常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系與問(wèn)題解決

1、小學(xué)數(shù)學(xué)“常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系與問(wèn)題解決”的教學(xué)研究與案例評(píng)析 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問(wèn)題解決不僅能夠幫助學(xué)生鞏固、拓展所學(xué)的知識(shí)和技能，而且也有利于發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力、激發(fā)學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。從 1949 年以來(lái)，我國(guó)大陸地區(qū)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程一直把小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的教學(xué)放在重要位置上。但在 20 世紀(jì)中葉以后，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)發(fā)生了重大變化。1980 年，美國(guó)提出“問(wèn)題解決（ problem solving ）”的教學(xué)模式。要求將純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的問(wèn)題統(tǒng)一起來(lái)，形成統(tǒng)一的“問(wèn)題解決”教學(xué)模式，認(rèn)為解決非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培育創(chuàng)新精神，是數(shù)學(xué)教育的主要追求，應(yīng)貫穿到數(shù)學(xué)教育的每一個(gè)環(huán)節(jié)中。這種趨勢(shì)影響了各國(guó)的

2、數(shù)學(xué)教學(xué)，問(wèn)題解決已被看做數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的核心。在 2001 年我國(guó)制定數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中，為了使培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題能力落到實(shí)處，單獨(dú)設(shè)立了解決問(wèn)題這一目標(biāo)維度，應(yīng)用題不再成為獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容，解決問(wèn)題的要求被貫穿在四個(gè)基本的內(nèi)容領(lǐng)域中。在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 版）中這個(gè)做法得到延續(xù)，并更加明晰。 一、一些基本的觀(guān)點(diǎn) 1. 問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題 根據(jù)心理學(xué)大辭典，問(wèn)題是指“在給定狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)之間存在某些障礙，需要加以克服的任務(wù)情境”。數(shù)學(xué)問(wèn)題是指對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒(méi)有現(xiàn)成方法、程序或算法可以解決的情境，或者說(shuō)數(shù)學(xué)問(wèn)題是指不能用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法解決的一種情境狀態(tài)。數(shù)學(xué)問(wèn)題有三個(gè)特別顯著

3、的特點(diǎn)：一是障礙性，二是可接受性，三是探究性。 2 問(wèn)題解決、應(yīng)用題、應(yīng)用問(wèn)題 (1) 問(wèn)題解決 數(shù)學(xué)問(wèn)題一般分為兩類(lèi)，一類(lèi)是常規(guī)的，即背景簡(jiǎn)單、條件明確、答案唯一、解決常見(jiàn)的問(wèn)題，習(xí)題和考試中多半是這類(lèi)題目。另一類(lèi)是非常規(guī)的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題設(shè)置的情景相對(duì)比較復(fù)雜、條件隱含、答案開(kāi)放，沒(méi)有現(xiàn)成的解法可以套用，常稱(chēng)為“具有挑戰(zhàn)性”的問(wèn)題。 而對(duì)于什么是問(wèn)題解決，到現(xiàn)在沒(méi)有統(tǒng)一的解釋。但是無(wú)論如何問(wèn)題解決從什么角度去理解，有一個(gè)觀(guān)點(diǎn)比較一致：所謂“問(wèn)題解決”，專(zhuān)指解決“非常貴問(wèn)題”。目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神。 （ 2 ）問(wèn)題解決與應(yīng)用題 問(wèn)題解決不等于應(yīng)用題。問(wèn)題解決和應(yīng)用題的區(qū)別如下

