《數(shù)字信號處理》課程設(shè)計報告卷積運算及算法實現(xiàn)

1、數(shù)字信號處理課程設(shè)計報告卷積運算及算法實現(xiàn)專 業(yè)： 通信工程 班 級： 通信08-2bf 組 次： 第10組 姓 名： 學 號： 卷積運算及算法實現(xiàn)一、 設(shè)計目的卷積運算是一種有別于其他運算的新型運算，是信號處理中一種常用的工具。隨著信號與系統(tǒng)理論的研究的深入及計算機技術(shù)發(fā)展，卷積運算被廣泛地運用到現(xiàn)代地震勘測，超聲診斷，光學診斷，光學成像，系統(tǒng)辨識及其他諸多新處理領(lǐng)域中。了解并靈活運卷積運算用去解決問題，提高理論知識水平和動手能力，才是學習卷積運算的真正目的。通過這次課程設(shè)計，一方面加強對數(shù)字信號處理這門課程的理解和應用，另一方面體會到學校開這些大學課程的意義。二、設(shè)計任務(wù)探尋一種運算量更少

2、，算法步驟更簡單的算法來實現(xiàn)卷積運算，文中主要通過階梯函數(shù)卷積計算方法和斜體函數(shù)卷積計算方法對比來得出最終結(jié)論。三、設(shè)計原理1，什么是卷積？卷積是數(shù)字信號處理中經(jīng)常用到的運算。其基本的表達式為：換而言之，假設(shè)兩個信號f1(t)和f2(t)，兩者做卷積運算定義為f(t)d做一變量代換不難得出：f(t)d=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)在教材上，我們知道用圖解法很容易理解卷積運算的過程，在此不在贅述。2，什么是階梯函數(shù) 所謂階梯函數(shù)，即是可以用階梯函數(shù)u(t) 和u(t-1)的線性組合來表示的函數(shù)，可以看做是一些矩形脈沖的集合，圖1-1給除了兩個階梯函數(shù)的例子。 11其中f(t)=

3、2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以圖11中兩個階梯函數(shù)為例介紹本文提出的階梯函數(shù)卷積算法。根據(jù)卷積的性質(zhì)（又稱為杜阿美爾積分），上述f(t)與h(t)的卷積等于f(t)的導數(shù)與 h(t)的積分的卷積，即： f(t)*h(t)=df(t)dt*由于f(t)為階梯函數(shù)，因此其導數(shù)也為沖擊函數(shù)t及其延時的線性組合， 如圖12（a）所示。 12由于h(t)也為階梯函數(shù)，所以其積分也能方便地求得，其值為階梯函數(shù)圖像下方的面積，記作為h(t),如圖12(b)所示：沖擊函數(shù)與其它函數(shù)的卷積有如下的關(guān)系：t-t*f(

4、t)=f(t-t),因此 f(t)*h(t)=2h(t)+2h(t-1)-h(t-2)-h(t-3).即f(t)和(t)的卷積等于h(t)及其延時的線性組合，如圖1-3所示： 13 從以上分析可以看到，兩個階梯函數(shù)的卷積等于其中一個函數(shù)的積分h(t)及其延遲h(t-)的線性組合，組合系數(shù)對應于各個沖擊函數(shù)的系數(shù)。 對于任意函數(shù)的卷積，可以先將他們的用矩形脈沖函數(shù)來逼近只要時間間隔足夠小就能達到足夠的逼近精度。逼近所得到的函數(shù)即為階梯函數(shù)，然后又采用上述方法即可得到任意兩個函數(shù)的卷積。 假設(shè)要計算任意兩個函數(shù)的卷積:y(t)=x(t)*h(t)其中x(t),h(t)可謂無限長，分別如圖14（a）

5、,(b)所示?，F(xiàn)將x(t)和h(t)在0到t的區(qū)間用寬度為的矩形脈沖來近似的代替（顯然值。也就是說，用階梯形曲線xn(t)近似地代替x(t)的曲線，用hn(t)近似的代替h(t)(如圖14)。每一個矩形脈沖可用階躍函數(shù)鄙視如下表21,22.表達式又可以寫成如下形式：x(t)= 12h(t)= 13對式（2）求微分有：x(t)= 1-4設(shè)t=k 15令h(t)= 15 x(t),h(t)的微積分 16 x(t),h(t)的卷積過程由y(t)=x(t)*h(t)=x*h(t)得到y(tǒng)(k)= 16由圖16(a)可以看出如果計算從t=0至t=k的n點的x(t)和h(t)的卷積，需要h(t)和x(t)對

6、應的個點分別相乘，由于h(t)和x(t)也為n點序列，所以共需要n2次乘法，屬于有效乘法，因為按照卷積定義直接計算也是n2次乘法。3，什么是斜梯函數(shù)？所謂斜梯函數(shù)，表現(xiàn)為一條折線的形式，用諸如at+b形式的段組合在一起表示的函數(shù)。圖31給出了輸入函數(shù)為斜梯函數(shù)的例子。 31其中f(t)=tu(t)-u(t-1)+u(t-1)+(0.5t+0.5)u(t-1)-u(t-2)+(-1.5t+4.5)u(t-2)-u(t-3), h(t)=3tu(t)-u(t-1)+(-t+4)u(t-1)-u(t-2)+(-2t+6)u(t-2)-u(t-3)根據(jù)卷積的性質(zhì)，上述f(t)和h(t)的卷積等于f(t

