變分法簡介(簡單明了易懂)

1、1變分法簡介作為數(shù)學(xué)的一個分支，變分法的誕生，是現(xiàn)實世界許多現(xiàn)象不斷探索的結(jié)果，人們可以 追尋到這樣一個軌跡：約翰伯努利(johann bernoulli, 1667-1748) 1696年向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn),提出 一個難題：“設(shè)在垂直平面內(nèi)有任意兩點，一個質(zhì)點受地心引力的作用，自較高點下滑至較 低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？ ”這就是著名的“最速降線”問題(the biachistochrone pioblem)。它的難處在于和普通 的極大極小值求法不同，它是要求出一個未知函數(shù)(曲線)，來滿足所給的條件。這問題的 新穎和別出心裁引起了很大興趣,羅比塔(guillaume fr

2、ancois antonie de 1 hospital 1661-1704)、雅可比伯努利(jacob bernoulli 1654-1705)、萊布尼茨(gottfried wilhelm leibniz, 1646-1716)和牛頓(isaac newtonl6421727)都得到了解答。約翰的解法比較 漂亮，而雅可布的解法雖然麻煩與費勁，卻更為一般化。后來歐拉(eulerlonhard, 1707 1783)和拉格朗口(lagrange, joseph louis, 1736t813)發(fā)明了這一類問題的普遍解法， 從而確立了數(shù)學(xué)的一個新分支一變分學(xué)。有趣的是，在1690年約翰伯努利的哥

3、哥雅可比伯努利曾提出著名的懸鏈線問題 (the hangmg chain problem)向數(shù)學(xué)界征求答案，即，固定項鏈的兩端，在重力場中讓它自 然垂下，問項鏈的曲線方程是什么。在大自然中，除了懸垂的項鏈外，我儼還可以觀察到吊 橋上方的懸垂鋼索，掛著水珠的蜘蛛網(wǎng)，以及兩根電線桿之間所架設(shè)的電線，這些都是懸鏈 線(catenary)。伽利略(galileo. 15641643)比貝努利更早注意到懸鏈線，他猜測懸鏈線是拋物線， 從外表看的確象，但實際上不是。惠更斯(huygens, 16291695)在1646年(當(dāng)時17歲)， 經(jīng)由物理的論證，得知伽利略的猜測不對，但那時，他也求不出答案。到16

4、91年，也就是 雅可比伯努利提出懸鏈線問題的第二年，萊布尼茲、惠更斯(以62歲)與約翰伯努利 各自得到了正確答案，所用方法是誕生不久的微枳分，具體說是把問題轉(zhuǎn)化為求解一個二階 常微分方程d2y _i dy 2dx- v dx )(0) 二 )oy(o)=o解此方程并適當(dāng)選取參數(shù)，得(1)1 z ax , -ax 尸工()即為懸鏈線。懸鏈線問題本身和變分法并沒有關(guān)系，然而這和最速降線問題一樣都是貝努利兄弟間的 相互爭強好勝、不斷爭吵的導(dǎo)火索，雖然雅可比貝努利在解決懸鏈線問題時略占下風(fēng)，但 他隨后所證明的“懸掛于兩個固定點之間的同一條項鏈，在所有可能的形狀中，以懸鏈線的 重心最低，具有最小勢能”，

5、算是扳回了一局，倆兄弟扯平了！之所以提到懸鏈線問題，有 兩方面考慮，其一，這是有關(guān)數(shù)學(xué)史上著名的貝努利家族內(nèi)的一個趣聞，而這是一個在變分 法乃至整個數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域有著巨大貢獻的家族，其二，有關(guān)懸鏈線的得幾個結(jié)論，可以用變分法來證明！現(xiàn)實中很多現(xiàn)象可以表達為泛函極小問題，我們稱之為變分問題。求解方法通常有兩種: 占典變分法和最優(yōu)控制論。我們這兒要介紹的基本屬于古典變分法的范疇。1.1 變分法的基本概念1.1.1 泛函的概念設(shè)s為一函數(shù)集合，若對于每一個函數(shù)x(f)s有一個實數(shù)/與之對應(yīng)，則稱/是定義 在s上的泛函，記作1(x(。)。s稱為j的容許函數(shù)集。例如，在。%,七上光滑曲線y(x)的長度可定

