橢圓專題復習講義

1、專業(yè)資料圓你夢想橢圓專題復習知識梳理1. 橢圓定義：（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和為常數(shù)的動點的軌跡叫橢圓,其中兩個定點叫橢圓的焦點.當時, 的軌跡為橢圓 ; ; 當時, 的軌跡不存在; 當時, 的軌跡為 以為端點的線段（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點與定直線(定點不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點的軌跡為橢圓（利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉化）.2.橢圓的方程與幾何性質:標準方程性質參數(shù)關系焦點焦距范圍頂點對稱性關于x軸、y軸和原點對稱離心率準線 考點1 橢圓定義及標準方程 題型1:橢圓定義的運用例1 (湖北部分重點中學2009屆高三

2、聯(lián)考)橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點a、b是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點a的小球（小球的半徑不計），從點a沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點a時，小球經(jīng)過的路程是oxydpabcqa4ab2(ac)c2(a+c)d以上答案均有可能 解析按小球的運行路徑分三種情況:(1),此時小球經(jīng)過的路程為2(ac);(2), 此時小球經(jīng)過的路程為2(a+c);(3)此時小球經(jīng)過的路程為4a,故選d【名師指引】考慮小球的運行路徑要全面【新題導練】1.短軸長為，離心率的橢圓兩焦點為f1，f2，過

3、f1作直線交橢圓于a、b兩點，則abf2的周長為（ ）a.3 b.6 c.12 d.24解析c. 長半軸a=3，abf2的周長為4a=122.已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為（ ） a 5 b 7 c 13 d 15 解析b. 兩圓心c、d恰為橢圓的焦點，的最小值為10-1-2=7題型2 求橢圓的標準方程 例2 設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關于參數(shù)的式子“描述”出來解析設橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或.【名師指引】準確把握

4、圖形特征，正確轉化出參數(shù)的數(shù)量關系警示易漏焦點在y軸上的情況【新題導練】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.解析(0,1). 橢圓方程化為+=1. 焦點在y軸上，則2，即k0，0k0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2時，上式不成立；m2時，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1） 【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應充分重視向量的功能【新題導練】14.設過點的直線分別

5、與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是 （ ） a. b. c. d. 解析 ，選a.15. 如圖，在rtabc中，cab=90，ab=2，ac=。一曲線e過點c，動點p在曲線e上運動，且保持|pa|+|pb|的值不變，直線l經(jīng)過a與曲線e交于m、n兩點。 （1）建立適當?shù)淖鴺讼担笄€e的方程； （2）設直線l的斜率為k，若mbn為鈍角，求k的取值范圍。解：（1）以ab所在直線為x軸，ab的中點o為原點建立直角坐標系，則a（1，0），b（1，0）由題設可得動點p的軌跡方程為，則曲線e方程為（2）直線mn的方程為由方程有兩個不等的實數(shù)根mbn

6、是鈍角即解得：又m、b、n三點不共線綜上所述，k的取值范圍是基礎鞏固訓練1. 如圖所示,橢圓中心在原點,f是左焦點,直線與bf交于d,且,則橢圓的離心率為( ) a b c d 解析 b . 2. 設f1、f2為橢圓+y2=1的兩焦點，p在橢圓上，當f1pf2面積為1時，的值為a、0b、1c、2d、3解析 a . ， p的縱坐標為，從而p的坐標為，0， 3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 a b c d解析 d. ,兩式相減得：，4.在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 解析5. 已知為橢圓的兩個焦點,p為橢圓上一點,若, 則此橢圓的離心率為 _. 解析 三角形三邊的

7、比是6.在平面直角坐標系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以o為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 解析綜合提高訓練7、已知橢圓與過點a(2，0)，b(0，1)的直線l有且只有一個公共點t，且橢圓的離心率求橢圓方程解析直線l的方程為：由已知由得：，即由得：故橢圓e方程為8.已知a、b分別是橢圓的左右兩個焦點，o為坐標原點，點p）在橢圓上，線段pb與y軸的交點m為線段pb的中點。 （1）求橢圓的標準方程； （2）點c是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于abc，求的值。解析（1）點是線段的中點 是的中位線又 橢圓的標準方程為=1 （2）點c在橢圓上，a、b是橢圓的兩個焦點acbc2

8、a，ab2c2 在abc中，由正弦定理， 9. 已知長方形abcd, ab=2,bc=1.以ab的中點為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系.()求以a、b為焦點，且過c、d兩點的橢圓的標準方程;oabcd圖8()過點p(0,2)的直線交()中橢圓于m,n兩點,是否存在直線,使得以弦mn為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.解析 ()由題意可得點a,b,c的坐標分別為.設橢圓的標準方程是.橢圓的標準方程是()由題意直線的斜率存在,可設直線的方程為.設m,n兩點的坐標分別為聯(lián)立方程: 消去整理得, 有若以mn為直徑的圓恰好過原點,則,所以,所以,即所以,即得所以直線的方程為,或.所以存在過p(0,2)的直線:使得以弦mn為直徑的圓恰好過原點. 參考例題：1、從橢圓上一點向軸引垂線,垂足恰為橢圓的左焦點