4、：?jiǎn)栴}解決是學(xué)習(xí)的開(kāi)始，不是單純的應(yīng)用；問(wèn)題解決強(qiáng)調(diào)與現(xiàn)實(shí)緊密聯(lián)系，有開(kāi)放性；問(wèn)題解決的形式：提出問(wèn)題、體驗(yàn)、建構(gòu)、形成創(chuàng)新意識(shí)；問(wèn)題解決有交流和反思的空間。而解應(yīng)用題的學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，應(yīng)用題人為編造的痕跡較為明顯，是封閉的；應(yīng)用題的教學(xué)形式：找類(lèi)型，記結(jié)語(yǔ)，套公式，形成“條件反射”；“條件 + 體型 = 問(wèn)題答案”構(gòu)成了應(yīng)用題的因素，學(xué)生在解題過(guò)程中無(wú)需反思或較少反思。 （ 3 ）問(wèn)題解決與應(yīng)用問(wèn)題 基于“問(wèn)題解決”與“應(yīng)用題”之間的“鴻溝”，有學(xué)者提出了“應(yīng)用問(wèn)題”的提法。與“問(wèn)題解決”相比， 問(wèn)題解決中的“問(wèn)題”是更具有實(shí)際意義的問(wèn)題，它與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)，往往需要考慮現(xiàn)實(shí)生活中的諸多

5、因素，具有綜合性、開(kāi)放性的特點(diǎn)。而應(yīng)用問(wèn)題中的“問(wèn)題”，盡管提倡要符合學(xué)生實(shí)際，并力求具有一定的開(kāi)放性，但總體上來(lái)說(shuō)，問(wèn)題已經(jīng)經(jīng)過(guò)了一定的簡(jiǎn)化，背景相對(duì)簡(jiǎn)單，其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系也往往是學(xué)生所熟悉的。因此學(xué)生所做的工作主要是分析出其中的數(shù)量關(guān)系，并聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法加以解決。 3 問(wèn)題解決模式 （ 1 ）波利亞數(shù)學(xué)問(wèn)題解決四階段模式 早在 1957 年，著名的數(shù)學(xué)教學(xué)家波利亞對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程做了較為具體的分析和描述，他的研究構(gòu)成了 20 世紀(jì) 80 年代以來(lái)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究的基礎(chǔ)。波利亞把數(shù)學(xué)問(wèn)題解決劃分為如下四個(gè)階段： 階段一：理解問(wèn)題。你在尋找什么？在該問(wèn)題中有哪些信息已經(jīng)給出？畫(huà)出一

6、個(gè)示意圖。 階段二：制定計(jì)劃。你知道類(lèi)似的問(wèn)題嗎？你知道一個(gè)更容易的問(wèn)題嗎？你能重新表述該問(wèn)題嗎？嘗試解決一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題，嘗試解決問(wèn)題的一部分。 階段三：執(zhí)行計(jì)劃。執(zhí)行解決的計(jì)劃，檢查每一步驟，你能夠證明每一步都是正確的嗎？ 階段四：回顧解答。檢查算式和結(jié)果，你能用不同的方法得出答案嗎？你能把這一結(jié)果用到另一個(gè)問(wèn)題的解決上嗎？ （ 2 ）新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決四階段模式 2000 年新加坡修訂的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱附錄中給出了問(wèn)題解決的基本模式，要求小學(xué)數(shù)學(xué)教師參照這一模式來(lái)實(shí)施問(wèn)題解決的教學(xué)。該模式包含的問(wèn)題解決的步驟是： 理解問(wèn)題。包括：找出給出的信息；具體化這些信息；組織這些信息；連接這些信

7、息。 設(shè)計(jì)計(jì)劃（選擇策略）。包括：描述、表達(dá)出它；運(yùn)用圖表和模型；做個(gè)系統(tǒng)的表格；尋找模式；退一步考慮；運(yùn)用前后概念；猜測(cè)和檢驗(yàn)；做個(gè)假設(shè)；換一種方式重述問(wèn)題；簡(jiǎn)化問(wèn)題；解決問(wèn)題的一部分。 實(shí)施計(jì)劃。包括：運(yùn)用計(jì)算技能；運(yùn)用幾何技能；運(yùn)用邏輯推理。 反思。包括：檢驗(yàn)解答；改進(jìn)所用方法；探尋其他方法；擴(kuò)展該方法到其他問(wèn)題上。 （ 3 ）現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中的問(wèn)題解決模式 在現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中，問(wèn)題解決一直是一個(gè)異?；钴S的研究領(lǐng)域，研究者提出的問(wèn)題解決模式也層出不窮。概括起來(lái)，可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題解決相關(guān)的模式歸納為五個(gè)子過(guò)程： 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題覺(jué)知問(wèn)題的存在，其心理實(shí)質(zhì)是察覺(jué)現(xiàn)有的狀態(tài)與欲想的狀態(tài)之間存在的差異。

