指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復習(有詳細知識點和習題詳解)

1、l本章的結構圖如下:一、指數(shù)的性質a0 =1 a = 0nmmn(2) a i：=a m,n z（一）整數(shù)指數(shù)哥1 .整數(shù)指數(shù)哥概念：an =a a.3a （n n）n個an 1.a a=0,n n a2 .整數(shù)指數(shù)哥的運算性質：（1） am h =am而（m,nw z ）(3) (ab =an bn(n=z )m . n m.nm -na1n n n a其中 aa=a a =a ,- =(ab )=a b =-.bbn3. a的n次方根的概念一般地，如果一個數(shù)的 n次方等于a （n 1, n e n * ），那么這個數(shù)叫做a的n次方根,即：若xn = a，則x叫做a的n次方根，（n 1, n

2、 e n ）例如：27的3次方根3/57 =3,27的3次方根v 27 =3,32的5次方根5/32 =2,32的5次方根532 = -2 .說明：若n是奇數(shù)，則a的n次方根記作a ；若a a 0則ug a 0 ,若a o則a 0則a的正的n次方根記作 va , a的負的n次方根，記作：a ;（例如：8的平方根 土& =垃8 16的4次方根析6 =2）若n是偶數(shù)，且a m0則聯(lián)沒意義，即負數(shù)沒有偶次方根； o 0n =0（n 1, n w n 曲），n/0 = 0；n式子n/a叫根式，n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù)。（na） =a .4. a的n次方根的性質般地，若n是奇數(shù)，則nan =a；若n是偶

3、數(shù)，則iana : 05.例題分析：例1 .求下列各式的值:（1）狄-8）(2)-10 2(3) 4;(3-n )4(4)7(a - b f (a b 河：略?；?例 2.已知 a b 1,n w n 沖解：當n是奇數(shù)時，原式=(a b)+(a+b) = 2a當 n是偶數(shù)時，原式=|a b | + | a+b|=(b a)+(a b) = 2a所以,gi一bn 例3.例4.求值:解:5 5-222(5 1)29-4 54(5-2)24（二）分數(shù)指數(shù)哥1 .分數(shù)指數(shù)哥：5 a10 = a1053124=a5 a 0 a = a12=a3 a 0計算： 7 t 40. 7 -、40解：7 .40

4、. 7 -、40 = , ( 52)2( 5 . 2)2 = 2 5即當根式的被開方數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)指數(shù)哥的形式;n如果哥的運算性質（2） （ak ）kn =a對分數(shù)指數(shù)哥也適用,2 2例如：若a 0,則a32 3二a3 二a5、4 a4即當根式的被開方數(shù)不能被根指數(shù)整除時,根式也可以寫成分數(shù)指數(shù)騫的形式。m 規(guī)定：（1）正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)哥的意義是anvam (a 0,m,ne n*,n1 )；（2）正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)哥的意義是1an 二man(a 0, m, n e n*, n 1). n ma 2,分數(shù)指數(shù)哥的運算性質：整數(shù)指數(shù)哥的運算性質對于分數(shù)指數(shù)哥也同樣適用(1)a

5、ras =a(a0,r,sw q)r s rs2 a =a a0, r,s qr r r3 ab = a b a 0,b 0, r 三 q說明：（1）有理數(shù)指數(shù)哥的運算性質對無理數(shù)指數(shù)哥同樣適用；2 2） 0的正分數(shù)指數(shù)哥等于 0, 0的負分數(shù)指數(shù)哥沒意義。3 .例題分析：例1.用分數(shù)指數(shù)哥的形式表示下列各式（a a o）：a2 .、a ,解：a2 a = a21a22a32 -=a 25=a2 ；11百a a2i j3a21,3=a4例2 .計算下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）f 2 1v(1) 2a3b2-6a2b3(2)13q_4二m4n/2 1v解(1) 2a3b2-6a2b3 - -

6、3a6b2 11115=2-6 - -3 a3=4ab0 =4a ；2 6b2 3 6(2)13一 4_ _8m4n1m42 m -3 n例3,計算下列各式:(2)解：（1）（3 5 - .125 - 4 5 =2 2533、-51 a。).32-a % a12131- 54 = 5 - 54 - 5 -：-57= 512 -52a4 = 1而5-54/5；a3丁25a665二二=a6 - -ac2 c3a a(三)綜合應用例 1.化簡：5x4 5x 5x 1.解：5- 5x 5x1 = 5x，(1 5 25) = 31 5x = 31 5x.51111例 2.化簡：(x2 -y2)-： (x

