小題大做,培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

1、小題大做,培養(yǎng)學(xué)生的解題能力 新課程教學(xué)理念注重培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性、靈活性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維和發(fā)散思維， 為學(xué)生的思維發(fā)散提供情景、條件和機(jī)會(huì)，使學(xué)生在積極主動(dòng)的狀態(tài)下探索，從而培養(yǎng)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.數(shù)學(xué)中的習(xí)題往往蘊(yùn)含著深刻的內(nèi)涵，認(rèn)真挖掘，對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)有很大的幫助. 一、一題多思，培養(yǎng)思維的深度與廣度 由一道題目挖掘出一個(gè)一般性的結(jié)論，可以由這個(gè)結(jié)論編出許多類似的題目來(lái)，通過(guò)構(gòu)造出多個(gè)題目，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度.下面就一道函數(shù)題為例來(lái)說(shuō)明. 以上過(guò)程是用二次函數(shù)的三點(diǎn)式來(lái)證明的.這里給出另一種證明方法：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，只需證明對(duì)稱軸為2 時(shí)，

2、|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個(gè)不小于12即可.為了得到證法二，我們先證明一個(gè)一般性的結(jié)論： 已知f（x）=x2+px+q，若x1，x2，x3成等差數(shù)列，且公差為d，求證|f（x1）|，|f（x2）|，|f（x3）|中至少有一個(gè)不小于d22. 證明由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得， .當(dāng)對(duì)稱軸為x2時(shí)，|f（x1）|，|f（x2）|，|f（x3）|中至少有一個(gè)不小于d22即可.事實(shí)上，當(dāng)對(duì)稱軸為x2時(shí)，f（x）=x2-2x2x+q=（x-x2）2+q-x22.若|f（x.若對(duì)稱軸不等于d22時(shí)，相當(dāng)于將上面的圖形進(jìn)行了平移，那么必有一個(gè)值會(huì)大于d22. 綜上可知命題成立. 這樣只需將

3、d的值換為1就可以得到上題的第二種證法.同時(shí)，我們可以改變d的大小，改編出許多不同的題目. 二、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維 將一道題目進(jìn)行不同的變式，從不同角度，用不同的方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生多向思維的能力. 例如：求一元二次不等式x2-（a+1）x+a0的解集. 由這道題可以引申出以下幾個(gè)變式題： 變式一方程x2-（a+1）x+a=0有兩個(gè)相異實(shí)根，求a的取值范圍. 分析利用值和根與系數(shù)的關(guān)系求解. 變式二不等式x2-（a+1）x+a0的解集為x|13 分析利用根與系數(shù)的關(guān)系求解. 變式三不等式x2-（a+1）x+a0對(duì)xr恒成立，求a的取值范圍. 分析利用值小于0可解. 變式四不等式x2-

4、（a+1）x+a0對(duì)x32，3恒成立，求x的取值范圍. 分析可利用函數(shù)y=x+1x求解. 變式五不等式x2-（a+1）x+a0對(duì)a3，4恒成立，求x的取值范圍. 分析轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一次不等式求解. 三、一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維 一道題目，從不同的角度進(jìn)行分析，可以得到許多不同的解法，對(duì)學(xué)生的發(fā)散思維的培養(yǎng)有很好的示范作用. 例已知a，b，c，d均是大于1的實(shí)數(shù)，求證 （a2+b2）（c2+d2）ac+bd. 這是柯西不等式的變式，對(duì)于它的證明方法，已經(jīng)有許多人研究過(guò)，這里不再贅述，現(xiàn)在只給出另外的一種證明方法. 證明設(shè)向量ab=（a，b），cd=（c，d），則由abcd|ab|cd|立即可證得 （a2+b2）（c2+d2）ac+bd. 由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)題目中蘊(yùn)涵著