幾何光學中的常用數學方法分析

1、幾何光學中的常用數學方法分析 幾何光學這一章涉及的物理原理并不難，主要知識點有：光的直線傳播、光的反射、光的折射和透鏡成像.其中光的直線傳播、光的反射和透鏡成像部分學生在初中就學過一些，高中進一步深入學習并加入光的折射、全反射這一重點知識.這一章節(jié)的試題往往要求學生通過光路分析畫出光路圖，結合幾何代數知識進行相應的分析或計算.在實際的教學中，我們發(fā)現有些學生題目完成不好往往不是被物理考倒了，而是數學！下面我具體分析一下幾何光學中所涉及到的常用數學方法. 1相似三角形規(guī)律 例1如圖1所示，l為薄凸透鏡，點光源s位于l的主光軸上，它到l的距離為36 cm；m為一與主光軸垂直的擋光圓板，其圓心在主光

2、軸上，它到l的距離為12 cm；p為光屏，到l的距離為30 cm.現看到p上有一與擋光板同樣大小的圓形暗區(qū)ab.求透鏡的焦距. 分析求透鏡的焦距，利用透鏡成像公式需要知道物距和像距，物距u=36 cm，像距則需要根據題目條件來確定.光屏上的暗區(qū)是由于擋光圓板擋住部分光線而形成的.畫出點光源s經過擋光圓板邊緣后射到屏上的光路圖，可以發(fā)現光線sch可能落在a點也有可能落在b點，所以本題要分兩種情況討論. 情況一光線sch經過凸透鏡折射后落在a點，則像點為s1，設cc1=r，scc1與soh相似 聯立（1）、（2）得v1=90 cm. 由成像公式sx（1usx）+sx（1v1sx）=sx（1f1sx

3、）， 將u=36 cm，v1=90 cm代入得f1=25.7 cm. 情況二光線sch經過凸透鏡折射后落在b點，則像點為s2， scc1與soh相似， 聯立（3）、（4）得v2=18 cm. 由成像公式sx（1usx）+sx（1v2sx）=sx（1f2sx）， 總結相似三角形的規(guī)律通常運用在涉及平面鏡、凸透鏡、凹透鏡成像中.一般的處理方法為：畫出光線圖，找出臨界光線，尋找三角形的關系. 2三角函數的規(guī)律 例2如圖3所示，用折射率n=kf（2kf）的玻璃做成內徑為r，外徑為r=kf（2kf）r的半球形空心球殼，一束平行光射向此半球的外表面，與中心對稱軸oo平行，試求：（1）球殼內部有光線射出的區(qū)

4、域；（2）要使球殼內部沒有光線射出，至少用多大的遮光板，如何放置才行？ 分析（1）沿oo射入的光線一定能射出，離oo越遠則偏折越明顯，找出恰好發(fā)生全反射的臨界光線，畫出臨界 光線的光路圖.設臨界光線與外殼交于a，出球殼點為b，進入外殼的入射角為i，折射角為，離開內徑時入射角為. 當sin=sx（1nsx）=sx（1kf（2kf）sx），即=45時，光線恰好不能射出.要求boo=+i，先要算出角，在abo中，已知兩條邊，一個角，可以利用正弦定理，列出 得=15. 所以i=45. 所以boo=+i=15+45=60， 也就是說與oo夾角范圍在60以內的光線可以射出. （2）r=kf（2kf）rsi

5、ni=kf（2kf）sx（kf（2kf）2sx）r=r. 所以用一個半徑為r的遮光板，垂直于oo放置. 拓展本題若將空心球殼改為實心的半球形的玻璃體，則情況又如何？ 分析仍然畫出臨界光線光路圖 利用三角函數的兩角和差公式，展開得 所以全部的光線都可以射出. 總結三角函數的利用通常出現在折射定律的應用的習題上，往往出現兩次折射現象.這需要同學們掌握當光路圖畫好之后，出現的角和邊的條件比較瑣碎時，能正確地分析角和邊的關系，利用正弦定理、余弦定理、三角函數的和差公式、倍角、半角公式等，解出我們需要的角度或邊. 3靈活尋找?guī)缀侮P系 例3如圖6所示，一束截面為圓形（半經為r）的平行復色光垂直射向一玻璃半

6、球的平面，經折射后在屏幕s上形成一個圓形彩色亮區(qū).已知玻璃半球的半徑為r，屏幕s至球心的距離為d（d3r），不考慮光的干涉和衍射，試問： （1）在屏幕s上形成的圓形亮區(qū)的最外側是什么顏色？ （2）若玻璃半球對（1）中色光的折射率為n，請你求出圓形亮區(qū)的最大半徑. 分析（1）不同顏色的光對應光的折射率不同，紫光最大，臨界角最小，紅光最小，臨界角最大.畫出這兩條臨界光線，比較距離中心軸的距離. 從作圖可以看出： 若dbb至球心的距離，則紫光位于最外側； 若d 若屏幕在aa與bb之間，則中心軸兩側光線出現重合，情況比較復雜. 本題題設中交代（d3r），我們把它當做第一種情況考慮，則紫光位于最外側.是

7、不是一定這樣呢？我們再結合第二問的結論討論. （2）方法一：如圖8，紫光剛要發(fā)生全反射時的臨界光線射在屏幕s上的點h到亮區(qū)中心g的距離r就是所求最大半徑.設紫光臨界角為c，由全反射的知識可知： oef與fgh相似， 代入（2），得hg=dkf（n2-1kf）-nr. 方法二臨界角仍然滿足sinc=sx（1nsx）， 過e點做一條垂直于og的輔助線ie， 討論：若屏s的位置在aa以下，則hg 即hg=dkf（n2-1kf）-nr 玻璃對有色光的折射率為1.51.9，n 反思本題涉及的光學知識不難，只有一個臨界角的判斷，但是學生在做這道題時錯誤率很高.原因是不少學生不善于尋找邊長之間的關系，找出彼

8、此的聯系，必要時增添輔助線幫助解題.靈活尋找?guī)缀侮P系，簡單的說就是尋找角度的關系和長度的關系，不僅在幾何光學中應用廣泛，在涉及洛倫茲力的計算時應用也相當廣泛. 4巧妙利用輔助圓 例4一半圓柱形透明物體橫截面如圖10所示，底面aob鍍銀（圖中粗線）， o表示半圓截面的圓心，一束光線在橫截面內從m點入射，經過ab面反射后從n點射出.已知光線在m點的入射角為30，moa=60，nob=30.求：（1）光線在m點的折射角；（2）透明物體的折射率. 分析要求出在m點的折射角，要將光路圖畫出來， 然后找出角度關系. 方法一入射光線在aob上反射，與入射光有對稱性，想到將半圓柱補成一個圓，利用圓的特征來解題.q為m點的對稱點，q、p、n三點共線. 設在m點處，光的入射角為i，折射角為， 根據題意有=30，=60. 由于對稱性，可知 又因為oq=on， 所以pqo=pno=， 由于對稱性emp=pnf， 方法二：由幾何關系可得 （2）同方法一. 反思這道題難度在于找折射角.方法一，巧妙的通過補全圓，利用圓的對稱性找到角度關系；方法二，運用靈活尋找?guī)缀侮P系，ef即可以是eo與of