[理學(xué)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用浙江大學(xué)盛驟、謝式千編高等教育出版社2004年7月第一版

1、教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用，浙江大學(xué)盛驟、謝式千編，高等教育出版社，2004年7月第一版目 錄第一章隨機(jī)事件及其概率1第二章 隨機(jī)變量及其分布9第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征25第四章 正態(tài)分布34第五章 樣本及抽樣分布40第六章 參數(shù)估計(jì)43第七章 假設(shè)檢驗(yàn)54第四章 正態(tài)分布第一章隨機(jī)事件及其概率1、解：（1） （2） （3） （4）2、設(shè)a, b是兩個(gè)事件，已知，求，解： 3、解：用表示事件“取到的三位數(shù)不包含數(shù)字1” 4、在僅由0，1，2，3，4，5組成且每個(gè)數(shù)字至多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)字中，任取一個(gè)三位數(shù)，（1）該數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）求該數(shù)大于330的概率。 解：用表示事件“取到的

2、三位數(shù)是奇數(shù)”，用表示事件“取到的三位數(shù)大于330” (1) =0.48 2） =0.48 5、袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球；（2）4只中至少有2只紅球；（3）4只中沒有白球解：用表示事件“4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球” （1）=（2）用表示事件“4只中至少有2只紅球” 或= （3）用表示事件“4只中沒有白球”6、解：用表示事件“某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦巍?7、解：用表示事件“3只球至少有1只配對”，表示事件“沒有配對”（1）或（2）8、（1）設(shè)，求；（2）袋中有6只白球，5只紅球每次在袋中任取一

3、只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到紅球不放回也不再放回另外的球，連續(xù)取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解 （1）， （2）設(shè)，b = 第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球則， 9、解： 用表示事件“取到的兩只球中至少有1只紅球”，表示事件“兩只都是紅球” 方法1 ， 方法2 在減縮樣本空間中計(jì)算 10、解：表示事件“一病人以為自己患了癌癥”，表示事件“病人確實(shí)患了癌癥” 由已知得，（1）互斥 同理 （2）（3）（4）（5）11、解：用表示事件“任取6張，排列結(jié)果為ginger”12、據(jù)統(tǒng)計(jì)，對于某一種的兩種癥狀：癥狀a、癥狀b，有20%的人只有癥狀a，有3

4、0%的人只有癥狀b，有10%的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有，在患這種疾病的人群中隨機(jī)的選一人，求（1）該人兩種癥狀都沒有的概率；（2）該人至少有一種癥狀的概率；（3）已知該人有癥狀b，求該人有兩種癥狀的概率。解：用表示事件“”，表示事件“” 由已知，（1）設(shè)c = 該人兩種癥狀都沒有， 且互斥或 ，即 （2）設(shè)d = 該人至少有一種癥狀，即 （3）設(shè)e = 已知該人有癥狀b，求該人有兩種癥狀， 互斥 即 13、解：用表示“訊號無誤差地被接受”表示事件“訊號由第條通訊線輸入”， ， 由全概率公式得 14、一種用來檢驗(yàn)50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗(yàn)法，對于確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎的病人，有85

5、%給出了正確的結(jié)果；而對于已知未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎，已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為它沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻患有關(guān)節(jié)炎的概率。解：用表示事件“”， 表示事件“” c表示事件：“一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為它沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻患有關(guān)節(jié)炎”所求為，由已知 ，則 ，由貝葉斯公式得15、解：用表示事件“程序因計(jì)算機(jī)發(fā)生故障被打壞”分別表示事件“程序交與打字機(jī)打字” 由已知得 ，；，由貝葉斯公式得 16、解：用表示事件“收到可信訊息”，表示事件“由密碼鑰匙傳送訊息” 由已知得 ，由貝葉斯公式得17、解：用表示事件“第一次得”，表示事件“第二次得”，表示事件“兩次得同一

6、面”則 ， ，兩兩獨(dú)立而，不是相互獨(dú)立的18、解：用表示事件“運(yùn)動員進(jìn)球”，表示事件“運(yùn)動員進(jìn)球”，表示事件“運(yùn)動員進(jìn)球”，由已知得 ， 則 ， （1）設(shè)，則且互斥 （2）設(shè)，則且互斥 （3）設(shè)，則 19、解：設(shè)表示事件“病人能得救”表示事件“第個(gè)供血者具有血型”，則 且互斥，相互獨(dú)立 20、一元件（或系統(tǒng)）正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性，如圖設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)后并聯(lián)的方式聯(lián)接（稱為串并聯(lián)系統(tǒng)），設(shè)元件的可靠性為p，求系統(tǒng)的可靠性。32解：設(shè)， 由已知得 相互獨(dú)立法1： 法2： 21、用一種檢驗(yàn)法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下，若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果

