在制圖過程中換面法的使用

1、2.6 2.6 換面法換面法教學(xué)目的：教學(xué)目的：1.掌握換面法的基本原理，熟練掌握點的一次、二次換面法的基本作圖方法。2.熟練掌握換面法的四個基本作圖方法，并能用于解決空間幾何元素常見的度量問題和定位問題。教學(xué)重點：教學(xué)重點：換面法的原理和應(yīng)用換面法解決實際問題。教學(xué)難點：教學(xué)難點：應(yīng)用換面法解決空間幾何元素常見的度量問題和定位問題。2.6 2.6 換面法換面法 畫法幾何討論的作圖問題主要歸結(jié)為兩類。一是定位問題，即在投影圖上確定空間幾何元素（點、線、面）和幾何體的投影。二是度量問題，即根據(jù)幾何元素和幾何體的投影確定它們的實長、實形、角度、距離等。 由前面內(nèi)容可知，當(dāng)空間的直線、平面對投影面處

2、于特殊位置 平行或垂直時，上述兩類問題的作圖較為簡便。本節(jié)將研究如何改變空間幾何元素相對于投影面的位置，以達(dá)到有利于解題的目的。 投影變換的方法很多，其中比較簡單和常用的方法有兩種:變換投影面法（簡稱換面法）和旋轉(zhuǎn)法。 換面法是使空間幾何元素保持不動，用新的投影面替換原有的某個投影面，使空間幾何元素對新投影面處于有利于解題的位置。 旋轉(zhuǎn)法是使空間幾何元素繞垂直于某一投影面的軸線旋轉(zhuǎn)，使空間幾何元素對投影面處于有利于解題的位置。 本教材只講述換面法和用換面法解決幾何元素的定位和度量問題。 2.6 2.6 換面法換面法 2.6.1 2.6.1 換面規(guī)則換面規(guī)則 更換投影面時，新投影面的位置并不是任

3、意的。首先，空間幾何元素在新投影面上的投影要有利于解題;此外，新投影面還要垂直于原來的某一個投影面，構(gòu)成新的兩投影面體系（如圖2-49所示）以便運(yùn)用正投影原理由原來的投影作出新投影。 由于新投影面的位置選擇受到上述限制，解答某些問題時，更換一個投影面有時不能使空間幾何元素與新投影面達(dá)到預(yù)期的相對位置，從而得不到有利于解題的新投影。這時需連續(xù)進(jìn)行兩次或多次換面，但每次只能更換一個投影面。如圖2-50所示，先換v 面,再換h 面，也可以先換h 面再換v 面。 圖圖2-49 2-49 一次換面一次換面圖圖2-50 2-50 兩次換面兩次換面2.6 2.6 換面法換面法 2.6.2 2.6.2 求作點

4、的新投影求作點的新投影 任何形體都可以看作是點的集合。所以，研究運(yùn)用換面法解決某些作圖問題之前，首先要討論點的新投影的作法。 1.1.一次換面一次換面 如圖2-51所示為更換正立投影面v時點的投影變換規(guī)律。 圖圖2-51 2-51 點的一次變換（換點的一次變換（換v v面）面） 設(shè)給出v、h投影面體系（以后簡稱v/h體系）中的點a及其投影a、a。新投影面v1 垂直于原投影面h，替換原v面變成新投影面體系v1/h，稱為更換正立投影面。其中，h面稱為保留投影面、v 面稱為被替換投影面、v1 面稱為新投影面。h與v1 面的交線x1 稱為新投影軸，簡稱新軸。原投影軸x稱為舊軸。2.6 2.6 換面法換