6、義為(2)考慮幾個具體曲線，取=0,占=1,若 y(x) = x,則j(y(x) = j(x)= f1 j1 + idx = v2若y(x)為懸鏈線，貝1對應(yīng)中不同的函數(shù)y(x),有不同曲線長度值j,即j依賴于y(x),是定義在 函數(shù)集合ct%,兒上的一個泛函，此時我們可以寫成1 =心我們稱如下形式的泛函為最簡泛函j(x(。)= fq,式。/(。)力(3)被積函數(shù)尸包含自變量/，未知函數(shù)x(t)及導(dǎo)數(shù)、。如，上述曲線長度泛函即為一最簡泛 函。1.1.2泛函極值問題考慮上述曲線長度泛函，我們可以提出下面問題：在所有連接定點4%,汽)和5區(qū)，工)的平面曲線中，試求長度最小的曲線。即,求y(x)y(

7、x)b0)。10，%,)。0)= 0，)3)=/，使j (y (x) = j： y/l+y2 dx取最小值。此即為泛函極值問題的一個例子。以極小值為例，一般的泛函極值問題可表述為, 稱泛函j(x(t)在xo(r) s取得極小值，如果對于任意一個與與)接近的x(r)g s,都有j(x(少之j(4(少。所謂接近，可以用距離d(x(f),xo)來度量，而距離可以定 義為d(m) /)=nnx | x(o-xo(r) |j x(t)-xq(t) |)，03泛函的極大值可以類似地定義。其中與(f)稱為泛函的極值函數(shù)或極值曲線。1.1. 3泛函的變分如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量

8、的線性主部。作為泛函 的自變量，函數(shù)#/)在/(/)的增量記為sx(t) = x(t)-xq(t)也稱函數(shù)的變分。由它引起的泛函的增量記作j = j(xo(o + (o)-/(xo(o)如果aj可以表為j = lqo。), 8) + r(x0(r), &)其中l(wèi)為蜃的線性項，而，是及的高階項，則稱乙為泛函在4(f)的變分，記作工(兒)。用變動的x(f)代替.,就有國(x).泛函變分的一個重要形式是它可以表為對參數(shù)a的導(dǎo)數(shù)：d.h(x(/) = l j*(/) + a=o(4)da這是因為當(dāng)變分存在時，增量aj = j(x(1) +。次)- j(x(f) =垸)+ 關(guān))根據(jù)l和r的性質(zhì)有l(wèi)(x(

9、f),a&)=應(yīng)11nl-)= 11nl 一口二00 a a 。次所以6j(x + ct3x)-j(x)- j(x+a=o = hill -daa a抗)+ r(x,a&)=inn= l(x, ox) = oj (x)aa1.2泛函極值的相關(guān)結(jié)論1.2.1 泛函極值的變分表示利用變分的表達式(4),可以得到有關(guān)泛函極值的重要結(jié)論。泛函極值的變分表示：若j(x(7)在/(f)達到極值(極大或極小)，則m(%(f) = o(5)證明：對任意給定的&, j(x0 + a&:)是變量。的函數(shù)，該函數(shù)在a = 0處達到極值。根 據(jù)函數(shù)極值的必要條件知力（五+他2。再由（4）式，便可得到（5）式。變分法的

10、基本引理：（x）ecx15x2, v（x）e，（占）=（）=。，有f -磯x7(x)dx = 0，則（p（x） = 0, xexx2 o證明略。1.2.2 泛函極值的必要條件考慮最簡泛函（3）,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，容許函數(shù)類s取為滿足端點條件為 固定端點（6）的二階可微函數(shù)。(6)(7)工。0）= x。，） = xf泛函極值的必要條件：設(shè)泛函（3）在x（t）s取得極值，則x（t）滿足歐拉方程f3%=0dt歐拉方程推導(dǎo)：首先計算(3)式的變分：/=二 j(x(f) + a次(憂=。da二 二/& x0+a&),*/) + a&q) a=o 力 力。ocx=j fr(z,尤,x)& + f-