7、 -y，).111111111111解：(x2 y2 尸(x4 y4) = (x4 + y4 )(x4 y4) + (x4 y4) =x4+y4.11評述：此題注重了分子、分母指數(shù)間的聯(lián)系，即(xz)2=xl由此聯(lián)想到平方差公式的特點，進而使問題得到解決。1133例3.已知x+x- =3 ,求下列各式的值：(1) x2+x2；(2) x2+x2. 111111解：(1) q (x2 +x)2 =(x2)2 +2xx +(x)21 1=x +x +2 = 3 + 2 = 5,1 1x2 +x 2 = 45 ,11又由 x+x,=3得 x0, . x2+x20, 11所以 x2 x 2 - . 5

8、 .3311111111(2)(法一)x2+x 2 =( x2)3+(x 2)3 =(x2+x2)(x2)2x2x2+(x2)211= (x2 +x 2)( x +x)-1 = v5(3 -1) =2%/5 ,333333(法二)(x2) (x)j2 =(x2)2 (x”)2 2x”x” =x3 x* 2而 x3 x = (x x)(x2 x2-1)-(x x)(x xd)2 -3 -3 (32 -3) -18 33 (x2 +x =20 ,331又由 x+x =3 a0 得 x 0 , x2 +x 2 a0 , 33所以 x2 x =：j20 =25 .二、指數(shù)函數(shù)1 .指數(shù)函數(shù)定義：一般地

9、，函數(shù)y=ax (20且2#1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)定義域是 r .2.指數(shù)函數(shù)y = ax在底數(shù)a 1及0a0, y #1 ,所以，原函數(shù)的值域是 yy0,yr1.(2) q1 -(1)x 0. x0原函數(shù)的定義域是 10,收)，2，1 x一 .令t =1 -(-)x (x 0)貝u 0t1 , 2q y=jt在 b,1)是增函數(shù). 0 y 1 ,所以，原函數(shù)的值域是0,1).(3)原函數(shù)的定義域是 r,令 t= x 則 te0,q y =3t在(血,0】是增函數(shù)，. 0 y 0, a =1)得 ax = -1 , a 1y -1_ x _y 1q a 0-0 ,，1y1時，

10、證明函數(shù)ax 1是奇函數(shù)。證明：由ax1#0得，x#0,故函數(shù)定義域xx#0關于原點對稱。g)=a：1 (a： 1)ax a -1 (a -1)a1 axh 一(x)所以，函數(shù)y =ax 1 tew-1函數(shù)。例3.設a是實數(shù),2x 1(xw r),f (-x) - - f (x)變形得:解得：a所以，當axc 2 222a - (21) 2x 2x 1=1 ,=1時，f(x)為奇函數(shù)。2(2x 1)2x 1(1)試證明：對于任意 a, f (x)在r為增函數(shù);(2)試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)。分析：此題雖形式較為復雜，但應嚴格按照單調性、奇偶性的定義進行證明。還應要求學生 注意不同題型的

11、解答方法。(1)證明：設 x1, x2 亡 r, x1cx2，則，、，、，2 、 ，2 、f(x1)- f(x2)= (a -x-) -(a一-)2 12 x 1 1222x212x112(2x1 -2x2)(2x11)(2x2 1)由于指數(shù)函數(shù)y =2x在r上是增函數(shù)，且x1 x2,所以2x1 2x2即2x12x2 0 ,得 2x1 * a0 , 2x2*a0,所以，f(x1) -f(x2) 0 即 f(x1) 0ha1)的b次哥等于n,就是anb指數(shù)式ab =n底數(shù)哥指數(shù)loga n =b即 ab = n ,叫做a為底n的對數(shù)，記作loga n =b , a叫做對數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù)。對數(shù)

12、式log a n =b對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)n 0.(負數(shù)與零沒有對數(shù))loga1 = 0 ,同樣：loga a = 1 .10gan=n (對數(shù)恒等式).說明：1. 0在指數(shù)式中哥n 0, .在對數(shù)式中，真數(shù)2. 0對任意a0且a #1,都有a=13.如果把ab =n中的b寫成loga n ,則有2.對數(shù)式與指數(shù)式的互換例如：42 =16142 =2log416 = 2102 =100logioloo = 2log 4 2 = 2102=0.01log1o0.01 = -2例1.將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式:(1) 54 = 25 ;(2)(3)3a =27 ；64解：(1) 10g5 625 =4

13、;log12 - = -664；(3)log 3 27 = a ;3(4)= 5.37 log 1 5.37 = m .33 .介紹兩種特殊的對數(shù):常用對數(shù)：以自然對數(shù)：以 例2. (1)計算：10作底log10 n 寫成lgne作底為無理數(shù)，e= 2.7182810g9 27, log31625.5rlogen 寫成ln e.解：設 x = 1og9 27 貝u ax =27,32x= 33,3x=2；x令 x=1og3p625,(54 ) =625,5r451(2)求x的值：log3 x 1ogqx2y3x2+2x-1) = 1.3解：x =371二 4273x22x-1 =2x2 -仁2

