八年級數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)復(fù)習(xí)專題講練勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用含解析

1、勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用一、勾股定理的逆定理逆定理如果三角形三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊。逆定理說明：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀。在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，為三邊的三角形是直角三角形；若時(shí)，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若時(shí)，以，為三邊的三角形是銳角三角形。二、實(shí)際應(yīng)用定理中的注意問題1. 定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊；2. 勾股定理的逆定理在用問題描

2、述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形。三、勾股定理逆定理的幾種典型應(yīng)用總結(jié)：1. 理解勾股定理與勾股定理逆定理之間的關(guān)系；2. 掌握好數(shù)形結(jié)合的思想及方程思想的應(yīng)用。例題1 如圖，ABC中，AB=15，AC=8，AD是中線，且AD=8.5，則BC的長為（ ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18解析：延長AD至E使ED=AD，利用好“AD是中線”這個(gè)條件，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)就可以求出BD的長度了，再根據(jù)BC=2BD，所以BC的長也就求出了。答案：解：延長AD至E，使DE=A

3、D；連接BE，AD=8.5，AE=28.5=17，在ADC和EDB中，ADDEADCEDB BDCD，ADCEDB（SAS），BE=AC=8，BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289，ABE=90，在RtBED中，BD是中線，BD=AE=8.5，BC=2BD=28.5=17。故選C。例題2 勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理。在我國古算書周髀算經(jīng)中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載。如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理。圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，BAC=90，AB=2，AC=3，則D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形KLMJ的邊上，則長方

4、形KLMJ的面積為（ ）A. 50 B. 52 C. 54 D. 56解析：延長AB交KF于點(diǎn)O，延長AC交GM于點(diǎn)P，可得四邊形AOLP是正方形，然后求出正方形的邊長，再求出矩形KLMJ的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解。答案：解：如圖，延長AB交KF于點(diǎn)O，延長AC交GM于點(diǎn)P，所以，四邊形AOLP是正方形，邊長AO=AB+AC=2+3=5，所以，KL=2+5=7，LM=3+5=8，因此，矩形KLMJ的面積為78=56。故選D。 利用勾股定理計(jì)算角度例題 如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置。若AE=1，BE=2

5、，CE=3，則BEC= 度。解析：首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出EBE=90，BE=BE=2，AE=EC=1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，進(jìn)而得出答案。答案：解：連接EE，將ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置，AE=1，BE=2，CE=3，EBE=90，BE=BE=2，AE=EC=1，EE=2，BEE=45，EE2+EC2=8+1=9，EC2=9，EE2+EC2=EC2，EEC是直角三角形，EEC=90，BEC=135。故答案為：135。開放性試題開放性試題是與封閉性試題相對的、沒有固定答案或唯一結(jié)論的一種試題形式，它在很大程度上彌補(bǔ)了封閉性試題的種種不足，特別在考查學(xué)生思維

6、的靈活性和廣泛性，考查學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識，以及情感、態(tài)度、價(jià)值觀等方面有著封閉性試題所無法取代的優(yōu)點(diǎn)?？墒雇瑢W(xué)們的主觀能動(dòng)性得到極好的發(fā)揮。例題 如圖，已知一個(gè)邊長分別為6、8、10的直角三角形，請?jiān)O(shè)計(jì)出一個(gè)有一條邊長為8的直角三角形，使這兩個(gè)直角三角形能夠拼成一個(gè)等腰三角形。請給出4種不同拼法，并求所拼等腰三角形的周長。解析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定來作圖；利用圖形，分別求得每一個(gè)等腰三角形的周長。答案：解：4種不同拼法（周長不等）的等腰三角形如圖所示：圖1：拼成的等腰三角形的周長為10+6+4+=20+4；圖2：拼成的等腰三角形的周長為10+10+12

7、=32；圖3：根據(jù)圖示知，64+x2=（x+6）2，解得，x=，拼成的等腰三角形的周長為2（+6）+10=26；圖4：拼成的等腰三角形的周長為10+10+8+8=36。（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題1. 有下面的判斷：若ABC中，a2+b2c2，則ABC不是直角三角形。ABC是直角三角形，C=90，則a2+b2=c2。若ABC中，a2b2=c2，則ABC是直角三角形。若ABC是直角三角形，則（a+b）（ab）=c2。以上判斷正確的有（ ）A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)2. 若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則此為（ ）A. 銳角三角形B.