5、面法 將點a向v1 面作垂直投射，得到新投影a1 。在新、舊投影面體系中，由于h面保持不動，所以點a到h面的距離（z坐標(biāo)）不變，因而有a1 ax1 =aax。 若使v1 面繞新軸x1 旋轉(zhuǎn)重合于h面，則得如圖2-51（b）所示的投影圖。在投影圖上有:aa1 x1 ;a1 ax1 =aax 。其中a稱為保留投影;a稱為被替換投影;a1 稱為新投影。 由上述分析可得出給定新軸x1 的位置后求a點的新投影a1 的作圖步驟:（1）過保留投影a作直線aax1 x1 ，得垂足ax1 。 （2）自ax1 在垂線上截取aax1 =aax 得點a1 ，a1 即是點a在v1 面上的新投影。 圖2-52表示更換h面

6、。取新投影面h1 ，使h1 v，原投影面體系v/h變換成v/h1 。v 面為保留投影面;h面為被替換投影面;h1 面為新投影面。 圖圖2-52 2-52 點的一次換面（換點的一次換面（換h h面）面）2.6 2.6 換面法換面法 設(shè)點a在h1 面上的投影為a1 ，此時，點a到v面的距離（y坐標(biāo)）不變， 所以有a1a x1=aax 。當(dāng)新投影面h1 繞x1 軸旋轉(zhuǎn)重合于v面后，在投影圖上有aa1x1 ;a1ax1 =aax 。綜合上述更換投影面的兩種情況，得如下投影規(guī)律:（1）點的新投影與保留投影的連線垂直于新軸。 （2）新投影到新軸的距離等于被替換投影到舊軸的距離。 當(dāng)新投影面的位置（新軸的位

7、置）確定后，由點的原來投影作其新投影的步驟為:（1）過點的保留投影作直線垂直于新軸，得一垂足。 （2）自垂足在所作垂線上截取線段等于被替換投影到舊軸的距離，截得的點即為所求新投影。 直線或平面的變換，可歸結(jié)為直線上的兩點或平面上三點的變換，其方法、步驟與上述相同。 2.2.二次換面二次換面 圖2-53表示更換兩次投影面時求作點的新投影的方法，其作圖原理與更換一次投影面相同。2.6 2.6 換面法換面法 在v.h體系中，先用v1 替換v，v1 h，組成v1/h投影面體系（h為保留投影面），求出a1。 再把v1/h當(dāng)作原投影面體系，用新投影面h1 替換h，h1v1 ，組成新的v1/h1 投影面體系

8、，求出新投影a1 。此時v1 面為保留投影面，被替換投影面則指h面。v1 、h1 面的交線為新軸x2 ，而x1 在第二次換面時被稱為舊軸。 二次換面時，點的投影變換規(guī)律仍適用，即a1a1x2;a1 ax2 =aax1 ，如圖2-53（b）。在換面順序上可以有兩種方案，即v/hv1/hv1/h1 或v/hv/h1 v1/h1 ，由需要而定。 圖圖2-53 2-53 點的二次變換點的二次變換2.6 2.6 換面法換面法 2.6.3 2.6.3 基本作圖問題基本作圖問題 用換面法解答各類定位與度量問題時，均可歸結(jié)為下列四個基本作圖問題。 1.1.把一般位置直線變換成新投影面平行線把一般位置直線變換成

9、新投影面平行線 由前述規(guī)則可知，要把一般位置直線變換成新投影面平行線，所選新投影面應(yīng)與直線平行，同時又垂直于保留的原投影面，從而新軸應(yīng)平行于直線的保留投影。 如圖2-54（a）所示，ab為v/h體系中的一般位置直線。若更換v面，把a(bǔ)b變換成v1 面的平行線，則新投影面v1 應(yīng)平行于ab且垂直于h。此時新軸x1 應(yīng)平行于ab的水平投影ab。新軸確定后，可按點的新投影的作法作出直線ab的新投影a1b1，ab變換成v1/h體系內(nèi)的平行線。 圖圖2-54 2-54 把一般位置直線變換成把一般位置直線變換成v1 v1 面平行線面平行線2.6 2.6 換面法換面法 作圖作圖 如圖2-54（b）所示，作新軸