8、界定和表征問(wèn)題確定地界定問(wèn)題的性質(zhì)、分析解決問(wèn)題需要的條件以及已有條件、明確問(wèn)題解決的最終目標(biāo)等。 確定問(wèn)題解決方案包括選擇解題方法，確定具體的解題步驟這兩個(gè)基本過(guò)程。 執(zhí)行解題方案將前面制定的解題策略與計(jì)劃付諸實(shí)施，使問(wèn)題達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。 評(píng)價(jià)問(wèn)題解決的結(jié)果主動(dòng)對(duì)自己求解的過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，判斷解題過(guò)程是否合理、結(jié)果是否正確。 4. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 版）中的問(wèn)題解決 無(wú)論是 2001 年出版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿），還是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 版）中，都將問(wèn)題解決作為貫穿我國(guó)數(shù)學(xué)課程的一條主線(xiàn)。 （ 1 ）問(wèn)題解決是理念 在標(biāo)準(zhǔn)中，將解決問(wèn)題不僅僅看成是課程內(nèi)容，更是一種貫

9、穿始終的理念，鼓勵(lì)學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型求解模型解釋、應(yīng)用和拓展的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程。 （ 2 ）問(wèn)題解決是目標(biāo) 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 版）中過(guò)程與方法目標(biāo)分成：數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決。其中關(guān)于問(wèn)題解決目標(biāo)的具體描述如下： 初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。 獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。 學(xué)會(huì)與他人合作交流 初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。 其中，創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的其他目標(biāo)部分并沒(méi)有出現(xiàn)，只是在問(wèn)題解決的部分里出現(xiàn)。 （ 3 ）問(wèn)題解決

10、是要求 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索、嘗試、表示、解釋、反思”等動(dòng)詞，都伴隨著問(wèn)題解決，問(wèn)題解決應(yīng)滲透在每一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程中。 二、“問(wèn)題解決”的教育價(jià)值 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題能力作為重要任務(wù)，重視解決問(wèn)題的價(jià)值。 1. 解決問(wèn)題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志 pisa（經(jīng)合組織進(jìn)行的國(guó)際學(xué)生評(píng)價(jià)計(jì)劃）對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的解釋是：“在當(dāng)前或未來(lái)的生活中為滿(mǎn)足個(gè)人成為一個(gè)會(huì)關(guān)心、會(huì)思考的市民的需要而具備的知識(shí)，并理解數(shù)學(xué)在自然、社會(huì)生活中的地位的能力，做出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力。數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括若干運(yùn)用數(shù)學(xué)能力的水平層次，從標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)運(yùn)算到數(shù)學(xué)思維能力

11、和觀(guān)察能力。它也要求學(xué)生理解和應(yīng)用一定范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如：概率、變化率、增長(zhǎng)率、空間與形狀、定量推理、不定性和從屬關(guān)系等。這些包括數(shù)學(xué)課程的特定范圍，比如：算數(shù)、代數(shù)和幾何?！痹?pisa 設(shè)計(jì)的八個(gè)方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中，至少有三個(gè)方面與解決問(wèn)題能力有直接的關(guān)系。（ 1 ）數(shù)學(xué)思考。（ 2 ）建立模型。（ 3 ）提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的技能。 2. 解決問(wèn)題意識(shí)的提高使學(xué)生更能體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值 學(xué)生會(huì)從分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，了解自己身邊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而指導(dǎo)、理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)能力的作用。有人把數(shù)學(xué)意識(shí)稱(chēng)之為“用數(shù)學(xué)家的眼光看世界”。別人可能根本不會(huì)注意到的東西，在他看來(lái)

