理學(xué)概率習(xí)題課PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1 理學(xué)概率習(xí)題課理學(xué)概率習(xí)題課 例例1 設(shè)設(shè) (X,Y) 的概率密度是的概率密度是 解解 求求 (1) c 的值的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度 . 其它,0 0, 10),2( ),( xyxxcy yxf dyyxfxfX , 0 0 , ,. X x x fxfx y dy fx y dyfx y dy (2) x x y 0 yx 1 xx x 10, ,0,0. X xxy fx yfx 或或 都都有有故故 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),01x 第1頁/共36頁 ),2( 5 12 2 xx 注意取值范圍注意取值范圍 x dyxy 0 )2( 5 24 綜上綜上 , .,0

2、 ,10,2 5 12 2 其它其它 xxx xf X x x yx x y 01 x x 0 0 , ,. X x x fxfx y dy fx y dyfx y dy 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),01x 第2頁/共36頁 解解 (2) dxyxfyfY , .0,0, ,01 yfyxf xyy Y 故故都有都有 對對時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) ., , ,10 1 1 dxyxfdxyxf dxyxfyf y y y Y 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx y y y 1 1y0 y x 第3頁/共36頁 ), 2 2 2 3 ( 5 24 2 y yy 1 )2( 5 24 y dxxy 其它, 0 10), 2 2 2 3 ( 5

3、24 )( 2 y y yy yfY 綜上綜上 , 第4頁/共36頁 練習(xí)：練習(xí)： 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0, , 0, y exyx fx y 其其它它 求求( X,Y )關(guān)于關(guān)于 X 和和 Y 的邊緣概率密度的邊緣概率密度. 第5頁/共36頁 x yx x y 0 x x , X fxfx y dy 解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 00 X fxdy y X x fxedy x e yx e 故故 ,0, 0,0. x X ex fx x 第6頁/共36頁 yx x y 0 , Y fyfx y dx y y y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0y 0

4、0 Y fydx 0 y y Y fyedx y ye 故故 ,0, 0,0. y Y yey fy y 第7頁/共36頁 設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二若二 維隨機(jī)變量（維隨機(jī)變量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度 其它, 0 ),(, 1 ),( Gyx A yxf 則稱（則稱（X,Y）在）在G上服從均勻分布上服從均勻分布. 向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落 在在G內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，的概率與小區(qū)域的面積成正比， 而與而與B的形狀及位置無關(guān)的形狀及位置無關(guān). 則質(zhì)點(diǎn)的

5、坐標(biāo)則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) (X,Y)在在G 上服從均勻分布上服從均勻分布. 例例 第8頁/共36頁 例例 2 設(shè)設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域G上的上的 均勻分布，均勻分布， (1)求求(X,Y)的概率密度；的概率密度； (2)求求P(Y2X)； (3)求求F(0.5,0.5)。 4 1 1 2 1 2 1 1 G A 2 1 1 4 14 G G 面積 面積 的的 的的 O 0.5 1 x G 解解 (1)區(qū)域區(qū)域G的面積為的面積為1 Gyx Gyx yxf ),(0 ),(1 ),( (2) Y2X， G1 y=2x y 區(qū)域區(qū)域G1的面積為的面積為 1 P(Y2X) 1 1 4 G G 的

6、面積 的面積 (3)F(0.5,0.5)=P(X0.5,Y0.5) G2 第9頁/共36頁 例例3 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時(shí)時(shí)30分在某地會面分在某地會面.如如 果甲來到的時(shí)間在果甲來到的時(shí)間在12:15到到12:45之間是均勻分布之間是均勻分布. 乙乙 獨(dú)立地到達(dá)獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在而且到達(dá)時(shí)間在12:00到到13:00之間是均之間是均 勻分布勻分布. 試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過 5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？ 解解 設(shè)設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻為甲到達(dá)時(shí)刻,Y為乙到達(dá)時(shí)刻為乙到達(dá)時(shí)刻 以以1

7、2時(shí)為起點(diǎn)時(shí)為起點(diǎn),以分為單位以分為單位,依題意依題意, XU(15,45), YU(0,60) 其它, 0 4515, 30 1 )( x xf X 第10頁/共36頁 所求為所求為P( |X-Y | 5) , 其它, 0 600, 60 1 )( x yfY 其它, 0 600 ,4515, 1800 1 ),( yx yxf 甲先到甲先到 的概率的概率 由獨(dú)立性由獨(dú)立性 先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不 超過超過5分鐘的概率分鐘的概率 P(XY) 第11頁/共36頁 解一解一 45 15 5x 5x dxdy 1800 1 P( | X-Y| 5 ) x y