7、為含有的概率為0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9；根據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4，0.6 。今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。解：用a表示事件“真含有雜質(zhì)”,用b表示事件“3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)” 由已知得 ，由貝葉斯公式得第二章 隨機(jī)變量及其分布1、設(shè)在某一人群中有40%的人血型是a型，現(xiàn)在在人群中隨機(jī)的選人來驗(yàn)血，直至發(fā)現(xiàn)血型是a型的人為止，以y記進(jìn)行驗(yàn)血的次數(shù)，求y的分布律。解：2、解：用， 3、據(jù)信有20%的美國人

8、沒有任何健康保險(xiǎn)，現(xiàn)任意抽查15個(gè)美國人，以x表示15人無任何健康保險(xiǎn)的人數(shù)（設(shè)各人是否有健康保險(xiǎn)是相互獨(dú)立的），問x服從什么分布，寫出x 的分布律，并求下列情況下無任何健康保險(xiǎn)的概率（1）恰有3人；（2）至少有兩人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解： k=0,1,2,15 （1） （2） （3） （4）4、解：用x表示5個(gè)元件中正常工作的元件個(gè)數(shù) 5、某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以致產(chǎn)品成為次品，設(shè)次品率為p = 0.001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。解：設(shè)x表示8000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則由于n很大，p很小，利用，所以

9、6、解：（1） （2） 或7、解：（1） （2）設(shè)y表示一分鐘內(nèi)，5個(gè)訊息員中未接到訊息的人數(shù)，則 （3） 8、一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí)，他還不結(jié)束講解，他常結(jié)束他講解在下課鈴響后一分鐘以內(nèi)，以x表示響鈴至結(jié)束講解的時(shí)間，設(shè)x的概率密度為（1）確定k；（2）求；（3）求；（4）求解：（1）由 （2）（3）（4）9、解：方程，即 得，所以有實(shí)根的概率為10、解：（1）（2）（3）11、設(shè)實(shí)驗(yàn)室的溫度x（以c計(jì)）為隨機(jī)變量，其概率密度為（1）某種化學(xué)反應(yīng)在溫度x 1時(shí)才能反應(yīng)，求在實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)發(fā)生的概率；（2）在10個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室中，各實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)是否會發(fā)生是相互獨(dú)立的，以y表示10個(gè)

10、實(shí)驗(yàn)室中有這種化學(xué)反應(yīng)的實(shí)驗(yàn)室的個(gè)數(shù)，求y的分布律；（3）求。解：（1）（2），（3） 12、（1）設(shè)隨機(jī)變量y的概率密度為試確定常數(shù)c，求分布函數(shù)，并求，（2）設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為求分布函數(shù)，解：（1）由 （2） 13、解： 當(dāng)n=3時(shí)，（x，y）聯(lián)合分布律為 yx123101/61/621/601/631/61/6014、設(shè)有一加油站有兩套用來加油的設(shè)備設(shè)備a是加油站工作人員操作的，設(shè)備b是顧客自己操作的，a，b均裝有兩根加油軟管，隨機(jī)取一時(shí)刻，a，b正在使用軟管數(shù)分別為x，y。x，y的聯(lián)合分布律為 yx01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.3

11、0（1）求（2）至少有一根軟管在使用的概率；（3）解：（1），（2）設(shè)c = 至少有一根軟管在使用（3） 15、設(shè)隨機(jī)變量（x，y）的概率密度為是確定常數(shù)c；并求；解：， 16、設(shè)隨機(jī)變量（x，y）在由曲線所圍成的區(qū)域g均勻分布（1）求（x，y）的概率密度；（2）求邊緣概率密度解：（1）， （2）17、（1）在14題中求邊緣概率密度；解：（1）yx012px=xi00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38py=yi0.160.340.501（2）22、（1）設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為y-101pk又y1，y2是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

12、，且y1，y2與y有相同的分布律，求y1與y2的聯(lián)合分布律，并求py1 = y2;（2）在14題中x與y是否相互獨(dú)立。解：（1） y1y2-101-101且 （2） ，x與y不相互獨(dú)立23、設(shè)x，y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，xu(0,1) ，y 的概率密度為試寫出x，y的聯(lián)合概率密度，并求。解： ，且x與y相互獨(dú)立 24、設(shè)隨機(jī)變量x具有分布律x-2-1013求的分布律。 解：x-2-101352121012510即1251025、解：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)故的概率密度為：26、解：（1），當(dāng)時(shí)，當(dāng)故的概率密度為：（2），當(dāng)時(shí)，當(dāng)，故的概率密度為：（3），當(dāng)時(shí)，當(dāng)故的概率密度為：27、設(shè)一圓的半徑x是一隨