12、確實(shí)饒有趣味的數(shù)學(xué)。在別人看來(lái)并不是數(shù)學(xué)背景的事情，他們可以從中看出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)的思考認(rèn)識(shí)和分析這樣的問(wèn)題。數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要功能就在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，是學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界。 3. 促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)的理解和掌握 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四個(gè)領(lǐng)域，尤其是前三個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于具體的知識(shí)技能，每個(gè)領(lǐng)域有特定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，各自的目標(biāo)與任務(wù)。但通過(guò)各個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，其在培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的意識(shí)與能力、培養(yǎng)學(xué)生的情感與態(tài)度等方面是一致的。在學(xué)習(xí)各個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)把問(wèn)題解決當(dāng)做重要的任務(wù)，同時(shí)，問(wèn)題解決能力的提高也會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)容的理解和掌握。 4 解決問(wèn)題是發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和

13、實(shí)踐能力的重要途徑 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決往往都不能直接依賴(lài)于已有的知識(shí)和方法，只有通過(guò)對(duì)已掌握的知識(shí)和方法的重新組合并生成新的策略和方法才能實(shí)現(xiàn)。因此解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程又是一個(gè)創(chuàng)新的過(guò)程。這一過(guò)程促使學(xué)生尋求新的途徑和方法，它不僅可以使學(xué)生獲得初步的創(chuàng)新能力，而且可以讓學(xué)生從小養(yǎng)成創(chuàng)新的意識(shí)和創(chuàng)新的思維習(xí)慣，為今后實(shí)現(xiàn)更高層次的創(chuàng)新奠定良好的基礎(chǔ)。 三、“應(yīng)用問(wèn)題”中常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系分析 對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，指向于教材中的“應(yīng)用問(wèn)題”。 1. 基本的數(shù)量關(guān)系 （ 1 ）四則運(yùn)算： 加法：加數(shù)加數(shù)和 和一個(gè)加數(shù)另一個(gè)加數(shù) 減法：被減數(shù)減數(shù)差 被減數(shù)差減數(shù) 差減數(shù)被減數(shù) 乘法：因數(shù) 因數(shù)積 積 一個(gè)因數(shù)另一

14、個(gè)因數(shù) 除法：被除數(shù) 除數(shù)商 被除數(shù) 商除數(shù) 商 除數(shù)被除數(shù) （ 2 ）運(yùn)算定律： 加法交換律 a b b a 加法結(jié)合律 a b c (a b) c a (b c) (a c)+b 乘法交換律 ab ba 乘法結(jié)合律 abc (ab)c a(bc) (ac)b 乘法分配律 a(b c) ab ac （ 3 ）基本性質(zhì)： 減法的運(yùn)算性質(zhì)： a b c a (b c) 除法的運(yùn)算性質(zhì)： abc a(bc) 商不變的性質(zhì)： ab (ax)(bx) (ax)(bx)(x0) 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)： 比的基本性質(zhì)： a:b (ax):(bx) (ax):(bx)(x0) 比例的基本性質(zhì)：因?yàn)?a:b c:d

15、 所以 ad bc 我國(guó)常規(guī)應(yīng)用題的教學(xué)中，成績(jī)一直都很好。但課程和教學(xué)往往集中在為了教學(xué)而教學(xué)上，在提出問(wèn)題、發(fā)展問(wèn)題、靈活地處理應(yīng)用性問(wèn)題上，比起歐美諸國(guó)的教學(xué)，還有很多不足。 2. 類(lèi)型問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系 除了一些基本的數(shù)量關(guān)系蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各部分內(nèi)容之中，原來(lái)我們還慣常按照問(wèn)題情境將問(wèn)題分類(lèi)開(kāi)展教學(xué)，并進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的訓(xùn)練，強(qiáng)化這些類(lèi)型問(wèn)題的解題方法。但原來(lái)的課程和教學(xué)整體上較窄、較難、較偏。 以下是原有的課程中曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的數(shù)量關(guān)系：價(jià)格問(wèn)題、行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、利息問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、折扣問(wèn)題、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題、比例尺問(wèn)題、分?jǐn)?shù)問(wèn)題。當(dāng)然，有的教材還出現(xiàn)過(guò)植樹(shù)、流水、盈虧、合倍、差倍、濃度