10、x1ab，作出點a及點b在v1 面上的新投影a1b1。 a1b1反映線段ab的實長，它與x1 軸的夾角為直線ab對h面的傾角。 若更換h面，可將ab變換成h1 面的平行線,如圖2-55所示。此時x1ab，a1b1反映ab 的實長，a1b1與x1軸的夾角即為ab對v 面的傾角。圖圖2-55 2-55 一般位置直線變一般位置直線變h1 h1 面平行線面平行線 2.6 2.6 換面法換面法 2. 2.把一般位置直線變換成新投影面垂直線把一般位置直線變換成新投影面垂直線 要把一般位置直線變換成新投影面垂直線，只更換一個投影面顯然不行。因為找不到一個新投影面，既與一般位置直線垂直，又與一個原投影面垂直。

11、但如果所給直線是投影面平行線，要將其變換成新投影面垂直線，更換一次投影面即可完成。如圖2-56（a）所示，ab為v/h體系內(nèi)的正平線，若將其變換成新投影面垂直線,需設(shè)新投影面h1ab。又因為abv，所以h1必定垂直于v面。ab變換為v/h1體系內(nèi)的垂直線。 作圖作圖 作新軸x1ab，并作出ab在h1面上的新投影a1b1 。a1、b1 重影為一點，圖2-56（b）為其投影圖。 圖圖 2 - 5 6 2 - 5 6 平 行 線 變 新 投 影 面 垂 直 線平 行 線 變 新 投 影 面 垂 直 線2.6 2.6 換面法換面法 綜上可知，要把一般位置直線變換為新投影面垂直線，必須兩次更換投影面。如

12、圖2-57（a）所示，把v/h體系內(nèi)的一般位置直線ab先換成v1/h體系內(nèi)的平行線，再換成v1/h1體系內(nèi)的垂直線，作圖過程如圖2-57（b）所示。圖圖2-57 一般位置直線變新投影面垂直線一般位置直線變新投影面垂直線2.6 2.6 換面法換面法 3. 3.把一般位置平面變換成新投影面垂直面把一般位置平面變換成新投影面垂直面 如圖2-58（a）所示，平面abc在v/h體系內(nèi)為一般位置平面。若把它變換成新投影面垂直面，可設(shè)新投影面v1 替換原投影面v，并使v1 垂直abc內(nèi)的一直線l。為保證v1 同時垂直于h面，應(yīng)取lh，即l為abc內(nèi)的水平線。根據(jù)投影性質(zhì)可知，新軸x1 l。圖圖 2 - 5

13、8 2 - 5 8 一 般 位 置 平 面 變一 般 位 置 平 面 變v v1 1 面 的 垂 直面 的 垂 直2.6 2.6 換面法換面法 作圖作圖 在abc內(nèi)取水平線l（l、l）。作x1l，按點的新投影的作法，作出abc各頂點在v1面上的新投影a1、b1、c1。由于lv1abcv1，所以a1b1c1成一直線。a1b1c1與x1軸的夾角為abc對h面的傾角。同理，也可以更換h面把a(bǔ)bc變換為v/h1體系內(nèi)的垂直面，如圖2-59所示。此時，a1b1c1 與x1軸的夾角為abc 對v 面的傾角。圖圖2-59 2-59 一般位置平面變一般位置平面變h h1 1 面的垂直面面的垂直面 2.6 2.

14、6 換面法換面法 4.4.把一般位置平面變換成新投影面平行面把一般位置平面變換成新投影面平行面 要把一般位置平面變換成新投影面平行面，必須兩次更換投影面。第一次把一般位置平面變成新投影面垂直面，原理與作圖方法如前所述。第二次把垂直面再更換成新投影面平行面。 如圖2-60（a）所示，平面abcv1 ，再設(shè)新投 影面 h1abc 且h1v1。根據(jù)平行面的投影性質(zhì)，新軸x2a1b1c1。在h1面上作出abc頂點的新投影a1、b1、c1，a1b1c1為abc的實形。 如圖2-60（b）所示為一般位置平面兩次變換為新投影面平行面的作圖過程。 應(yīng)當(dāng)注意，兩次或多次換面時，不能連續(xù)更換同一個投影面，而應(yīng)兩個

