匹克公式_皮克公式過程證明應(yīng)用

1、皮克公式在中考中的出現(xiàn)和應(yīng)用奧地利數(shù)學(xué)家皮克(georg pick, 18591943)發(fā)現(xiàn)了一個計(jì)算正方形點(diǎn)陣中格點(diǎn)多邊c 1,s x n 1形面積的公式：2，其中n表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，x表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù).熟悉這個公式的人不多，但是還是被中考命題者挖掘來作為中考命題的內(nèi)容.用這個公式來求格點(diǎn)多邊形面積是非常方便的.首先來探究這個公式是怎么來的？例1用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為s,它各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和為x.(1)上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和

2、的對應(yīng)關(guān)系如下表，請寫出s與x之間的關(guān)系式.較.s 多邊形的序號多邊形的面積s22.534各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和4568(2)請你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn).此時(shí)所畫的各個多邊形的面積 s與它各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和 x之間的關(guān)系式是： s 。(3)請你繼續(xù)探索，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n個格點(diǎn)時(shí)，猜想 s與x有怎樣的關(guān)系？答：s .(江蘇省常州市 2004年中考試題)分析 皮克公式的證明是采用特殊到一般的方法，考查學(xué)生推理的能力.本題是按多邊形內(nèi)部的點(diǎn)來分情況深究的.(1)當(dāng)多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為 1時(shí)，本題第一問畫出了四個不同的圖形，并且列表給出s 1x相應(yīng)的數(shù)據(jù)，因此學(xué)生

3、容易得出s與x之間的關(guān)系式：2 。(2)當(dāng)多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為 2時(shí)，本題第二間要求畫出一些圖形，再得出 s與x之間 的關(guān)系式.這時(shí)可以仿照第一問，畫出上面的圖形并且列出下面的表格.多邊形的序號多邊形的面積s33.545各邊上格點(diǎn)的個數(shù)和x4568s 1x 1學(xué)生也容易得出s與x之間的關(guān)系式：2。(3)當(dāng)多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為 n時(shí)，本題第三問猜想一般的關(guān)系式.這時(shí)也可以研究當(dāng) 多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為 3、4、5等的情況，再去探究出一般式. 由上述的幾種特殊情況可以看1- x出隨著格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)的增加2 是不變化的，面積逐步增加 1,由此可以猜想 s與1.因此得出皮克公式.1s x nx之間的關(guān)系

4、式是： 2下面再來看皮克公式在中考試題中的應(yīng)用.例2如圖，已知圖中每個小方格的邊長為1,則點(diǎn)c到ab所在直線的距離等于(浙江省湖州市2004年中考試題)分析此題若直接求距離難度較大.可以通過求 abc的面積，進(jìn)而求出高.連結(jié)ac、c1 c,s abc - 4 3 1 4bc 后，由皮克公式可知2，又因?yàn)閍b .10,sabc12s abc-ab h,h -abc2ab2 4 4.10而 5 o所以點(diǎn)c到ab所在直線的距4 10離等于 5。例3已知在正方形網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，a、b兩點(diǎn)在小方格 的頂點(diǎn)上，位置如圖所示，點(diǎn) c也在小方格的頂點(diǎn)上，且以 a、b、c為頂點(diǎn)的三角形的

5、面積為1個平方單位，則點(diǎn) c的個數(shù)為（）.（黑龍江省一一年中考試題）(a) 3 個(b) 4 個分析由皮克公式可知:s abc(c)2,因?yàn)閤，n是整數(shù)，又因?yàn)閤 2,所以x 4 n 0 .因此這個三角形 abc內(nèi)部沒有格點(diǎn)，三邊上共有 4個格點(diǎn).又因?yàn)橐延辛薱.有圖中的6個兩點(diǎn)a、b,因此三角形邊上還有兩個格點(diǎn)，則有ac和bc邊上，一邊上有三個格點(diǎn)，另一邊上有兩個格點(diǎn).因此在過a、b兩點(diǎn)的水平和豎直線上易得點(diǎn)(c1, c2,c3,c4,c5,c6),因此答案選擇(d).例4已知右邊方格紙中的每個小方格是邊長為1的正方形，a、b兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，位置如圖所示.請?jiān)谛》礁竦捻旤c(diǎn)上確定一點(diǎn)c,

6、連結(jié)ab、ac、bc,使 abc的面積為2個平方單位.（江西省2003年中考試題）分析由皮克公式可知:s abc1, -x n 1 22。因?yàn)閤，n是整數(shù)，又因?yàn)閤 2,所x 4 x 6n 1 n 0以 或 。x 4當(dāng)n 1時(shí)，三角形abc內(nèi)部有一個格點(diǎn)，三邊上共有 4個格點(diǎn).又因?yàn)橐延辛藘牲c(diǎn)a、b,因此三角形邊上還有兩個格點(diǎn)，則有ac和bc邊上，一邊上有三個格點(diǎn)，另一邊上 有兩個格點(diǎn)。因此在過 a、b兩點(diǎn)的豎直線上易得點(diǎn) c有圖中的4個位置（cl,c2,c3,c4）x 6當(dāng)n 0時(shí)，三角形abc內(nèi)部沒有格點(diǎn)，三邊上共有 6個格點(diǎn)，此時(shí)，在過點(diǎn) b的水 平線上易得點(diǎn)c有一個（c5）.因此本題共

7、有符合條件的點(diǎn) 5個，學(xué)生只要作出一個就行.例5在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形.點(diǎn) a、b是方格紙中的 兩個格點(diǎn)（即正方形的頂點(diǎn)），在這個5x5的方格紙中，找出格點(diǎn)c使 abc的面積為2個平方單位，則滿足條件的格點(diǎn)c的個數(shù)是（）.(a) 5(b) 4(c) 3(d) 2（重慶市2004年中考題）分析由皮克公式可知:s abc1, -x n 1 22,因?yàn)檫@時(shí)三角形乂是整數(shù)，又因?yàn)閤 4 x 6x 2,所以n 1或n 0。x 4當(dāng)n 1時(shí)，這時(shí)三角形 abc內(nèi)部有一個格點(diǎn)，三邊上共有4個格點(diǎn)、又因?yàn)橐延辛?兩點(diǎn)a、b,因此三角形邊上還有兩個格點(diǎn)，則有 ac和bc邊上，一邊上有三個格點(diǎn)，另 邊上有兩個格點(diǎn).因此在過 a、b兩點(diǎn)的水平直線上易得點(diǎn) c有圖中的3個（c1,c2,c3）位置x6當(dāng)n 0時(shí)，三角形abc內(nèi)部沒有格點(diǎn)