8、0 1545 10 60 40 5yx 5yx =P( -5 X -Y 5) x y 0 1545 10 60 40 yx P(XY) 45 15 60 x dxdy 1800 1 1 2. 1 6. 第12頁/共36頁 解二解二 5| yx | dxdy 1800 1 P(X Y) 1 6. P( | X-Y| 5 ) 第13頁/共36頁 類似的問題如：類似的問題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú)甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú) 立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊小時(shí)，乙

9、船需停泊2小時(shí)，而該碼頭小時(shí)，而該碼頭 只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出 的概率的概率. 第14頁/共36頁 定理定理2.3設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù)Y=g(X), y=g(x)為連續(xù)函數(shù)。為連續(xù)函數(shù)。 , 2 , 1, kpxXP kk (1) 若若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 1 1 |()| ( ) ()().(1) kk k kk k g xp E YE g Xg xp 且收斂，則有 (2)( ) |( )|( )d ( ) ()( ) ( )d .(2) Xf x g

10、xf xx E YE g Xg x f xx 若 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，且 收斂，則有 第15頁/共36頁 定理定理3.2設(shè)設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，為二維隨機(jī)變量，g(x,y)為二元連為二元連 續(xù)函數(shù)。續(xù)函數(shù)。 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 函數(shù)函數(shù)絕對收斂，則隨機(jī)變量絕對收斂，則隨機(jī)變量且級數(shù)且級數(shù)),(),( 11 YXgpyxg ij ijji 1若若(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為 , 2 , 1, 2 , 1, jipyYxXP ijji 11 (, )( ,).(1) ijij ij E g X Yg x yp 第16頁/

11、共36頁 (, )( , ) ( , )d d(2)E g X Yg x y f x yx y 絕對收斂，則隨機(jī)變量函數(shù)絕對收斂，則隨機(jī)變量函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 注意，若注意，若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合 概率密度為概率密度為f(x,y). 有有 2若若(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為為二維連續(xù)隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為 f(x,y)且廣義積分且廣義積分 yxyxfyxgdd),(),( 第17頁/共36頁 也就是說，對于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，計(jì)算也就是說，對于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，計(jì)算Eg(X)用用 定理定理3.2式比用定

12、理式比用定理2.3計(jì)算方便。計(jì)算方便。 但當(dāng)?shù)?dāng)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，由于求邊為二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，由于求邊 緣分布律不復(fù)雜，用定理緣分布律不復(fù)雜，用定理2.3計(jì)算計(jì)算Eg(x)稍簡潔些。稍簡潔些。 ()( ) ( , )d dE g Xg x f x yx y xyyxfxgdd),()( ,)d()(xxfxg X 第18頁/共36頁 例例4設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取下列數(shù)值中的值只能取下列數(shù)值中的值 ：(0,- -1),(- -1,1),(0,1),(2,- -1), 且取這些值的概率依次為且取這些值的概率依次為 0.2,0.1,0.3,0.4. 求：求：

13、(1)E(X2);(2)E(XY). 解解由題意寫出由題意寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律并計(jì)算邊緣分的聯(lián)合分布律并計(jì)算邊緣分 布律如下：布律如下： X Y -102PY=yj -100.20.40.6 10.10.300.4 PX=xi0.10.50.41 第19頁/共36頁 2222 (1)2.3()( 1)0.100.520.4 1.7. E X 由定理， (2)3.2 ()( 1)( 1)0( 1) 1 0.10( 1)0.20 1 0.32( 1)0.4 2 1 0 0.9. ijij ij E XYx y p 由定理， 第20頁/共36頁 X Y -102 00.070.180.15 1

14、0.080.320.20 練習(xí)：設(shè)聯(lián)合分布率如下所示 ， ._)5, 3cov( 22 YX則 第21頁/共36頁 例例5設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 ., 0 ,0 , 10,3 ),( 其他其他 xyxx yxf ).()4();()3();()2();(),()1( 2 XYEYXEYEXEXE 求：求： 解解用定理用定理3.2計(jì)算。計(jì)算。 , 4 3 d3 d3ddd),()()1( 1 0 3 0 2 1 0 xx yxxyxyxxfXE x . 5 3 d3 d3ddd),()( 1 0 4 0 3 1 0 22 xx yxxyxyxfxXE x 第22頁/共36

15、頁 . 8 3 d 2 3 d3ddd),()()2( 1 0 3 0 1 0 xx yxyxyxyxyfYE x . 8 9 d 2 9 d)(3d dd),()()()3( 1 0 3 0 1 0 xxyyxxx yxyxfyxYXE x . 10 3 d 2 3 d3ddd),()()4( 1 0 4 0 2 1 0 xx yyxxyxyxxyfXYE x 第23頁/共36頁 例例6 6 已知已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 Y X 12 11/31/6 2a1/9 3b1/18 X123 P1/2a+1/9b+1/18 Y12 Pa+b+1/31/3 試確定常數(shù)試確定常數(shù)a,