15、投影面交替更換。將上述四個基本作圖問題綜合運(yùn)用，可以解決多種定位與度量問題。如由垂直面變換為投影面的平行平面。由一般位置平面變換為投影面的平行面等。 2.6 2.6 換面法換面法圖圖 2 - 6 0 2 - 6 0 平 面 的 兩 次 變 換平 面 的 兩 次 變 換2.6 2.6 換面法換面法 2.6.4 2.6.4 解題舉例解題舉例【例2-14】 試過點a作直線與已知直線bc垂直相交，如圖2-61所示。 分析分析 當(dāng)直線bc平行于某投影面時，由直角投影定理可知，與bc垂直的直線在該投影面上的投影反映其垂直關(guān)系。將直線bc由一般位置變換為某投影面平行線，需更換一次投影面。圖圖2-61 過過a

16、作直線與作直線與bc垂直相交垂直相交2.6 2.6 換面法換面法 作圖作圖 （1）用v1替換v（也可以用h1替換h），將bc換成v1面的平行線。（2）點a隨同直線bc一起變換，得新投影a1。（3）過a1向b1c1作垂線，垂足為e1。e1即為兩線垂直相交后的交點e在v1 面上的投影。 （4）將e1逆變換返回到v/h體系，求出e及e1。連接ae、ae即為所求。 討論討論 此題也可以將點a及直線bc看成同一平面。將平面abc變換成新投影面平行面，在反映實形的新投影上作出點a 到直線bc的距離ae，然后返回到原投影面體系即可。同樣方法也可以求出兩平行直線間的距離、兩相交直線間的夾角、作角平分線等。因此

17、，凡屬同一平面內(nèi)幾何元素的定位、度量問題，均可將此平面變換成新投影面平行面加以解決。2.6 2.6 換面法換面法【例2-15】 求點k到平面p（abcd）的距離。 分析分析 如圖2-62（a）所示，若過點k向平面p引垂線，則點k到垂足l的距離就是k到平面p的距離。如果平面p是某投影面垂直面，則垂線kl就是該投影面的平行線，距離可直接反映在投影圖上。 圖圖2-62 2-62 求點到平面的距離求點到平面的距離2.6 2.6 換面法換面法 由于p平面屬于一般位置平面，故本題需更換一次投影面，將其變換成新投影面垂直面。 作圖作圖 （1）更換v面，把平面p變換成v1面的垂直面。作新軸x1ad（ad、bc

18、為p內(nèi)水平線）。 （2）作出p在v1 面上的新投影p1及點k的新投影k1。 （3）過k1向p1作垂線，垂足為l1。k1l1即為點k到平面p的距離，見圖2-62（b）。 討論討論 如果需要作出kl的投影，可按照點的變換規(guī)則把l1返回到v/h體系。因kl是v 面的平行線，所以過k作klx1 即可求出l。再由l、l1定l。 2.6 2.6 換面法換面法【例2-16】 求交叉兩直線ab、cd之間的距離及公垂線的投影。 分析分析 交叉兩直線間的距離即是它們之間公垂線的實長。 如圖2-63（a）所示，若使兩交叉直線之一cd變換成新投影面h1的垂直線時，ab、cd的公垂線mn 必為該投影面的平行線，mn在h1面上的投影m1n1反映公垂線的實長;另一條直線ab雖為一般位置直線，但因mnab，由直角投影定理得a1b1m1n1，由此可定出公垂線的位置。 由于ab、cd 均為一般位置直線，故本題需兩次更換投影面。圖圖 2 - 6 3 2 - 6 3 求 交 叉 二 直 線 間 的 距 離 及 公 垂 線求 交 叉 二 直 線 間 的