11、 q, x, x)sxdt對上式右端第二項做分部積分，并利用&。）= &。/） = 0,有k(/,x,x)8xdt = - f( x,x)8xdt，jfoj，。at所以% dt利用泛函極值的變分表示，得設(shè)-4匕&力=。% at因為&的任意性，及&） = &（0） =（）,由基本引理，即得（7）。（7）式也可寫成工一 et 一工/ =。通常這是關(guān)于x（t）的二階微分方程，通解中的任意常數(shù)由端點條件（6）確定。1.2. 3幾種特殊形式最簡泛函的歐拉方程（1）/不依賴于山，即尸=尸,工）這時匕三0,歐拉方程為匕文)=0,這個方程以隱函數(shù)形式給出x),但它一般不 滿足邊界條件，因此，變分問題無解。(i

12、i)一不依賴x,即尸= f(f,x)歐拉方程為5g)=。at將上式枳分一次，便得首次積分匕/) = g，由此可求出 =0(7,q),積分后得到可能的 極值曲線族x = (f，g 討(iii) f只依賴于x .即f = f(x)這時匕=0,尸丘=0,尸式=0,歐拉方程為mtt = 0由此可設(shè)元=0或匕中=0,如果犬=0,則得到含有兩個參數(shù)的直線族工=。/ +。，。另外 若fh = 有一個或幾個實根時，則除了上面的直線族外，又得到含有一個參數(shù)c的直線族 x = kt+c,它包含于上面含有兩個參數(shù)的直線族x = clt + c2中，于是，在尸=尸(犬)情 況下，極值曲線必然是直線族。(iv)/只依賴

13、于x和、，即尸=尸(工,犬)這時有尸i=0,故歐拉方程為fr - xf - xfi = 0此方程具有首次積分為f-xfc,事實上，注意到戶不依賴于3于是有(ft%) = f/+ fj 犬% 火4% =以工一3 生)=0。atatat1. 3幾個經(jīng)典的例子1.3.1最速降線問題最速降線問題 設(shè)a和5是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連結(jié)a和5 的平面曲線中，求一曲線，使質(zhì)點僅受重力作用，初速度為零時，沿此曲線從a滑行至6的 時間最短。解將a點取為坐標(biāo)原點，b點取為b(x,yd，如圖1。根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點在曲9線y(x)上任一點處的速度一滿足(s為弧長) dt1 (ds 彳/ = mg

14、y21出j將ds = j1+ y,2 (x) dx代入上式得力工xv 2gy于是質(zhì)點滑行時間應(yīng)表為)，“)的泛函心 t。j 2gy 改端點條件為)，(0) = 0,)，(/)=)，最速降線滿足歐拉方程，因為f(y,y)j y不含自變量x,所以方程(8)可寫作w=o等價于a(0,0)xblxijxo y圖i最速降線問題；(f-v.) = dx作一次枳分得y(l + y2) = g令y=agg,則方程化為c.,夕 cv = g sir-=-,1+嚴(yán)2 :又因.o e s,c. sincos48 =.=2 3針0)ctg-積分之，得cx = (-sm) + c20-(1-cos)=多(1 一 cos

15、0)d6由邊界條件)，(0) = 0,可知g=o,故得x =(夕一 sing) 0,進而得 axy=-7chyk(x+c)o此即為懸鏈線，它使重心最低，勢能最??！大自然中的許多結(jié)構(gòu)是符合最小勢能的，人們稱 之為最小勢能原理。1.4泛函極值問題的補充1.4.1 泛函極值的幾個簡單推廣(i)含多個函數(shù)的泛函使泛函j(y(x), z(x)=/(x, y, y, z, z )dx取極值且滿足固定邊界條件（） = %，）（三）=%，z（z） = z1, z（x2） = z2.的極值曲線y = y(x),z = z(x)必滿足歐拉方程組(11)含高階導(dǎo)數(shù)的泛函 使泛函取極值且滿足固定邊界條件=（&）= %

