ，可得結(jié)論.5【解答】(1)證明：取AD中點M，連EM , CM,貝U EM / PA. EM?平面 PAB, PA?平面 PAB, EM /平面 PAB.在 RtAACD 中，/ CAD=60, AC=AM=2 ,二/ ACM=60.而/ BAC=60,
41、：MC / AB. MC?平面 PAB, AB?平面 PAB,a MC /平面 PAB . EM A MC=M，二平面 EMC / 平面 PAB . EC?平面 EMC ,二 EC / 平面 PAB.(2)解：過A作AF丄AD，交BC于F,建立如圖所示的坐標系，則 A(0 , 0 ,(=,1, 0),D(0, 4, 0), P(0, 0, 2),設(shè)平面PAC的法向量為= (x, y, z),設(shè) PN=訊)(0|=.=，巧， N為PD的中點,使得直線CN與平面PAC所成的角B的正弦值為 【點評】本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.14. 如圖，四棱錐P- ABCD的底面ABCD為平行四邊形，平面PAB丄平面ABCD , PB=PC,/ ABC=45,點E是線段PA上靠近點A的三等分點.（I）求證：AB丄PC;“）若厶PAB是邊長為2的
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