14、x 2x -0= x =0,x - -2但必須:2x -1 02x2 1 #1x = 0舍去，從而x= -2.3x2 2x -1 0(3)求底數(shù): 10gx 3 = 10gx 2 = 78解：x石=3 =(3-3)飛7 x8 =2 = 24 .對數(shù)的運算性質：如果 a 0 , a1, m 0 , n 0, 那么(1) loga(mn ) =loga m +logan ；，、， m .， 10ga = 10ga m -10ga n ； n(3) logamn = nlogam (nw r).例3.計算：(1) lg14 21g7 +lg 7 lg18 ；(2)-；(3)g13lg9lg1.2解：

15、(1)解法一：lg14 2lg7+lg7 lg183= lg(2 7) -2(lg7-lg3) lg7-lg(32 2)= lg2+lg7 -2lg7 +2lg3 +lg7 -2lg3 lg2 = 0;解法二：lg14 -2lgz lg 7,|g1837 2= lg14 -lg(3)2 lg7-lg18=0 ；14 7=lg 亍=lg1(7)2 1835(2)lg 243 _ lg3551g 3 _ 572lg9 lg32 2lg3 2113“、lg . 27 1g8-3lg 10 lg(33)5 lg23-3lg1052(lg3 2lg logam bn = -log a b (a、b0且均

16、不為 1). mlgb lga _1 .lg a lg b -1) 33lg1.2l 3 22lg3 2lg 2-12g 10log m n5.換底公式：log a n = ( a 0 , a# 1 ； m0,m*1)log max證明：設 loga n = x，則 a = n ,x兩邊取以m為底的對數(shù)得：logm a =logmn, xlogma = logm n ,從而得:log m n x 二log maloga n10g m nlog ma說明：兩個較為常用的推論：(1) logabxlogba=1 ;證明：(1) log a b logb anlg bmlg alogab . mlo

17、g、署例 4 .計算：(1)5140g0.2 3；(2) log4 3 10g92 +log24/32.解：(1)原式3=工=勺=15log 3115 g0.210g51353(2)原式11一 log 2 3 -log 3 2225-log 2 2例 5.已知 log18 9 =a, 18b =5 ,求 log3645 (用 a, b 表示).18 logi8 =1 log 182 = a ，2解：logi8 9 = a ,log 18 2 =1 -a , 又. 18b =5 ,1- logi8 5 =b ，log 36 45log18 45*36log18 9 log18 51 log18

18、2a b2 -a一v，111例 6.設 3x =4y =6z =t 1，求證：一=一z x 2y證明：3x =4y =6z =t 1 ,lgtlgtlgt一 x=,y=,z=, lg3lg4lg6111g 6 1g 3 1g 21g 41., :=-=z x lgt 1g tlgt21gt2y例 7.若 1og8 3 = p , 1og3 5 = q，求 lg 5 .解：1og83= p , . 1ogz3=3p= 1g3=3p1g2 =3p（11g5）,1g5又 log 3 5 =q ，1g31g5 =q1g3=3pq（11g5）,（1 - 3pq） 1g5 =3pq1g5 二3 pq1 3

19、pq四、對數(shù)函數(shù)1 .對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) y = log a x (a 0且a豐1)叫做對數(shù)函數(shù)。2 .對數(shù)函數(shù)的性質：(1)定義域、值域：對數(shù)函數(shù)y =1oga x (a 0且a #1)的定義域為(0,),值域為c3o二)(2)圖象：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只須由相應的指數(shù) 函數(shù)圖象作關于 y = x的對稱圖形，即可獲得。同樣：也分a 1與0a0得 x=0,，函數(shù)y = loga x2的定義域是xx#0；(2)由 4x0 得 xc4,函數(shù)y = loga(4 x)的定義域是xx4；(3)由 9- - x2 a 0 得-3 x 3,函數(shù) y =loga(9 x2)的

20、定義域是x -3x31.例2.比較下列各組數(shù)中兩個值的大小：(1) 10g 2 3.4, log 2 8.5；(2) 10g 0.3i.8, log0.3 2.7 ；(3) log a 5.1 , loga 5.9 .解：(1)對數(shù)函數(shù)y=1og2x在(0,+w)上是增函數(shù)，于是 log 2 3.4 log0.32.7 ；(3)當a1時，對數(shù)函數(shù)y =loga x在(0,)上是增函數(shù)，于是 log a 5.1 loga 5.9 ,當oa log a 5.9 .例3.比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?1) 10g67, log76；10g3n，10g2 0.8;(3)1.10.9 ,log、0.9, log 0.7 0.8 ；(4)10g53, 1og63, 1og73.解：(1) 1og67 a1og66=1 ,10g761og7 6 ；(2) . log3n 1og31 =0 ,log 2 0.8 log 2 0.8 .(3) 1.10.9 1.10 =1 ,logi.i 0.9 mlog1.11 =0 , 0 =log0.7 1 log0.7 0.8 log0.7 0.8 log 1.1 0.9 .(4) 0 log35 log3