用一元二次方程解應(yīng)用題常見的類型及解題方法

1、用一元二次方程解應(yīng)用題常見的類型及解題方法甘肅省平?jīng)鍪嗅享憛^(qū)白廟回族鄉(xiāng)白廟初級中學(xué)白員吉列方程解應(yīng)用題是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，本文就一元二次 方程應(yīng)用題常見的類型及解題方法，歸納提供給大家參考。1、利潤問題此類問題常見的等量關(guān)系是：利潤=售價一進(jìn)價，總利潤=每 ，、一禾i潤件商品的利潤x銷售數(shù)量，禾fj潤率 =迸疥o例：某商場銷售一批名牌襯衫，現(xiàn)在平均每天可售由20件,每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施， 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種襯衫的售價每 降低1元，那么襯衫平均每天多售由 2件，商場若要平均每天盈 利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？分析：假設(shè)每

2、件襯衫應(yīng)降價 x元，現(xiàn)每件盈利為(40 x ) 元，現(xiàn)每天銷售襯衫為(20 + 2 x )件，根據(jù)等量關(guān)系：每件襯衫的利潤x銷售襯衫數(shù)量 =銷售利潤，可列由方程。解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價 x元，根據(jù)題意，得(40 x ) (20 + 2 x ) =1200解得x1=10 , x2=20 ,因盡快減少庫存，取 x =20.每件應(yīng)降價20元。答：略2、利息問題此類問題的等量關(guān)系是：利率 =u ,利息=本金x利率x期數(shù)，本息和=本金+利息=本金x （1+利率）。例：某人將2000 元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取 1000 元用于購物， 剩下的 1000 元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存

3、款的利率不變，到期后本金和利息共1320 元，求這種存款方式的年利率（本題不計(jì)利息稅）分析：假設(shè)這種存款方式的年利率為 x ， 2000 元存一年后本息和為 2000 （ 1 x ）元，支取1000 元后，還剩 2000 （ 1 x ）1000 元，將所剩 2000 （ 1 x ）1000 元再存入銀行一年，到期后本息共1320元，根據(jù)本息和二本金x （1+利率）等量關(guān)系可列出方程。解：設(shè)這種存款方式的年利率為 x 。根據(jù)題意得， 2000 （ 1 x ）1000 （ 1 x ） =13202（x 1） 0.5（ x +1） 0.06=0，（x +1 + 0.6） （ x +1 1.1 ） =

4、0，x1=1.6 （舍去），x2=0.1=10%答：略3 、與幾何圖形的面積問題 幾何圖形的面積問題面積公式是此類問題的等量關(guān)系。例： 如圖 1 1 所示， 某小區(qū)規(guī)劃在一個長為 40m ， 寬為 26m的矩矩形場地abcd 上修建三條同樣寬的道路， 使其中兩條與ab平行， 另一條與 ad 平行， 其余部分種草， 若使每一塊草坪的面積都是144 m ,則道路的寬是多少米？da mnd分析：(1)設(shè)路的寬為x m,那么道路所在的面積(40 x + 26 x x2 2x2) m ,于是六塊草坪的面積為 40 x26 ( 40 x + 26 x x2 2 x2) m ,根據(jù)題意，得 40 x26 (

5、 40 x + 26 x x2 -2 x2) =144 x6(2)將圖1 1所示中的三條道路分別向上和向左、向右平 移圖1 2的位置，若設(shè)寬為x m ,則草坪的總面積為(40-2 x ) (26 x ) m 所列方程為(40 - 2 x ) (26 x ) =144 x6解法1 :設(shè)道路的寬為x m，則根據(jù)題意，得40 x26 (40 x + 26 x x2 2 x2) =144 x6 整理，得 x2 -46 x + 88=0 ,解得 x1=44 (舍去)，x2=2解法2:設(shè)道路的寬為 x m ,則根據(jù)題意，得(40 2 x)(26 x ) =144 x6解得，x1=44 (舍去)，x2=2答