7、)的二次導數(shù)與h(t)的二重積分的卷積【1】，即：由于f(t)為斜梯函數(shù)，因此其導數(shù)變?yōu)殡A梯函數(shù)u(t)及其延時的線性組合，df(t)dt=u(t)-0.5u(t-1)-2u(t-2),如圖32(a)所示。 32由于h(t)也為斜梯函數(shù)，所以其積分也能方便的求得，其值為折現(xiàn)函數(shù)圖象下方的面積，記作為h(-1)(t),如圖32(b)所示。此時已經(jīng)與階梯函數(shù)卷積計算方法類似了，只是對于h(-1)(t)其為一二次曲線，繼續(xù)求積分比較困難，實際應用中其可以用折現(xiàn)計算，從而引入一定的誤差，這也是采用次逼近所付出的代價。接下來對f(t)和h(-1)(t)再次進行微分與積分處理，則f(t)變?yōu)闆_擊脈沖序列，

8、如圖33(a)所示，h(-2)(t)用對應折線下的買年紀也可算得對應如圖33(b)所示。 33斜梯函數(shù)的二次微積分假設(shè)要計算任意函數(shù)的卷積：y(t)=x(t)*h(t)其中x(t),h(t)可謂無限長，分別如圖34（a）,(b)所示。 34 連續(xù)時間函數(shù) 對上述x(t)和h(t),用寬度為的梯形脈沖函數(shù)逼近，x(t)和h(t)就轉(zhuǎn)化為斜梯函數(shù)，顧客用折現(xiàn)函數(shù)及其延時的線性組合表示，如圖34(a),(b)中虛線所示。x(t)=t+c1u(t-m)-u(t-(m+1) 22h(t)=t+c1u(t-n)-u(t-(n+1) 23此處c1,c2為常數(shù)，由于球x(t)和h(t)的微積分時，與此常數(shù)無關(guān)

9、，所以此處可不必求出。對式子22，求微分有：x(t)=t+c1u(t-m)-u(t-(m+1) 24設(shè)t=k 25則 x(t)和h(t)如圖25(a),(b)所示: 35 斜梯函數(shù)的一次微分與積分x(t)= 26h(-2)(t)=22(n-1)h(0)+ 27式26,27如下圖36所示。 36 斜梯函數(shù)的二次額積分令h(k=h(-2)(t), 27 x(t)和h(t)的卷機過程由 y(t)=x(t)*h(t)=x(t)*h(t)得y(k)=. 28由圖27 可以清楚的看出如果計算從0到k的也為n點序列，所以共需要n2次乘法，屬于有效算法。四、設(shè)計過程 假設(shè)有有一dsp系統(tǒng)，如果激勵信號的的波形

10、如圖41所示，定義的時間區(qū)間是(t0,t)，表示從t0到t之前的任意時刻。對于任意輸入信號的作用，可以看成是一系列具有相同寬度的矩形脈沖用近似表示e().把時間區(qū)間(t0,t)分成相等的幾段，每段寬度為，即t1-t0=t2-t1=tk+1-tk=.因此e()可以用圖中的階梯曲線來近似表示，即可以看成是一系列的矩形脈沖的合成。這一系列的矩形脈沖可以通過單位脈沖函數(shù)和延遲的單位脈沖函數(shù)，即p)和p)來表示。因此可以用上述矩形脈沖表示e(e()=e(t0)p(- t0)+e(t1)p(- t1)+ e(t2)p(- t2)+ e(tk)p(- tk)+e(tn-1)p(- tn-1) 2-9輸入信號

11、p)后，其響應為h)對每一延遲的矩形脈沖p),在時刻t觀察到的相應的響應應為h(t-tk), e(tk)p(- tk)e(tk)h(- tk),所以29式的輸出信號應該為： rt- tk)為了保證e()的階梯矩形近似更接近真實e()，令t0到t區(qū)間的脈沖數(shù)不斷增加。當t時，0，每個單位矩形脈沖變成沖擊函數(shù)，h變成了沖擊函數(shù)h，e變成了原來的激勵e()，響應r,同時上式的求和也變成了積分，tk變成了連續(xù)變量，,于是有 r(t)=t0tetkh(t-)d其中t0為任意激勵施加的時刻，t為待求響應對應的時刻。特別的，當t0=0時，有 r(t)=t0tetkh(t-)d 210式子110所示的積分就是

12、卷積的積分。因此，只要知道系統(tǒng)的沖擊響應，對于任意的激勵信號e(t)的作用，都可根據(jù)卷積的積分求出響應。對于更為復雜的二階系統(tǒng)，運用這種方法更能看出其優(yōu)勢，由于計算過程大致類似，我們應用matlab自帶的命令計算結(jié)果繪制于42圖中 42 三種算法的比較 當采樣精度為0.5時，他們的結(jié)果相當接近，精度得到了保證。當進一步提高采樣率，結(jié)果更加精確了，已經(jīng)能夠滿足實際需求。五、收獲與體會通過此次的課程設(shè)計，加深了我們對卷積的理解，也了解到了更多的卷積算法，也鍛煉了我們查詢資料，從所獲取的資料中提取有用的知識的能力。課程設(shè)計中的實驗驗證過程，寫得有點草率，但是事出有因，以后我會吧驗證過程寫得更詳盡，到

13、位。總而言之，收獲頗多，做課程設(shè)計是一種運用學過的知識的過程，應當多做。ut2apodfxxc02gybkskcww97mrqqwhoj5tl15zt6jipyytycummtarp3v1n5luizi3xh3bhwyreko8d9g7nmzqowpjetldrw08gvs8dsdqqygc3ce7moo2tlf0jf1gk74iuxybmtivr97ckrfvqult5fn2t6mpjr6rbzvpsortzvij5nb5ndvvsr4iwr1twlfkglspzuhrjq3cmzu98euouijdlszqpmvrw9zkupxf8wfug9l2g9277g2rtipa1ypczeuqxp

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