16、、追及、平均數(shù)等問(wèn)題類(lèi)型。 就上面列出的數(shù)量關(guān)系來(lái)看，其實(shí)有很多本質(zhì)上是相同的。在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 版）修訂過(guò)程中，明確了小學(xué)需要學(xué)習(xí)的兩個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：一個(gè)是物理模型中的“路程、時(shí)間和速度”關(guān)系；一個(gè)是經(jīng)濟(jì)模型中的“總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)”關(guān)系。這兩個(gè)關(guān)系不僅僅在生活中有著廣泛地應(yīng)用，同時(shí)也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)（如學(xué)習(xí)微積分）的兩個(gè)重要的基本模型。 四、教學(xué)策略 在實(shí)際教學(xué)中，教師們可以將問(wèn)題解決作為數(shù)學(xué)課程的基本理念和要求，在教學(xué)時(shí)把握“應(yīng)用問(wèn)題”和“綜合與實(shí)踐”兩個(gè)線(xiàn)索。“應(yīng)用問(wèn)題”重在對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題基本技能、基本數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)基本思想的認(rèn)識(shí)，而“綜合與實(shí)踐”更多地指向非常規(guī)問(wèn)題和開(kāi)放性問(wèn)

17、題。 （一）“應(yīng)用問(wèn)題”教學(xué)策略 1 關(guān)注對(duì)問(wèn)題的設(shè)計(jì) 問(wèn)題本身的設(shè)計(jì)對(duì)問(wèn)題的解決有著至關(guān)重要的作用。一個(gè)有趣的、值得探究的問(wèn)題不僅有助于激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題解決動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)興趣，而且有助于學(xué)生獲得良好的問(wèn)題解決策略以及促進(jìn)學(xué)生解決真實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。盡管教師所使用的教材中，絕大部分問(wèn)題是教材編寫(xiě)者已經(jīng)編好的，但這并不意味著教師不可以進(jìn)行改造或重新編制問(wèn)題。 2 注重對(duì)于運(yùn)算意義的理解 為了解決問(wèn)題，學(xué)生需要首先學(xué)習(xí)在什么實(shí)際背景下應(yīng)用四則運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，即四則運(yùn)算的實(shí)際背景或四則運(yùn)算的意義。 （ 1 ）理解運(yùn)算的背景和意義 每種運(yùn)算的本質(zhì)意義，都產(chǎn)生于相對(duì)特定的實(shí)際背景，也運(yùn)用于相對(duì)特定的問(wèn)題情境。

18、確定“何種運(yùn)算”的關(guān)鍵在于，兩種數(shù)量的關(guān)聯(lián)狀態(tài)，“暗合”了哪種運(yùn)算的“實(shí)際背景”?！耙约臃ㄗ龊喜⒒蛞迫氲哪Ｐ停灰詼p法做拿走、比較、移出或加法逆運(yùn)算的模型；以乘法做大小的變化、交叉相乘或比率因子的使用模型；以除法做比、率、比率除法、大小變化除法或乘法的逆運(yùn)算的模型”。（摘自詹姆斯 t 費(fèi)撰寫(xiě)數(shù)量一文）如“合并”“移入”，就是加法的實(shí)際背景。 學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要先在頭腦中分析，這個(gè)情境對(duì)應(yīng)了哪種運(yùn)算，進(jìn)而進(jìn)行選擇和運(yùn)用。但由于現(xiàn)在教材的編寫(xiě)將運(yùn)算的實(shí)際背景大多處理成“暗線(xiàn)”，所以需要教師對(duì)教材進(jìn)行系統(tǒng)的梳理，找到實(shí)際背景，并不斷擴(kuò)充這條線(xiàn)索。 （ 2 ）關(guān)注具體情境向運(yùn)算意義的轉(zhuǎn)化過(guò)程 以