8、 鈍角三角形C. 直角三角形D. 不能確定*3. 已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足=k，以2k，2k+1，2k1為三邊的三角形面積是（ ）A. 12 B. 6 C. D. 3*4. 如圖，以ABC的每一條邊為邊作三個(gè)正三角形ABD、BCE和ACF。已知這三個(gè)正三角形構(gòu)成的圖形中，甲、乙陰影部分的面積和等于丙、丁陰影部分的面積和，則FCE=（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160*5. 如圖，已知正方形ABED與正方形BCFE，現(xiàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)，使得這三個(gè)點(diǎn)能作為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則這樣的直角三角形共有（ ）A. 10個(gè)B. 12個(gè)C. 14個(gè)D. 16個(gè)二

9、、填空題*6. 如圖，RtABC中，C=90度。將ABC沿折痕BE對折，C點(diǎn)恰好與AB的中點(diǎn)D重合，若BE=4，則AC的長為 。*7. 如圖，在45的方格中，A、B為兩個(gè)格點(diǎn)，再選一個(gè)格點(diǎn)C，使ACB為直角，則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)為 個(gè)。*8. 如圖，在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若CM=5，則CE2+CF2= 。三、解答題9. 閱讀以下解題過程：已知a，b，c為ABC的三邊，且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀。錯(cuò)解：a2c2b2c2=a4b4，c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2），c2=a2+b2問：（1）上述解題過程，從哪一步開始

10、發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤？請寫出該步的代號 。（2）錯(cuò)誤的原因是 。（3）本題正確的結(jié)論是 。*10. 如圖，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，把ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5。（1）判斷DEC的形狀，并說明理由；（2）求ADB的度數(shù)。*11. 如圖，四邊形ABCD中，AD=DC，ABC=30，ADC=60。試探索以AB、BC、BD為邊，能否組成直角三角形，并說明理由。*12. 已知：ABC的周長是4+2，AB=4，AC=+。（1）判斷ABC的形狀；（2）若CD是AB上的中線，DEAB，ACB的平分線交DE于E，交AB于F，連接BE。求證：DC=DE，并求DBE的面積。1. C 解

11、析：c不一定是斜邊，故錯(cuò)誤；正確；正確；若ABC是直角三角形，c不是斜邊，則（a+b）（ab）c2，故錯(cuò)誤。共2個(gè)正確。故選C。2. C 解析：ABC是直角三角形。理由是：a2+b2+c2=10a+24b+26c338，（a5）2+（b12）2+（c13）2=0，a5=0，b12=0，c13=0，即a=5，b=12，c=13。52+122=132，ABC是直角三角形。故選C。3. B 解析：，c（b+c）=a（a+b），b（a+b）=c（a+c），化簡后得：（ca）（a+b+c）=0，（cb）（a+b+c）=0，a+b+c0，a=b=c，k=2，以2k，2k+1，2k1為三邊分別為4，5，3；

12、32+42=52，三角形為直角三角形，直角邊的長分別為3，4，根據(jù)直角三角形的面積公式，S=34=6。故選B。4. C 解析：由題意，得SACF+SBCE=SABD，即AC2+BC2AB2。從而AC2+BC2=AB2。所以ACB=90，F(xiàn)CE=360（90+60+60）=150。故選C。5. C 解析：可得到14個(gè)直角三角形，分別為ABE、ADE、ABD、BED、BCE、CFE、BCF、BEF、ACF、ADF、ACD、CDF、AEC、DBF。故選C。6. 6 解析：根據(jù)題意，得DE垂直平分AB，則AE=BE，得A=ABE。根據(jù)折疊，得ABE=CBE，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得A=ABE=

13、CBE=30CE=BE =2，則AC=4+2=6。7. 6 解析：如圖，根據(jù)勾股定理知AB2=12+32=10。12+32=10，（）2+（2）2=10，（）2+（）2=10，符合條件的點(diǎn)C有6個(gè)。8. 100 解析：CE平分ACB，CF平分ACD，ACE=ACB，ACF=ACD，即ECF=（ACB+ACD）=90，又EFBC，CE平分ACB，CF平分ACD，ECB=MEC=ECM，DCF=CFM=MCF，CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100。9. 解：（1）c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2）應(yīng)有c2（a2b2）（a2b2）（a2+b2）=0

14、得到（a2b2）c2（a2+b2）=0，（a2b2）=0或c2（a2+b2）=0，即a=b或a2+b2=c2，根據(jù)等腰三角形得定義和勾股定理的逆定理，知三角形為等腰三角形或直角三角形。故填。（2）不能確定a2b2是否為0。（3）ABC為等腰三角形或直角三角形。10. 解：（1）根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)不變性，AD=EC，BD=BE，又因?yàn)镈BE=ABC=60，所以ABC和DBE均為等邊三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又因?yàn)镃D=5，所以DE2+EC2=32+42=52=CD2；故DEC為直角三角形。（2）因?yàn)镈EC為直角三角形，所以DEC=90，又因?yàn)锽DE為等邊三角形，所以BED=60，故BEC=90+60=150，即ADB=150。11. 解：以AB、BC、BD為邊，能夠組成直角三角形。理由如下：以BC為邊作等邊BCE，連接AE、AC。如下圖所示。ABC=30，CBE=60，ABE=90，AB2+BE2=AE2，AD=DC，ADC=60，ADC是等邊三角形，在DCB和ACE中，DC=AC，DCB=DCA+ACB=ECB+ACB =ACE，又BC=CE，DCBACE，BD=AE，BC=BE，由式，可得BD2=AB2+BC