13、機(jī)變量，其概率密度為求圓面積a的概率密度。解：,， 當(dāng)y時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí), 故的概率密度為：28、解：因?yàn)閤與y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布 ，當(dāng)時(shí)， 故的概率密度為：29、解：，且x與y相互獨(dú)立 30、解：，且x與y相互獨(dú)立由卷積公式：，故的概率密度為：31、解：，且x與y相互獨(dú)立 32、設(shè)隨機(jī)變量x，y相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合概率密度為（1）求邊緣概率密度；（2）求的分布函數(shù)；（3）求概率。解（1） （2） （3）33、解：（1） （2）兩個(gè)小段均服從： ， 故，從而得證34、解：（1）u的可能取值是0，1，2，3或u0123p即：u0123p（2）v的可能取值為0,1,2 或v012p0+0

14、即：v01p（3）w的可能取值是0，1，2，3，4，5或w012345p0+00即：w0123p第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、解： 2、解： 3、解：設(shè)x為取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)， ，即x012pk4、解：設(shè)x為所得分?jǐn)?shù) ， 5、解：（1）已知，由則，解得故 （2）由于不是絕對收斂，則不存在。6、（1）某城市一天水的消費(fèi)量x（百萬升計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為求一天的平均耗水量。（2）設(shè)某種動物的壽命x（以年計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，起分布函數(shù)為求這種動物的平均壽命。（2）解法1： 解法2：7、解：8、解：9、解：10、設(shè)，求數(shù)學(xué)期望解：由11、解：r的概率密度為 12、解：13、解：y1的

15、分布函數(shù)為y1的概率密度為yn的分布函數(shù)為yn的概率密度為14、設(shè)隨機(jī)變量(x, y)具有分布律為 yx012010200求。解：x的分布律為 y的分布律為x012 pi.y012pj 15、解： 16、設(shè)隨機(jī)變量(x, y)具有概率密度求。解： 17、某工程對完成某種工程的天數(shù)x是隨機(jī)變量，具有分布律x1011121314p0.20.30.30.10.1所得利潤（以元計(jì)）為 求18、解：19、解： 20、解：（1）（2）由于，則當(dāng)不存在。（3） （4）由于，則當(dāng)不存在。21、（1）在14題中，求(2 ) 在16題中，求解：（1）由14題， （2）由16題， （3）x的分布律為x012pk0.

16、240.380.38y的分布律為y012pk0.160.340.5解：23、解：（1）（2）解： ，則x, y不相關(guān)。由于，故x, y不相互獨(dú)立。25、解：設(shè)第四章 正態(tài)分布、解：（1）（2）2、解：解：（1） （2） 4、解：（1）（2）5、解：6、解：（1）設(shè)a=兩只電阻器的電阻值都在11.7歐和12.3歐之間則（2）設(shè)x, y分別是兩只電阻器的電阻值，則，且x, y相互獨(dú)立7、一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命x（以小時(shí)計(jì)）服從均值，均方差為s的正態(tài)分布，若要求，允許s最大為多少？解：因?yàn)橛蓮亩?，查表得 ，故31.28、解：（1）（2）設(shè)由從而d81.179、解： 則（1） （2）10、解：（

17、1）（2），故0.334811、設(shè)某地區(qū)女子的身高（以m計(jì)），男子身高（以m計(jì)），設(shè)各人身高相互獨(dú)立。（1）在這一地區(qū)隨機(jī)選一名女子，一名男子。求女子比男子高的概率。（2）在這一地區(qū)隨機(jī)選5名女子，求其中至少有4名的身高大于1.60的概率。（3）在這一地區(qū)隨機(jī)選50名女子，求這50名女子的平均身高大于1.60的概率。解：（1）（2）設(shè)5名女子中身高大于1.60的人數(shù)為y，則（3）則 12、解：（1）.由，解得，.，.（2）（，）0.158713、解：（1）m30（2）（m30，7.5）（3）4500.950.95 -1.645 m492.414、解：(1) (m-30，37.5)（2）(450)0.90 0.90-1.28 m 490.3615、某種電子元件的壽命x（以年記）服從數(shù)學(xué)期望為2的指數(shù)分布，各元件的壽命相互獨(dú)立。隨機(jī)取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率。解： 16、解：(0,1)24.7425.25p0.987617、解：n(0.5