19、往我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)往往采取“問(wèn)題情境問(wèn)題類(lèi)型運(yùn)算意義”的思路；這樣容易出現(xiàn)概念化、思維模式固定化的問(wèn)題。所以提倡“問(wèn)題情境經(jīng)驗(yàn)、操作、畫(huà)圖運(yùn)算意義”的思路來(lái)進(jìn)行教學(xué)，有助于學(xué)生更好地理解運(yùn)算意義和問(wèn)題實(shí)際意義。 （ 3 ）鼓勵(lì)學(xué)生建構(gòu)自己對(duì)運(yùn)算的理解 這里的總結(jié)和過(guò)去的“記關(guān)鍵詞、套題型”是不一樣的，不是要求用統(tǒng)一的程序化的語(yǔ)言來(lái)背誦運(yùn)算意義。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生完成類(lèi)似下面的任務(wù)，建構(gòu)自己對(duì)于運(yùn)算的理解。 舉生活中不一樣的例子，可以用加法、減法、乘法或除法來(lái)解決。 畫(huà)圖表示一個(gè)情境，可以用加法、減法、乘法或除法來(lái)解決 用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)什么是加法、減法、乘法或除法 3. 關(guān)注對(duì)問(wèn)題的表征和理解 “ 問(wèn)

20、題表征”是指解題者基于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)問(wèn)題所提供的相關(guān)信息，構(gòu)建屬于自己的“問(wèn)題表象”并被“短時(shí)記憶”的過(guò)程。主體“解決問(wèn)題”時(shí)的數(shù)學(xué)思考，通常依賴(lài)頭腦中“即時(shí)獲得”并“短時(shí)記憶”的“問(wèn)題表象”而展開(kāi)。 （ 1 ）讀懂題目 新課程提倡運(yùn)用圖、文字、表格等多種形式呈現(xiàn)信息，這也給學(xué)生的閱讀帶來(lái)一定的困難。教師可以采取鼓勵(lì)學(xué)生多讀幾遍，嘗試完整地用自己的語(yǔ)言復(fù)述題意，采用情境表演等方式幫助學(xué)生理解。 （ 2 ）有效地收集和選擇信息 可以鼓勵(lì)學(xué)生面對(duì)眾多的信息，選擇若干信息提出可以用數(shù)學(xué)解決的問(wèn)題；可以鼓勵(lì)學(xué)生回答，如果要解決某一問(wèn)題，需要收集哪些信息；可以根據(jù)實(shí)際的問(wèn)題情境，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行

21、選、判斷或補(bǔ)充。 4 關(guān)注對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析 在分析數(shù)量關(guān)系上，過(guò)去有一些好的方法?？梢越梃b傳統(tǒng)“應(yīng)用題”的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將“分析法”、“綜合法”的思考方法“教”給學(xué)生。但問(wèn)題在于很多教師往往“迫不及待”地將自己解題的方法或已經(jīng)提煉出的方法告訴學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生再遇到問(wèn)題時(shí)還是不會(huì)用。所以教師要留給學(xué)生獨(dú)立思考、探索策略的時(shí)間，對(duì)分析數(shù)量關(guān)系的總結(jié)一定是建立在學(xué)生思考、探究和充分的交流基礎(chǔ)上的。 另外，小學(xué)階段需要學(xué)習(xí)的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系一般在小學(xué)四年級(jí)左右開(kāi)始引入，但教師應(yīng)注意他們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)線(xiàn)索，包括第一學(xué)段的引入正式學(xué)習(xí)高年級(jí)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。低年級(jí)雖然沒(méi)有正式學(xué)習(xí)，但學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)和對(duì)運(yùn)算意義的理