6、：略勾股定理問題：勾股定理是此類問題的等量關(guān)系。例：如圖21兩只螞蟻從a點(diǎn)由發(fā)，分別沿正北，正東方 向爬，甲的速度為每分鐘 6cm ,乙的速度為每分鐘 8cm ,幾分鐘后，兩只螞蟻相距 20cm?分析：假設(shè)t分鐘后相距20cm，那么甲所爬的距離為 6tcm , 乙所爬的距離為8tcm ,甲乙所爬的距離正好是兩個直角邊，相距 20cm正好是兩直角邊所對的斜邊，此題可用勾股定理作等量關(guān)系 列方程。解：設(shè)t分鐘后，相距20cm ,由題意得： 222（6t）+（8t） =20整理，得 100t2 = 400，t = 2，t2 = 2 （不合題意，舍去） 答：略4、平均增長（降低）率問題此類問題是在某個

7、數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長（降低）兩次得到 的新的數(shù)據(jù)。常見的等量關(guān)系是：a（1 x）2=b ,其中b為增長（或降低）后的數(shù)量，a為增長（或降低）前的基數(shù)， x為增長率（降 低率）。例：某印刷廠元月份印刷課本 30萬冊，第一季度共印了 150 萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？ 2、一.、分析：本題的關(guān)鍵是應(yīng)用形如a（1 x） =b形式的問題，但要注意不能盲目套公式，此題沒有直接給由增長后的數(shù)據(jù)，而是直接給生了第一季度印刷的總數(shù)量，所以使用的等量關(guān)系是：元月份印刷數(shù)量30萬冊+ 2月份印刷數(shù)量 30(1 x) +3月份印刷數(shù)量 2_ i -30 (1 x) =150 萬冊解：設(shè)2、3月份平均

8、增長率為 x ,則230 + 30 (1 x) + 30 (1 x) =150解得，x 1=3.56 (舍去) x 2=0.56=56%答：略5、動點(diǎn)問題此類問題是一般幾何題的延伸，要學(xué)會用運(yùn)動的觀點(diǎn)看問題，根據(jù)條件設(shè)由未知數(shù)，應(yīng)想辦法把圖中變化的線段用未知數(shù)表示由 來，再根據(jù)題中給由的等量關(guān)系 (可以是圖形的面積、勾股定理等) 列由方程。例：如圖3-1所示，在4abc中，/b=90。，點(diǎn)p從a點(diǎn)開 始沿ab向b點(diǎn)以1cm/s的速度移動，點(diǎn) q從點(diǎn)b開始沿bc邊 向點(diǎn)c以2cm/s的速度移動，如果點(diǎn) p、q分別從a, b同時由 發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使 pqb的面積等于8cm2 ?分析：設(shè)經(jīng)過x s

9、,點(diǎn)p在ab上移動后所剩的距離 pb為(6 x ） cm點(diǎn) q 在 bc 上移動的距離bq 為 2 x cm因此，可根據(jù)三角形面積公式列方程來求解解：設(shè)經(jīng)過x s,點(diǎn)p在ab上，點(diǎn)q在bc上，且使4pbq面積為 8 cm根據(jù)題意，得（6 x ） x2 x =8x 6 x 8=0 ，解得 x 1 =2 ， x 2=4經(jīng)2s,點(diǎn)p在離a點(diǎn)1 x2=2 （cm ）處；點(diǎn) q在離b點(diǎn)2 x2=4 （cm）處。經(jīng) 4s點(diǎn)p在離a點(diǎn)1 x4=4 （cm）處，點(diǎn) q 在離b點(diǎn)2 x4=8 （cm）處，所以它們都符合要求。答：略6、數(shù)字問題根據(jù)數(shù)字問題列方程，只要根據(jù)題目中給出的相等關(guān)系列出方程即可，但要注意兩位數(shù)或三位數(shù)的表示方式。兩位數(shù)二（十位數(shù)字）x 10+ （個位數(shù)字）三位數(shù)二（百位數(shù)字）x 100 + （十位數(shù)字）x 10+ （個位數(shù) 字）例：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是5 ，把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后， 所得的新的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積是736 ，求原來的兩位數(shù)。分析：題中等量關(guān)系比較明顯，所以兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積是736, 正確列出方程的關(guān)鍵是熟練掌握用字母表示兩位數(shù)的方法。兩位數(shù)=（十位數(shù)字）x 10+ （個位數(shù)字）解： 設(shè)原來兩位數(shù)的十位數(shù)字為 x ， 則個位數(shù)字為 （ 5 x ） 根據(jù)題意，得10x（ 5x ） 10 （5 x ）