16、，（%）=%/區(qū)）=乂的極值曲線y = y（x）必滿足微分方程（in）含多元函數(shù)的泛函設(shè)1（蒼）。2,（%/），使泛函j（z（x, y）= jj 尸（x, y, z, zx,zy）dxdyd取極值且在區(qū)域。的邊界線/上取已知值的極值函數(shù)z = z（x,y）必滿足方程d 8f-f-e = 0z dx zx 2y 勾上式稱為奧式方程。1.4.2 端點變動的情況（橫截條件）設(shè)容許曲線無（。在/。固定，在另一端點f = 0時不固定，是沿著給定的曲線x = （。上 變動。于是端點條件表示為卜。） = x。v（o = w（t）這里f是變動的，不妨用參數(shù)形式表示為t = tf +adtf尋找端點變動情況的泛

17、函極值必要條件，可仿照前面端點固定情況進行推導(dǎo)，即有d pf+adtf daf(j, x+a8x,x+ a 關(guān))d4 a=o= (工一 5 fl + 工 + 外力 dtf(9)再對（9）式做如下分析:（1）對每一個固定的x。）都滿足歐拉方程，即（9）式右端的第一項積分為零:（11）為考察（9）式的第二、第三項，建立力/與之間的關(guān)系，因為ix（tf +adt f） + a8x（t （ + adt f） = i/（t f +adt f）對。求導(dǎo)并令a=0得x（tf）dtf+dc =tf）dtf&l, =m(。)一乳。)血(1。)把(10)代入(9)并利用力/的任意性，得尸+ 3-)工兒力=0(11

18、)(id式就是確定歐拉方程通解中另一常數(shù)的定解條件，稱為橫截條件。 橫截條件有兩種常見的特殊情況：(i)當(dāng)x = (。是垂直橫軸的直線時，。固定，工(。)自由，并稱工(。)為自由端點。 此時(9)式中功/ =0及友心，的任意性，便得自由端點的橫截條件f. =0(12)x j一(11)當(dāng)x = (f)是平行橫軸的直線時，0自由，x。/)固定，并稱x。/)為平動端點。 此時=0, (11)式的橫截條件變?yōu)閒tf-=0* (13)x 1-j f 注意，橫截條件與歐拉方程聯(lián)立才能構(gòu)成泛函極值的必要條件。1.4.3 有約束條件的泛函極值在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件泛函的極值問題，其典型形式是

19、對動態(tài)系 統(tǒng)初)=/&兇)，(。)*(14)尋求最優(yōu)性能指標(biāo)(目標(biāo)函數(shù))/(0) =叫/)+* (15)其中。)是控制策略，式。是軌線，l固定，。及自由，x(f) r , r(不受限，充滿/t空間)，尸連續(xù)可微。下面推導(dǎo)取得目標(biāo)函數(shù)極值的最優(yōu)控制策略)和最優(yōu)軌線的必要條件。采用拉格朗口乘子法，化條件極值為無條件極值，即考慮4 (x, 2)=叫,x。/ )+/, x,u) + a7 (r)(/(r,x,t/)- x)clt(16)的無條件極值，首先定義(14)式和(15)式的哈密頓(hamilton)函數(shù)為=尸萬( 19) ( 17) 將其代入(16)式，得到泛函= q(f/,x(/r)+j -力幻力(20) (18)下面先對其求變分 d砌=蒜。（。+ &/,x（o）+ a 關(guān)（。）+，+.（/, x 4- a&, u + a 8a、a + a 或）-（2 + a 或尸（x + a 次）=（）=&（/ （儲 + （力 j % + （力/） （im ，1力-（力/ （/t）l+kay 、+（&力 %再令砌=0,由小,&/）,然如，8的任意性，