三角恒等變換的策略

1、三角恒等變換的策略 三角公式很多，變幻莫測，在解題中如何把握好變換的方向，有目的地進(jìn)行三角恒等變換，是高中學(xué)生經(jīng)常頭痛的問題，如果我們能掌握常用方法，按部就班就能事半功倍了. 策略一： 三角名稱的變換 三角變換中，將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化為弦（切），變異名為同名，目的為減少函數(shù)種數(shù)，易于變形和后面的計(jì)算. 例1 已知tan=2，求sin+cossin-cos的值. 分析:這是一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次式，若可以把所求的式子轉(zhuǎn)化為只含有tan的式子，則題目就容易解答了. 解:由已知的tan=2. sin+cossin-cos=sin+coscossin-coscos=tan+1tan-

2、1=3 策略二： 三角角的變換 三角函數(shù)式中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)較多的差異角，此法通常是指將倍角、半角、和角等化為單角后，再用同角三角函數(shù)關(guān)系求解，但有時(shí)也可以反其道而行之. 例 證明tan4+x-tan4-x= 2tan2x. 分析:此題的解法有多種，其中可以發(fā)現(xiàn)“2x=4+x-4-x” 證明：右邊=2tan2x=2tan4+x-4-x= 2tan4+x-tan4-x1+tan4+xtan4-x 而tan4+xtan4-x=1+tanx1-tanx1-tanx1+tanx=1 右邊=tan4+x-tan4-x=左邊 題目得以證明！ 評(píng)析:本題采用的方法是解三角題的常用技巧，尋找角的關(guān)系，常用到下列變換

3、：2=(+)+(-)，=(-)+，4+=2-4-等. 策略三：三角公式的變換 三角公式作為恒等式，在運(yùn)用時(shí)，不能僅僅局限于它的正用，逆用公式不僅能進(jìn)一步熟悉掌握公式，而且更便于解題. 例 求3tan12-3sin12(4cos212-2)的值. 分析:先看角，都是12，再看“名”，需將切割化為弦，最后在化簡過程再看變換. 解:原式=3sin12cos12-32sin12(2cos212-1)（切、割化為弦） =3(sin12-3cos12)2sin12cos12cos24（逆用二倍角公式） =23sin(12-60)sin24cos24（逆用差角公式） =43sin(-48)sin48=-43

4、（逆用二倍角公式） 評(píng)析:上述變換中多處逆用公式，可見逆用公式是多么重要，常用的還有sinx+3cosx=212sinx+32cosx,sinx+cosx=2sinx+4等. 策略四 常數(shù)“1”的運(yùn)用和變換 在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，尤其要重視常數(shù)“1”的各種變形，這樣解增加了多種可用的工具. 例4 已知tan-1tan+1=13，求sin2+sincos+2cos2的值. 分析:這是一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次式，若可以把所求的式子轉(zhuǎn)化為只含有tan的式子，則題目就容易解答了.聯(lián)想所學(xué)過的公式知道sin2+cos2=1，sincos=tan因此得到下面的解法.

5、 解:由已知的tan=2. sin2+sincos+2cos2 =sin2+sincos+2cos21 =tan2+tan+2tan2+1=22+2+222+1=85 評(píng)析:這里對(duì)“1”的運(yùn)用很靈活，考慮到公式tan(+)=tan+tan1-tantan，分子部分的1用tan45代換，而分母部分的項(xiàng)“1”不代換，系數(shù)“1”用tan45代換，巧妙地化簡. 策略五 升次和降次的運(yùn)用 此策略在數(shù)學(xué)中的使用可以說是比較普遍的，如在解告辭方程時(shí)，往往是通過降低次數(shù)來求解分析題目的結(jié)構(gòu)，掌握題目結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)，通過降次升冪等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，也是三角變換的一種重要策略，如cos2=1-sin22，s

6、in2=1-cos22，cos4+sin4=1-2sin2cos2等. 例5 證明：1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x=32 證明：左邊=1-(sin2x)3+(cos2x)31-(sin4x+cos4x) =1-(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)1-(1-2sin2xcos2x) =1-(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)2sin2cos2x =1-(1-2sin2xcos2x-sin2xcos2x)2sin2xcos2x=32=右邊 所以原等式等證 評(píng)析:在三角恒等變換過程中，若能充分利用降次與升冪等三角變換手段，能快速幫助我們解答一些涉及到高次冪