16、b，使，使X與與Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 解解 先求出先求出(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣分布律的邊緣分布律 要使要使X與與Y相互獨(dú)立，可用相互獨(dú)立，可用pij =pipj來確定來確定a,b 。 P(X=2,Y=2)= P(X=2)P(Y=2)， P(X=3,Y=2)= P(X=3)P(Y=2)， 即即 3 1 18 1 18 1 3 1 9 1 9 1 b a 9 1 9 2 b a 因此，因此， (X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為 Y X 12 pi 11/31/61/2 22/91/91/3 31/91/181/6 pj 2/31/3 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)

17、X與與Y是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。 第24頁/共36頁 例例7 7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 G=(x,y)|0 x 2,0 y 1上服從上服從 均勻分布，若均勻分布，若 YX YX U 0 1 YX YX V 20 21 試求試求(U,V)的聯(lián)合分布律，并判斷的聯(lián)合分布律，并判斷U與與V是否相互獨(dú)立。是否相互獨(dú)立。 解解 (X,Y)在在G上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為 O 1 2 x y 1 y=x x=2y G Gyx Gyx yxf ),(0 ),( 2 1 ),( )()2,()0, 0(YXPYXYXPVUP yx

18、x dydxdxdyyxf 1 0 1 4 1 2 1 ),( 0)2,() 1, 0(YXYXPVUP )2()2,()0, 1(YXYPYXYXPVUP yxy y y dxdydxdyyxf 2 1 0 2 4 1 2 1 ),( )2()2,() 1, 1(YXPYXYXPVUP yx x dydxdxdyyxf 2 2 0 2 0 2 1 2 1 ),( 第25頁/共36頁 (U,V)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為 V U 01pi 01/401/4 11/41/23/4 pj1/21/2 經(jīng)檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)， U和和V不是相互獨(dú)立的。其中不是相互獨(dú)立的。其中 PU

19、=0,V=0 PU=0 PV=0 第26頁/共36頁 中心極限定理可以解釋如下：中心極限定理可以解釋如下： 假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨 機(jī)變量的和，其中每個(gè)隨機(jī)變量對于總和的作用都很機(jī)變量的和，其中每個(gè)隨機(jī)變量對于總和的作用都很 微小，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分微小，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分 布的。布的。 在實(shí)際工作中，只要在實(shí)際工作中，只要n足夠大，便可把獨(dú)立同分足夠大，便可把獨(dú)立同分 布的隨機(jī)變量之和當(dāng)作正態(tài)變量。布的隨機(jī)變量之和當(dāng)作正態(tài)變量。 一、獨(dú)立同分布的中心極限定理，即一、獨(dú)立同分布的中心極限定

20、理，即列維列維-林德貝格林德貝格 (Levy-Lindeberg） 第27頁/共36頁 例例8 將一顆骰子連擲將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500 的概率是多少？的概率是多少？ 解解 設(shè)設(shè)Xk為第為第k 次擲出的點(diǎn)數(shù)，次擲出的點(diǎn)數(shù)，k=1,2,100，則，則 X1,X2,X100獨(dú)立同分布，而且獨(dú)立同分布，而且 2 7 )( i XE 由中心極限定理由中心極限定理 12 35 10 2 7 100500 1500 100 1i i XP0)78. 8(1 12 35 4 49 6 1 )( 6 1 2 i i kXD 第28頁/共36頁 此定理表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)

21、分布的極限分布。當(dāng)此定理表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布。當(dāng)n充充 分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算可以轉(zhuǎn)化分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算可以轉(zhuǎn)化 為正態(tài)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。為正態(tài)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。 第29頁/共36頁 第30頁/共36頁 例例9 在一家保險(xiǎn)公司里有在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)， 每人每年付每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率 為為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問元，問 ：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大

22、？ (2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤有其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤有99%的的 概率不少于概率不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？元，賠償金至多可設(shè)為多少？ 第31頁/共36頁 解解 設(shè)設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n,p)，其中，其中 n= 10000，p=0.6%， np=60， npq=59.64 設(shè)設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤，則表示保險(xiǎn)公司一年的利潤，則 Y=10000 12- -1000X 于是由中心極限定理于是由中心極限定理 (1)P(Y 0)=P(10000 12- -1000X 0) =1 P(X 120) 1 (7.769)=0; 第32頁/共36頁 99. 0 994. 0006. 010000 006. 010000 60000 a (2)設(shè)賠償金為設(shè)賠償金為a元，則元，則 P(Y60000)=P(10000 12- -aX60000) =P(X60000/a)0.99 29.769 a 由