22、解，就能夠理解如“飛機(jī)每分鐘飛行 21 米 ， 60 分鐘飛行多少米”的問(wèn)題，這可為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。另外，要注意這兩個(gè)基本數(shù)量關(guān)系的變式。 5. 關(guān)注解決問(wèn)題策略的學(xué)習(xí) 問(wèn)題解決教學(xué)的價(jià)值不僅在于解決了具體的問(wèn)題，更重要的是學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中獲得的發(fā)展，包括獲得分析、解決問(wèn)題的基本策略。解決問(wèn)題的策略，是人們長(zhǎng)期解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，它對(duì)于解決特定問(wèn)題有效，對(duì)于學(xué)生解決更多的非常規(guī)的、實(shí)際的問(wèn)題時(shí)也將發(fā)揮作用。 小學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及到的具體解題策略有以下幾種：畫(huà)圖、簡(jiǎn)化題目、嘗試和猜想、逆推、用方程解、用公式解等。學(xué)生的解決問(wèn)題的策略不是先天形成的，而是在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展起來(lái)的。對(duì)于

23、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題策略的教學(xué)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面。 第一，教學(xué)中要重視對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題策略的指導(dǎo)，適時(shí)地將“隱性”的策略“顯性化”。如問(wèn)題解決前，指導(dǎo)學(xué)生思考運(yùn)用哪些策略；解決問(wèn)題過(guò)程中，是否要調(diào)整策略；解決問(wèn)題后，反思所使用的策略。 第二，學(xué)生所采用的策略，在教師的眼中也許是有優(yōu)劣之分的，但在孩子的思考過(guò)程中并沒(méi)有好壞之分，都反映出學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和所作出的努力。 第三，解決問(wèn)題策略的教學(xué)應(yīng)把解決問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)教給學(xué)生，提供給學(xué)生更多的解釋和評(píng)價(jià)他們自己的思維結(jié)果的權(quán)利。 第四，要注重策略的廣泛運(yùn)用。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)的使用所學(xué)過(guò)的策略解決問(wèn)題。 6. 關(guān)注對(duì)解決問(wèn)題

24、過(guò)程和結(jié)果的檢驗(yàn) 教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的結(jié)果加以檢驗(yàn)，一方面檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，另一方面考察問(wèn)題的結(jié)果是否符合實(shí)際 ， 逐步形成評(píng)價(jià)和反思意識(shí)。事實(shí)上，驗(yàn)證結(jié)果的合理性需要兩種基本的能力，首先需要對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量及其關(guān)系有一定了解，如自行車(chē)的速度、汽車(chē)的速度等，這些是判斷問(wèn)題結(jié)果合理性的重要背景知識(shí)；其次能對(duì)結(jié)果的數(shù)量級(jí)有準(zhǔn)確的估計(jì)。這種能力并不是通過(guò)大量的訓(xùn)練筆算就可以得到的，而是通過(guò)對(duì)位值的理解和對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)的運(yùn)算的靈活運(yùn)用而得到的。 常教學(xué)中，教師要有意引導(dǎo)學(xué)生將“所求答案”與“已知條件”相互“反串”，進(jìn)行“二次解答”，從而確證原先解題的正確性。久而久之，學(xué)生便會(huì)在教師的“用心”引領(lǐng)下形成“代入檢驗(yàn)”的策略習(xí)慣。 此外，為了發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，還可以在解決問(wèn)題之后，鼓勵(lì)學(xué)生將應(yīng)用問(wèn)題的情境與真實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，提出新的問(wèn)題；并可以反思所使用的策略能否作為解決一類(lèi)問(wèn)題的重要方法，對(duì)不同策略進(jìn)行比較，體會(huì)各自不同的特點(diǎn)與實(shí)用性等等。 （二）“綜合與實(shí)踐”教學(xué)策略 小學(xué)數(shù)學(xué)四個(gè)課程領(lǐng)域之一綜合與實(shí)踐，就指向了哪些來(lái)自實(shí)際的、非常規(guī)的、條件開(kāi)放的、結(jié)論不確定的問(wèn)題。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 ）“綜合與實(shí)踐”是一類(lèi)以問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識(shí)和方法解決問(wèn)題?！熬C合與實(shí)踐”的教學(xué)活動(dòng)